Η Ιστορία της Διακρίνουσας

Διακρίνουσα ονομάζουμε την ποσότητα Δ=β² -4αγ της εξίσωσης του 2ου βαθμού

Το όνομα αυτό δίνεται επειδή η αλγεβρική αυτή ποσότητα μας βοηθά να διακρίνουμε το είδος των ριζών της εξίσωσης. Η διακρίνουσα είναι, ως γνωστόν, μετοχή ενεστώτα του ρήματος διακρίνω (Διακρίνων-Διακρίνουσα-Διακρίνον). Σχεδόν όλοι γνωρίζουν πως η διακρινουσα(Δ) στα Μαθηματικά είναι ένας πράγματος αριθμός στενά συνυφασμένος με τη δευτεροβάθμια πολυωνυμία εξίσωση.

Οι μαθητές διδάσκονται για πρώτη φορά τη δευτεροβάθμια εξίσωση, όταν φοιτούν στην τρίτη Γυμνάσιου και για δεύτερη φορά όταν φοιτούν στην πρώτη Λυκείου. Φτάνοντας μάλιστα στο Λύκειο πολλοί από αυτούς έχουν στο βαλιτσάκι της γνώσης που κουβαλούν μαζί τους: «βόδια στο τετράγωνο πλην τέσσερις αγελάδες».

Οι ρίζες της εξίσωσης αχ² + β χ + γ = 0 δίνονται από τον τύπο

.

Παρατηρούμε ότι στον τύπο αυτό η ποσότητα β² -4αγ βρίσκεται μέσα σε ρίζα.

Αν είναι θετική, μηδέν ή αρνητική, ανάλογα διαφοροποιείται το είδος των ριζών της εξίσωσης, όπως θα δούμε πιο κάτω.

Έχουμε λοιπόν:

Δ = β² -4αγ

Είδος ριζών ανάλογα με τη διακρίνουσα:

1. Δ > 0

Στην περίπτωση αυτή η ποσότητα εντός της ρίζας είναι θετική και άρα η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες.

Παράδειγμα: Να βρεθεί το είδος των ριζών της εξίσωσης x² – 5x +6 =0

α=1, β = -5, γ=6

Δ= β² -4αγ → Δ= (-5)² -(4.1.6)→ Δ= 25 – 24 =1 άρα Χ1,2= -β±√Δ/2α= 5±√1/2*1 => Χ1= 3 ή Χ2= 2

2. Δ = 0

Στην περίπτωση αυτή η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει μια ρίζα ίση με: Δ = –β/2α.

Παράδειγμα: Να βρεθεί το είδος των ριζών της εξίσωσης x² – 10x +25=0

α=1, β = -10, γ=25

Δ= β² -4αγ → Δ= (-10)² -(4*1*25) → Δ= 100 – 100 =0 (Δ=0)

Χ0= -β/2α= 10/2*1= 5

3. Δ < 0

Η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού είναι φανταστικός αριθμός και στην περίπτωση αυτή η εξίσωση μας έχει δύο μιγαδικές ρίζες.

Σχολιάστε

Top