• Αν γεμίσει κάθε δοχείο με 15 λίτρα, τότε του περισσεύουν 2 δοχεία.
• Αν γεμίσει κάθε δοχείο με 10 λίτρα, τότε του μένουν 10 λίτρα λάδι.

Μπορείς να βρεις πόσα δοχεία έχει και πόσα λίτρα λάδι θέλει να στείλει;

Δοκίμασε τις δυνάμεις σου και λύσε τον γρίφο του Σταμάτη!

Η ζωή και το έργο του Πυθαγόρα

Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε περίπου το 575 π.Χ. στη Σάμο. Μεγάλωσε με σεμνότητα και σωφροσύνη, ήταν ασκητικός και απολάμβανε σεβασμό ακόμα και από μεγαλύτερης ηλικίας πολίτες. Έζησε μια ειρηνική ζωή αφιερωμένη κυρίως στη μελέτη της φιλοσοφίας, των μαθηματικών και της αστρονομίας.

Όταν ενηλικιώθηκε, πήγε στην Ιωνία όπου μαθήτευσε στη σχολή της Μιλήτου δίπλα στον Θαλή και τον Αναξίμανδρο. Από τον Θαλή έλαβε σοβαρή γνώση των μαθηματικών και της γεωμετρίας, βελτίωσε τις διατροφικές του συνήθειες, εφαρμόζοντας τη διδασκαλία του μέτρου, ασκήθηκε στην πειθαρχία και απέκτησε διαύγεια και καθαρότητα ψυχής. Ο δάσκαλός του ήταν εκείνος που τον προέτρεψε να μεταβεί στην Αίγυπτο για να έρθει σε επαφή με τους ιερείς της Μέμφιδας, από τους οποίους είχε μυηθεί και ο ίδιος ο Θαλής.

Πριν φτάσει στη χώρα του Νείλου, ο Σάμιος φιλόσοφος ταξίδεψε πρώτα στη Φοινίκη, όπου διδάχτηκε μαθηματικά, και στη Χαλδαία, όπου έμαθε τα μυστικά της αστρονομίας. Πράγματι, κατέληξε στην Αίγυπτο όπου μυήθηκε στα Μυστήρια της Μέμφιδας και της Ηλιούπολης. Σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο, έζησε 22 χρόνια στην Αίγυπτο και μυήθηκε σε όλες τις βαθμίδες των Μυστηρίων, λαμβάνοντας όλες τις μεγάλες διδασκαλίες των Αιγύπτιων σοφών.

Κάποιες πηγές αναφέρουν ότι κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του επισκέφθηκε τους σοφούς όλων των πολιτισμών, από του Ινδουιστές στην Ανατολή μέχρι τους Δρυίδες της Γαλατίας, ενώ θεωρείται βέβαιο ότι μυήθηκε στα Μυστήρια της Ελλάδας, της Βαβυλώνας, της Τύρου και της Συρίας. Μελέτησε τους διάφορους κλάδους της γνώσης, ιδιαίτερα τα μαθηματικά, την αστρονομία, τη μουσική και την ιατρική. Όλη αυτή η πορεία τον διαμόρφωσε ως έναν δάσκαλο αγάπης και σοφίας.

Σε ηλικία πενήντα περίπου ετών επέστρεψε στη Σάμο, όπου ίδρυσε μια σχολή που έμεινε γνωστή ως «το Ημικύκλιο του Πυθαγόρα», στην οποία οι πολίτες συζητούσαν διάφορα φιλοσοφικά ζητήματα. Εκείνη την περίοδο κατασκεύασε τη «Δίκαιη Κούπα», χρησιμοποιώντας τους νόμους της φυσικής για να πίνεται με μέτρο το κρασί, έτσι ώστε να εξηγεί στους συνομιλητές του τη διδασκαλία του μέτρου με πρακτικό τρόπο. Όμως, απογοητευμένος από την αδιαφορία της πλειονότητας των συμπατριωτών του για τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία, αλλά και λόγω της εναντίωσής του στην αυταρχικότητα του τυράννου Πολυκράτη, που τον θεωρούσε μάλιστα υπεύθυνο για την αδιαφορία των πολιτών, ο Πυθαγόρας αποφάσισε να εγκαταλείψει τη Σάμο.

Έτσι ταξίδεψε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας και εκεί ίδρυσε την πυθαγόρεια αδελφότητα, το Ομακοείον, που άσκησε μεγάλη επιρροή τα μετέπειτα χρόνια. Με το ήθος και τη συμπεριφορά του μάγεψε τους ντόπιους και γρήγορα στις ομιλίες του συνέρρεαν χιλιάδες κόσμου. Μετά την ακμή της σχολής στον Κρότωνα, ιδρύθηκαν σχολές σε πολλές πόλεις της Κάτω Ιταλίας και της Σικελίας αφήνοντας πίσω τους μια σπουδαία παρακαταθήκη από διδασκαλίες και μαθήματα ζωής που μπορούν να εμπνεύσουν τον κόσμο ακόμα και σήμερα…

Μαθήματα ζωής

Ο τριπλός καθημερινός στοχασμός

«Και τον ύπνο μην τον δέχεσαι στα τρυφερά σου μάτια, πριν εξετάσεις τρεις φορές τις πράξεις της ημέρας. Ποια ήταν λανθασμένη; Και ποια σωστή; Και ποια από όσες έπρεπε δεν ολοκλήρωσα;»

Αυτός είναι ο στοχασμός των Πυθαγορείων που προτείνουν να κάνουμε κάθε βράδυ πριν κοιμηθούμε. Να αναλογιζόμαστε δηλαδή ποιες από τις πράξεις που έγιναν την κάθε μέρα θα ήταν καλύτερο να μην είχαν γίνει καθώς και το ανάποδο, ποιες πράξεις έπρεπε να είχαν γίνει και δεν έγιναν. Με αυτόν τον τρόπο βάζουμε στη ζωή μας αυτό που η εσωτερική φιλοσοφία αποκαλεί «μαθητεία», δηλαδή κάθε μέρα λαμβάνω και κάποιο μάθημα, κάθε μέρα γίνομαι και λίγο καλύτερος, κάθε μέρα κάνω ένα βήμα πιο κοντά στην αυτοπραγμάτωση.

Έχει επίσης ιδιαίτερη σημασία να μην μένουμε μόνο στα αρνητικά της κάθε μέρας, αλλά να παρατηρούμε και να μαθαίνουμε και από τα θετικά. Εξ ου και το τρίτο σκέλος του διαλογισμού που είναι να στοχαστούμε τις σωστές πράξεις της ημέρας και να παρατηρήσουμε την εφαρμογή της αρετής.

Η διδασκαλία του μέτρου

«Να συνηθίσεις να ελέγχεις τα εξής: πρώτα από όλα τη λαιμαργία και τον υπερβολικό ύπνο, και την ακολασία και τον θυμό σου»

«Δεν πρέπει να αμελείς την υγεία του σώματος σου, αλλά και στο ποτό και στο φαγητό και στη γυμναστική να εφαρμόζεις το μέτρο. Και ως μέτρο εννοώ αυτό που δεν θα σε κάνει να μετανιώσεις. Να μην ξοδεύεις άσκοπα, όπως οι ανόητοι, αλλά ούτε να είσαι φιλάργυρος, γιατί για όλα το μέτρο είναι το άριστον».

Δεν υπάρχει κανένα φιλοσοφικό ρεύμα που να μην υιοθετεί τη διδασκαλία του μέτρου. Την συναντάμε στην Ανατολή και στη Δύση, από τον Αριστοτέλη μέχρι τον Κομφούκιο. Η ίδια η αρετή ορίζεται ως το δυναμικό μέσο μεταξύ δύο ακραίων καταστάσεων. Η γενναιοδωρία είναι η αρετή που έχει ως υπερβολή της τη σπατάλη και ως έλλειψη την τσιγκουνιά. Η ανδρεία είναι η αρετή που έχει ως υπερβολή το θράσος και ως έλλειψη τη δειλία.

Σε κάθε πτυχή της ζωής μας λοιπόν, προτείνουν οι Πυθαγόρειοι να εφαρμόζουμε το ορθό μέτρο. Στο φαγητό, στο ποτό, στον ύπνο και σε κάθε κατάσταση γενικότερα να μην πέφτουμε ούτε στην υπερβολή, ούτε στην έλλειψη. Να μην είμαστε ούτε αυτοτιμωρητικοί με τον εαυτό μας, αλλά ούτε να ρέπουμε προς την αυτολύπηση.

Για τη σκέψη

«Πριν από κάθε σου πράξη να σκέπτεσαι, ώστε να μην ενεργείς ανόητα»

«Να είσαι δίκαιος και με τα λόγια και με τις πράξεις σου και να μην συνηθίζεις να φέρεσαι απερίσκεπτα σε καμία περίσταση»

Όπως παρατηρούμε και από τα υπόλοιπα αποσπάσματα, η φιλοσοφία των Πυθαγορείων είναι ιδιαίτερα πρακτική και εφαρμόσιμη στην καθημερινή ζωή μέχρι και στα πιο απλά πράγματα της κάθε μέρας. Δίνουν ιδιαίτερη σημασία στο έργο και στην πράξη. Αλλά προφανώς δεν φτάνει μόνο να δρούμε και να εργαζόμαστε, χρειάζεται πρώτα από όλα να προηγηθεί ο απαραίτητος στοχασμός. Να στοχαστούμε όσο χρειάζεται ώστε να μην κάνουμε το ίδιο λάθος δεύτερη φορά, ώστε να μην μετανιώσουμε για αυτά που θα πούμε και με ξεκάθαρες αντιλήψεις να βαδίσουμε με τις πράξεις και το έργο μας προς την κατεύθυνση που πραγματικά επιθυμούμε.

Για το νόημα της ζωής

«… όλα αυτά θα σε οδηγήσουν στον δρόμο της θεϊκής αρετής. Ναι, με αυτόν που έβαλε στην ψυχή μας την Τετρακτύν, πηγή της αιώνιας φύσης. Άρχισε λοιπόν το έργο σου».

Για τους Πυθαγόρειους, που αντλούν τον πυρήνα της διδασκαλίας τους από την ορφική παράδοση, το νόημα της ζωής είναι η άσκηση της αρετής. Η ενάρετη ζωή είναι ο τρόπος για να θυμηθεί η ψυχή την αληθινή φύση της και να απελευθερωθεί από την ύλη στην οποία είναι φυλακισμένη. Μας καλούν λοιπόν να στοχαστούμε πάνω στο νόημα της ζωής, να πάρουμε απόφαση να ταυτιστούμε με το πνευματικό μας μέρος και να αρχίσουμε να βαδίζουμε την αναβατική ατραπό της αρετής που θα μας οδηγήσει στην πνευματική απελευθέρωση και στην αυτοπραγμάτωση.

Φανταστείτε ότι φτάνετε σε μια πόλη χωρίς να έχετε κλείσει δωμάτιο σε ξενοδοχείο. Συναντάτε ένα ωραίο ξενοδοχείο, στο οποίο έχει δοθεί το όνομα του διάσημου μαθηματικού Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Φτάνοντας στη ρεσεψιόν διαπιστώνετε πως το ξενοδοχείο έχει άπειρα δωμάτια, αριθμημένα με βάση τους φυσικούς αριθμούς: 1, 2, 3, … Ωστόσο, ο ρεσεψιονίστ υποστηρίζει ότι το ξενοδοχείο είναι γεμάτο. Γνωρίζοντας καλά μαθηματικά, του προτείνετε έναν τρόπο να μπορέσει να φιλοξενήσει κι εσάς και οποιονδήποτε άλλον επισκέπτη έρθει.

Αρκεί καθένας απ’ όσους ήδη διαμένουν στο ξενοδοχείο να μετακινηθεί στο δωμάτιο που έχει αριθμό κατά 1 μεγαλύτερο από εκείνον του δωματίου όπου διαμένει. Το άτομο που μένει στο δωμάτιο 1 θα πάει στο 2, εκείνο από το 2 θα πάει στο 3 κ.ο.κ. Επειδή το «Ξενοδοχείο του Χίλμπερτ» έχει άπειρο αριθμό δωματίων, ακόμη κι όταν είναι «γεμάτο», συνεχίζει να έχει χώρο για επιπλέον ταξιδιώτες. Αν έρθουν πολλοί μαζί όταν είναι «γεμάτο», οι διαμένοντες θα πρέπει απλώς να μετακινηθούν αρκετά δωμάτια πιο πέρα ο καθένας.

Το πράγμα γίνεται ακόμη πιο παράξενο. Ακόμη κι αν έρθει άπειρος αριθμός επιπλέον ανθρώπων που ζητούν κατάλυμα κι αυτοί μπορούν να φιλοξενηθούν στο πλήρως κατειλημμένο ξενοδοχείο, αρκεί καθένας από τους ήδη διαμένοντες να μετακινηθεί στο δωμάτιο που έχει αριθμό διπλάσιο από αυτό του δωματίου όπου διαμένει έως τώρα, καθώς έτσι θα προκύψουν άπειρα κενά δωμάτια με μονό αριθμό και άπειρα κενά δωμάτια με ζυγό αριθμό. Οι ακολουθίες αριθμών δείχνουν πως ένας άπειρος αριθμός ανθρώπων μπορεί να βρουν δωμάτιο σε ένα ξενοδοχείο με άπειρο αριθμό δωματίων.

Ο Γερμανός μαθηματικός Ντ. Χίλμπερτ παρουσίασε αυτό το υποτιθέμενο παράδοξο σε μια διάλεξή του για την απειρότητα, το 1925. Το παράδειγμα αυτό δείχνει πως δεν μπορούν όλες οι έννοιες να μεταφερθούν από το πεπερασμένο στο άπειρο: Οι δηλώσεις «κάθε δωμάτιο είναι κατειλημμένο» και «το ξενοδοχείο δεν μπορεί να φιλοξενήσει άλλους ανθρώπους» είναι συνώνυμες στον πεπερασμένο κόσμο της καθημερινότητας, αλλά όχι σε έναν κόσμο όπου υπάρχουν απειρότητες.

Το παράδοξο των γενεθλίων στη θεωρία πιθανοτήτων αναφέρεται σε ένα πρόβλημα του οποίου η λύση φαίνεται να αντιβαίνει στην κοινή λογική. Μία από τις διατυπώσεις του προβλήματος είναι: «Σε μία ομάδα 23 ατόμων ποια είναι η πιθανότητα δύο από αυτά τα άτομα να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια;». Λαμβάνοντας υπόψη ότι το πηλίκο του αριθμού των ατόμων και του αριθμού των ημερών του έτους είναι 23/365 = 6,3%, η λύση του προβλήματος που δίνει πιθανότητα 50,7% είναι φαινομενικά μη διαισθητική. Η πιθανότητα να υπάρχουν δύο άτομα με γενέθλια την ίδια ημέρα ξεπερνά το 90% στα 41 άτομα και γίνεται 99% για 57 άτομα. Είναι 100% στα 366 άτομα (ή στα 367 αν συμπεριλάβουμε και αυτούς που έχουν γεννηθεί στις 29 Φεβρουαρίου).