Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, το Πυθαγόρειο θεώρημα (ή θεώρημα του Πυθαγόρα) είναι το θεώρημα που συσχετίζει τα τετράγωνα των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Πιο συγκεκριμένα, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ με την A ορθή, ισχύει ότι

,

όπου  και  τα μήκη των δύο κάθετων πλευρών και  το μήκος της υποτείνουσας.

O Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων Γεωμετρίας του (47η πρόταση) δίνει την εξής διατύπωση^[1]:

«ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.».

Δηλαδή:

«το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών».

Στο ίδιο βιβλίο, ο Ευκλείδης παραθέτει τη σχετική απόδειξη που κατά παράδοση οφείλεται στον Πυθαγόρα, ο οποίος κατ” άλλη, επίσης αρχαία, παράδοση, μετά την ανακάλυψή του αυτή θυσίασε προς τους θεούς εκατόμβη, γι” αυτό και το θεώρημα αυτό ονομάσθηκε «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης».

Αν και το θεώρημα σήμερα φέρει το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Πυθαγόρα (570 π.Χ.- 495 π.Χ.), από ιστορικές έρευνες φαίνεται ότι είχε διατυπωθεί και νωρίτερα (ως εμπειρική παρατήρηση). Υπάρχουν αποδείξεις ότι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί είχαν κατανοήσει τον τρόπο λειτουργίας του θεωρήματος, αν και δεν υπάρχει σχεδόν καμία απόδειξη ότι το χρησιμοποίησαν σε μαθηματικά πλαίσια. Μαθηματικοί από τη Μεσοποταμία, την Ινδία και την Κίνα είναι επίσης γνωστοί για το ότι είχαν ανακαλύψει το αποτέλεσμα του θεωρήματος αποδεικνύοντας το επιπλέον, σε συγκεκριμένες περιπτώσεις.

Το θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οι αποδείξεις είναι ευθείες και το σύνολο τους συμπεριλαμβάνει τόσο γεωμετρικές όσο και αλγεβρικές αποδείξεις, κάποιες από της οποίες χρονολογούνται αρκετές χιλιετίες πριν. Το θεώρημα μπορεί να γενικευτεί με πολλούς τρόπους, σε χώρους μεγαλύτερης διάστασης, σε μη ευκλείδειους χώρους, σε μη ορθογώνια τρίγωνα ή ακόμα και σε ν-διάστατα στερεά.

Ισχύει και το αντίστροφο Πυθαγόρειο Θεώρημα: ότι δηλαδή, αν ισχύει η παραπάνω σχέση μεταξύ των πλευρών ενός τριγώνου, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.