Στον παρακάτω σύνδεσμο ας δούμε μια λύση του προβλήματος:

 https://vimeo.com/1034314795

Η εικασία του Γκόλντμπαχ είναι ένα παλιό μαθηματικό πρόβλημα που φαίνεται εκ πρώτης όψεως  εύκολο να αποδειχθεί, αλλά παραμένει ένα από τα πιο… πεισματάρικα αινίγματα στα σύγχρονα μαθηματικά.

Δείτε τι εννοούμε, ακόμη και αν δεν τα πάτε καλά με τους αριθμούς.

Τον Ιούνιο του 1742, ο Ρώσος μαθηματικός Κρίστιαν Γκόλντμπαχ έγραψε μια επιστολή στον φίλο και συνάδελφο του Λέοναρντ Οιλερ, στον οποίο περιέγραψε αυτή τη διάσημη εικασία. «Κάθε ακέραιος μεγαλύτερος του 2 αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών» ήταν το γενικό συμπέρασμα.Ακέραιος, για να ανανεώσετε τη μνήμη σας, είναι ένας αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί μόνο από το 1 και τον εαυτό του. Ας δοκιμάσουμε την εικασία στον ζυγό αριθμό 4. Το 4 μπορεί να εκφραστεί ως 2 + 2. Το 2 είναι ακέραιος έτσι η εικασία επαληθεύεται. Το ίδιο ισχύει για έναν μεγαλύτερο αριθμό όπως το 28. Μπορείτε να εκφράσετε το 28 ως το άθροισμα των πρωταρχικών αριθμών 5 και 23, ή 11 και 17. Μπορείτε να πάτε ακόμα υψηλότερα.  Γιατί να μην δοκιμάσετε κάτι τρελό όπως 12.345.678; Αυτό μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα των ακέραιων 20,297 και 12,325,381.Νομίζετε πως ένας γρίφος των μαθηματικών λύθηκε μετά από 300 χρόνια; Μην βιάζεστε.Παρά το ότι οι περισσότεροι αριθμοί που θα δοκιμάσετε «βγαίνουν» δεν σημαίνει ότι η εικασία του Γκολντμπαχ  επαληθεύεται για κάθε ζυγό αριθμό στον κόσμο. Για να λυθεί ένα πρόβλημα, ένας μαθηματικός πρέπει να βρει τρόπο να αποδείξει ότι ποτέ δεν θα υπάρχει κανένας αδύναμος αριθμός που δεν θα το επαληθεύει. Μια παραλλαγή του τελευταίου Θεωρήματος του Fermat, για παράδειγμα, που λογιζόταν ως αποδεδειγμένο,  απέτυχε στον αριθμό 61.917.364.224. Ο έλεγχος των αριθμών δεν είναι ποτέ αρκετός, ακόμη και για κάτι που θεωρούμε ως απόδειξη στα μαθηματικά.

Η εικασία Γκολντμπαχ  πονοκεφαλιάζει τόσο τους μαθηματικούς που το 2000, ο εκδοτικός οίκος  Faber & Faber ανακοίνωσε βραβείο ενός εκατομμυρίου  δολαρίων για όποιον μπορούσε να το αποδείξει.

Μέχρι πρόσφατα κανείς δεν κατάφερε να το κάνει.

Πηγή

Το άρθρο Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for all (NCTM 2014) περιγράφει πως η δυσκολία των μαθητών μπορεί να γίνει παραγωγική αν “θεωρήσουμε τις δυσκολίες των μαθητών σαν ευκαιρίες να βουτήξουμε πιο βαθιά στην κατανόηση της μαθηματικής δομής των προβλημάτων αντί να αναζητούμε απλώς τη σωστή λύση”.  Επίσης, ο (Warshauer, 2011) τονίζει πως αν η δυσκολία ενός μαθητή με ένα μαθηματικό πρόβλημα δεν αντιμετωπιστεί με παραγωγικό τρόπο, τότε δεν δίνεται στο μαθητή η δυνατότητα να “εξηγήσει”, να “εκλογικέψει” και κατά συνέπεια να προοδεύσει.

Ο συγγραφέας αναφέρει ότι:

«Ενδεχομένως, πολλοί εκπαιδευτικοί, διαβάζοντας αυτή την πρόταση να φαντάζονται χάος στις τάξεις τους και να  αισθάνονται αγχωμένοι. Αλλά για να το σκεφτούμε λίγο…. Πολλοί από μας έχουμε διδαχθεί μέσα από τις δικές μας εκπαιδευτικές μεθόδους και τις προσωπικές εμπειρίες ζωής ότι τα Μαθηματικά είναι τρομακτικά και ότι θα πρέπει να υπομείνουμε κάποιο πόνο για να ξεπεράσουμε τις δυσκολίες και να τα κατανοήσουμε. Είναι γεγονός, ότι όλοι μπορούμε να θυμηθούμε κάποια στιγμή στο δικό μας “ταξίδι Μαθηματικών” να μας είπαν κάτι σαν “Απλά θα πρέπει να το ξεπεράσεις…… Θα είναι δύσκολο, αλλά θα πρέπει να το κάνεις.”  Για πολλούς από εμάς, αυτές οι εμπειρίες έβαλαν τα θεμέλια για τις δικές μας δυσκολίες, φόβους και άγχη στα Μαθηματικά.

Παρόλο που κάποτε πίστευα ότι τα Μαθηματικά είναι μόνο “δουλεύω σκληρά και τα ξεπερνάω” δεν το πιστεύω πια. Έτσι, αυτός είναι ο λόγος που πιστεύω ότι το να επιτρέπουμε τους μαθητές να απομακρυνθούν από ένα μαθηματικό πρόβλημα και να πάρουν το χρόνο τους, είναι ένα από τα πιο σημαντικά πράγματα που μπορούμε να κάνουμε:

• Δίνοντας χώρο στους μαθητές να απομακρυνθούν από ένα μαθηματικό πρόβλημα σημαίνει ότι τους εμπιστευόμαστε. Επικοινωνεί στους μαθητές μας ότι είναι οι πιο σημαντικοί οδηγοί της δικής τους μάθησης, και ότι τους εμπιστευόμαστε να μας πουν ότι κάτι είναι δύσκολο ή ότι χρειάζονται λίγο χώρο από το πρόβλημα. Τους δείχνουμε ότι καταλαβαίνουμε πως οι ζωές τους είναι πιο περίπλοκες από ότι τα Μαθηματικά, ότι μερικές φορές απλώς δεν έχουν την απαιτούμενη ενέργεια για να λύσουν το συγκεκριμένο μαθηματικό πρόβλημα, ή ότι έχουν χαθεί στις πολλές πληροφορίες του προβλήματος. Το πιο σημαντικό όμως είναι ότι αυτή η εμπιστοσύνη βοηθάει στο χτίσιμο μιας δυνατής σχέσης με τους μαθητές μας. Τους δείχνει πως τους εμπιστευόμαστε!
• Πολλοί δάσκαλοι, αισθανόμαστε άνετα με την ιδέα να αφήσουμε τους μαθητές να απομακρυνθούν από μια εργασία  που είναι εκτός των Μαθηματικών. Τους λέμε για παράδειγμα,  ότι μπορούν να ξεκινήσουν ένα βιβλίο και να το σταματήσουν επειδή είναι πολύ δύσκολο ή δεν τους ενδιαφέρει. Επίσης, τους λέμε πως μπορούν να ξεκινήσουν να γράφουν ένα κείμενο και αν σε κάποιο σημείο “κολλήσουν”, μπορούν να το αφήσουν για λίγο και να το “ξαναπιάσουν” όταν  σκεφτούν κάποια καλύτερη ιδέα. Οπότε γιατί να μην αφήσουμε τους μαθητές να κάνουν το ίδιο και στα Μαθηματικά;
• Η απογοήτευση μπορεί να οδηγήσει σε μαθηματικό άγχος (Hackworth 1992, Stuart 2000). Έρευνες και εμπειρίες μας λένε ότι η μαθηματικοφοβία υπάρχει και επηρεάζει την μάθηση (Boaler 2016). Σίγουρα, όλοι οι εκπαιδευτικοί στη διάρκεια της επαγγελματικής μας πορείας, έχουμε δει πολλούς μαθητές να φτάνουν στο σημείο να δακρύζουν όταν λύνουν ένα μαθηματικό πρόβλημα.

Όμως κανένα μαθηματικό πρόβλημα δεν αξίζει τα δάκρυα των παιδιών.

Πρέπει να πείσουμε τους μαθητές μας, πως είναι καλό να δίνουν στους εαυτούς τους την άδεια να απομακρυνθούν από ένα μαθηματικό πρόβλημα όταν δεν μπορούν να το προχωρήσουν. Η στάση αυτή βοηθάει πολύ τους μαθητές να αναπτύξουν θετική σχέση με τα Μαθηματικά.

Οπότε τι σημαίνει αυτό πρακτικά σε μια τάξη Μαθηματικών; Για μένα σημαίνει ότι πρέπει να δώσω χώρο στους μαθητές να πουν “Αυτό είναι πολύ για μένα σήμερα” ή “Θέλω περισσότερο χρόνο για αυτό, οπότε θα το πιάσω ξανά αύριο.” Είναι ένας τρόπος να ενθαρρύνω τους μαθητές να πάρουν στα χέρια τους τον έλεγχο της δικής τους μάθησης και να τους βοηθήσω να μάθουν τα όρια και τις προσδοκίες τους. Πρέπει να δώσουμε στους μαθητές μας την άδεια να πουν: “Πρέπει να απομακρυνθώ.”

Το να επιτρέψουμε  στους μαθητές να απομακρυνθούν από ένα μαθηματικό πρόβλημα είναι μία απλή κίνηση, αλλά μπορεί να γίνει και δύσκολη κάποιες στιγμές. Απαιτεί από εμάς να εμπιστευτούμε τους μαθητές μας. Απαιτεί από εμάς τους εκπαιδευτικούς, να αφήσουμε τους μαθητές μας να μας πουν πότε μια η εργασία είναι “πολύ για αυτούς”. Θα μείνετε έκπληκτοι με τις ικανότητες των μαθητών σας, όταν τους δώσετε την αυτονομία να κάνουν τις δικές τους επιλογές. Κατά την εμπειρία μου δεν το εκμεταλλεύονται, απεναντίας, φαίνεται ότι παίρνουν την διαδικασία πιο σοβαρά. Θα δείτε ότι τις περισσότερες φορές, ξαναγυρίζουν έτοιμοι να αντιμετωπίσουν το μαθηματικό πρόβλημα!»

Champagne, Zachary
Mathematics Teacher: Learning and Teaching PK-12, Volume 114