Πού χρησιμεύουν όμως τα μαθηματικά; Γιατί διδασκόμαστε τόσες ώρες μαθηματικά; Πού θα τα χρειαστούμε στη ζωή μας; Είναι μερικές από τις ερωτήσεις των μαθητών προς το μαθηματικό του σχολείου τους. Η αλήθεια είναι πως όχι μόνο οι μαθητές μας αλλά και αρκετοί ενήλικες δεν αντιλαμβάνονται πλήρως τη χρησιμότητα των μαθηματικών στους διάφορους τομείς της ζωής μας. Ένας βασικός λόγος είναι ότι τα μαθηματικά, σε όλες της βαθμίδες της εκπαίδευσης, διδάσκονται συνήθως ξεκομμένα, χωρίς να συνδέονται επαρκώς με ιστορικά γεγονότα, με εφαρμογές τους στην καθημερινή ζωή ή με άλλα επιστημονικά πεδία. Ένας ακόμα λόγος είναι ότι το εκπαιδευτικό μας σύστημα δε βάζει προτεραιότητα στη διδασκαλία του μαθηματικών «ως τρόπο σκέψης».

Μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα χρησιμότητας των μαθηματικών είναι τα παρακάτω:

• Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι μπορούσαν να ξαναβρούν τα όρια των χωραφιών τους μετά από κάθε πλημμύρα του Νείλου με τη βοήθεια της γεωμετρίας.
• Οι αρχαίοι Έλληνες δημιούργησαν εκπληκτικά έργα τέχνης (αγάλματα, μνημεία, Παρθενώνας κλπ.) προήγαγαν σε εντυπωσιακό βαθμό την τεχνολογία (μηχανισμός Αντικυθήρων, υδραγωγείο της Σάμου κλπ.) και ανέπτυξαν τη μουσική, τη φιλοσοφία και γενικά τον πολιτισμό, βασιζόμενοι στα μαθηματικά.
• Ο Κολόμβος ανακάλυψε την Αμερική με τη βοήθεια της αστρονομίας που βασίζεται στην τριγωνομετρία και γενικά δεν θα ήταν δυνατή η ναυσιπλοΐα και ή αεροπλοΐα χωρίς τα μαθηματικά.
• Ο ηλεκτρομαγνητισμός και το εναλλασσόμενο ρεύμα (που λόγω των πλεονεκτημάτων του επικράτησε έναντι του συνεχούς στην διανομή ηλεκτρικής ενέργειας) ανακαλύφθηκαν και ερμηνεύτηκαν επαρκώς χάρη στους μιγαδικούς αριθμούς.

• O Αϊνστάιν ανέπτυξε και θεμελίωσε τη «θεωρία της σχετικότητας» με τη χρήση ανώτερων μαθηματικών (σύμφωνα με αυτή τη θεωρία, η βαρύτητα δεν θεωρείται ως το αποτέλεσμα μιας δύναμης όπως έλεγε ο Νεύτωνας, αλλά οφείλεται στην καμπύλωση του χωροχρόνου, η οποία προκαλείται από την περιεχόμενη στον χωρόχρονο μάζα και ενέργεια).
• Η εξερεύνηση και η κατάκτηση του διαστήματος είναι δυνατή γιατί οι τροχιές των διαστημοπλοίων και των δορυφόρων μπορούν να περιγραφούν ακριβώς και λεπτομερώς με μαθηματικές εξισώσεις.
• Οι υπολογιστές υπάρχουν χάρη στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης και την Άλγεβρα Boole.
• Οι συναλλαγές στις τράπεζες είναι «ασφαλείς» γιατί με τη χρήση μαθηματικών γίνεται η κατάλληλη κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση των δεδομένων.
• Τα αποτελέσματα οποιασδήποτε αναζήτησης μας στο διαδίκτυο προκύπτουν γρήγορα και ιεραρχημένα με βάση μαθηματικούς αλγορίθμους.
• Η εξήγηση της αναπαραγωγής του DΝΑ προκύπτει με τη θεωρία των κόμβων (κλάδος της Τοπολογίας), μέρος της οποίας είναι και η θεωρία των χορδών.
• Οι γιατροί και οι φαρμακοποιοί μπορούν να προσδιορίσουν την χρησιμότητα αλλά και τις παρενέργειες ενός φαρμάκου με τη χρήση των πιθανοτήτων και τη στατιστική.
• Επιπλέον, τα μαθηματικά είναι χρήσιμα στη φιλοσοφία και η φιλοσοφία στα μαθηματικά. Η λογική της απόδειξης και της τεκμηρίωσης κάθε δεδομένου που προκύπτει, είναι κοινή και για τις δύο επιστήμες.

• Η μεγαλύτερη όμως χρησιμότητα των μαθηματικών είναι ότι μας βοηθούν να εξασκήσουμε το πνεύμα μας όπως η γυμναστική μας βοηθά να γυμνάσουμε το σώμα μας. Στόχος της διδασκαλίας τους δεν είναι μόνο η απόκτηση γνώσεων αλλά κυρίως η καλλιέργεια της σκέψης, της λογικής, της αντίληψης, της μνήμης, της παρατηρητικότητας, η ενίσχυση του πρακτικού πνεύματος καθώς και πολλών άλλων γνωστικών λειτουργιών, ικανοτήτων και δεξιοτήτων. (Σκέπτομαι με μαθηματικό τρόπο σημαίνει κάνω παραγωγικούς συλλογισμούς και εκφράζω τις σκέψεις μου με τη γλώσσα και τα σύμβολα των Μαθηματικών).

Άρα τα μαθηματικά βρίσκονται σχεδόν παντού, είναι αναγκαία σε πολλούς τομείς της επιστήμης, της τέχνης και της καθημερινής ζωής και συμβάλλουν στην καλύτερη κατανόηση του κόσμου που μας περιβάλλει. Μάλιστα, χρειάζεται να επισημάνουμε πως έχουμε αρκετά παραδείγματα στα οποία μαθηματικοί είχαν αναπτύξει θεωρίες στα καθαρά μαθηματικά (όχι εφαρμοσμένα) και στη συνέχεια αυτές οι θεωρίες αποτέλεσαν το υπόβαθρο και τη βάση για τη ανάπτυξη μοντέλων και θεωριών σε άλλες επιστήμες (πχ οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες).

Πηγή:

http://blogs.sch.gr/isiglavas/

Αυτό εξελίχθηκε χάρη στη κατασκευή πυραμίδων και την μελέτη χορδών κυκλικών τόξων από τους Έλληνες. Οι πρώτοι πίνακες μελετούσαν τις μεταβολές των γωνιών. Χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο, και τις μεταβολές της γωνίας πάνω σε αυτόν, ορίζουμε την ημιτονοειδή συνάρτηση και στη συνέχεια τις συναρτήσεις του συνημιτόνου και της εφαπτομένης. Κυρίως όμως διαφαίνεται καθαρά πλέον η περιοδικότητά της.

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις,δεν έχουν μόνο όμορφα γραφήματα αλλά έχουν και πολυάριθμες πρακτικές εφαρμογές. Είναι εξαιρετικά χρήσιμες γιατί μπορούν να απεικονίσουν πολλά φυσικά φαινόμενα.

Τα πεδία που χρησιμοποιούν την τριγωνομετρία ή τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις περιλαμβανομένου και της αστρονομίας και  θεωρία της μουσικής, σύνθεση ήχου, ακουστική, οπτική, ανάλυση των χρηματοπιστωτικών αγορών, ηλεκτρονικά, θεωρία πιθανοτήτων, στατιστική, βιολογία, ιατρική απεικόνιση (ακτινογραφία και υπερηχογράφημα), φαρμακευτική, χημεία, θεωρία αριθμών (και ως εκ τούτου, κρυπτογράφηση), σεισμολογία, μετεωρολογία, ωκεανογραφία, πολλές φυσικές επιστήμες, την αρχιτεκτονική, φωνητική, οικονομία, ηλεκτρολογία, μηχανολογία, κατασκευές, γραφικά υπολογιστών, χαρτογραφία, κρυσταλλογραφία και την ανάπτυξη παιχνιδιών.

Πηγές:

Πλατφόρμα Αίσωπος. Ψηφιακό διδακτικό σενάριο: Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι εφαρμογές τους

http://aesop.iep.edu.gr/node/12267/3114

https://el.wikipedia.org/

Ομάδα Κατσάρα Ζωή, Κατσίκη Κλέλια

Οι πρώτοι αριθμοί είναι κάτοικοι του συνόλου των λεγόμενων φυσικών αριθμών, τους οποίους χρησιμοποιούμε, μεταξύ άλλων, για να μετράμε. Ανάλογα με το κείμενο που διαβάζετε, άλλοτε θα βλέπετε πως οι φυσικοί αριθμοί ξεκινάνε από το 0 κι άλλοτε από το 1. Η συμπερίληψη του μηδενός στους φυσικούς βολεύει τους μαθηματικούς που ασχολούνται με τη Θεωρία Συνόλων, ενώ η απουσία του εκείνους που δουλεύουν στη Θεωρία Αριθμών. Αλλά ας μην παρασυρόμαστε με λεπτομέρειες και τεχνικά ζητήματα — τουλάχιστον όχι από τόσο νωρίς. Ποιοι είναι, λοιπόν, οι πρώτοι αριθμοί; Πολύ απλά, είναι όλοι εκείνοι οι φυσικοί αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους. Εδώ ίσως πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι όταν λέμε πως ένας φυσικός  διαιρείται από έναν φυσικό , εννοούμε πώς το υπόλοιπο της διαίρεσης  είναι μηδέν. Είναι προφανές πως οποιοσδήποτε αριθμός που δεν είναι μηδέν διαιρείται με τη μονάδα και τον ίδιο του τον εαυτό — έχει, δηλαδή, τουλάχιστον δύο διαιρέτες. Κάποιοι φυσικοί αριθμοί έχουν ακριβώς δύο διαιρέτες, π.χ., οι 2, 3 και 7, ενώ κάποιοι άλλοι έχουν περισσότερους από δύο, π.χ., οι 9, 12 και 18. Ένας εναλλακτικός ορισμός των πρώτων, λοιπόν, είναι να πούμε πως πρόκειται για τους φυσικούς που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν κι έχουν ακριβώς δύο διαιρέτες. Η λίστα των πρώτων αριθμών ξεκινά έτσι:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Θα παρατηρήσατε πως απουσιάζει το 1, ένας αριθμός που από τον προηγούμενο ορισμό είναι ξεκάθαρα πρώτος. Οι μαθηματικοί όμως δεν θέλουν το 1 στη λίστα με τους πρώτους αριθμούς, αφενός επειδή αποτελεί “τετριμμένη περίπτωση”, όπως συνηθίζουν να λένε, αφετέρου διότι δημιουργεί προβλήματα στην περαιτέρω ανάπτυξη σχετικών θεωριών. Παρατηρήστε, επίσης, ότι το 2 είναι ο μοναδικός πρώτος που ταυτόχρονα είναι ζυγός. Είναι προφανές πως δεν υπάρχει ζυγός πρώτος μεγαλύτερος του 2. Πράγματι, κάθε ζυγός μεγαλύτερος από το δύο έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες –τη μονάδα, το 2 και τον εαυτό του–, επομένως δεν είναι πρώτος.

Δομικοί λίθοι
Θα μπορούσαμε να πούμε πως οι πρώτοι είναι για τους αριθμούς ό,τι είναι τα άτομα για την ύλη: έχουν το ρόλο δομικών λίθων! Πράγματι, το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής μας βεβαιώνει πως κάθε φυσικός μεγαλύτερος της μονάδας είτε είναι πρώτος είτε εκφράζεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Επιπρόσθετα, η ανάλυση ενός οποιουδήποτε αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι μοναδική, εκτός ίσως από τη σειρά που γράφονται οι παράγοντες αυτοί. Έτσι, ο αριθμός 30 μπορεί να γραφτεί μοναδικά ως  (όλοι πρώτοι), ο 6936 ως  (γινόμενο δυνάμεων πρώτων), ο 24475932 ως  κ.ο.κ.

Μια πρώτη έκπληξη
Μια πρακτική εφαρμογή που βρίσκουν οι πρώτοι αριθμοί είναι στην κρυπτογραφία, που ως τεχνική χρησιμοποιείται π.χ. στη διασφάλιση του απορρήτου των τηλεπικοινωνιών ή σε εμπορικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, όποτε κάνουμε μια αγορά από το ίντερνετ με την πιστωτική μας κάρτα, η συναλλαγή με το ηλεκτρονικό κατάστημα κρυπτογραφείται. Απουσία των πρώτων αριθμών –και με δεδομένη την ισχύ των σύγχρονων υπολογιστών–, η όποια μέθοδος κρυπτογράφησης είναι πολύ πιθανό πως θα έσπαζε εύκολα κι επομένως τα στοιχεία της πιστωτικής μας θα γίνονταν γνωστά σε τρίτους. Τώρα, σε μια ισχυρή μέθοδο κρυπτογράφησης είναι απαραίτητο να υπεισέρχονται πολύ μεγάλοι πρώτοι αριθμοί (μεγαλύτεροι από ), επομένως χρειάζονται μέθοδοι ή αλγόριθμοι ευρέσεως πρώτων. Χρειάζονται, επίσης, αλγόριθμοι που θα αποφασίζουν εάν ένας αριθμός είναι πρώτος ή όχι. Μπορείτε π.χ. να βρείτε αν ο αριθμός 2047 είναι πρώτος; Με μια πρώτη ματιά μάλλον όχι, εκτός κι αν έχετε κάποιο ιδιαίτερο χάρισμα στη διαίρεση. Όπως και να ‘χει, με λίγο ή πολύ κόπο θα διαπιστώσετε ότι το 2047 διαιρείται με το 89 αλλά και με το 23, επομένως δεν είναι πρώτος. Καλώς. Τι μπορείτε όμως να πείτε για τον αριθμό 2147483647; Για τον 2305843009213693951; (Είναι και οι δύο πρώτοι, μάλιστα ανήκουν στους λεγόμενους πρώτους του Mersenne.)