Το τρίγωνο του Πασκάλ
Το τρίγωνο του Pascal πήρε το όνομα του από τον μαθηματικό Blaise Pascal. Ωστόσο πολλοί άλλοι μαθηματικοί το είχαν ανακαλύψει και είχαν βρει κάποιες από τις ιδιότητές του αρκετές εκατοντάδες χρόνια πριν από αυτόν. Κοντά στον 10 αιώνα μ.χ ήταν ήδη γνωστο στον Πέρση μαθηματικό Al-Karaji αλλά και στον συμπατριώτη του Omar Khayyam, όπως και επίσης και στον κινέζο μαθηματικό Yang Hui 2 αιώνες αργότερα.
Ο Blaise Pascal (19/6/1623 – 19/8/1662) ήταν έναν παιδί θαύμα. Η μητέρα του πέθανε όταν ήταν τριών μόλις χρονών, και λίγο αργότερα, ο πατέρας του Πασκάλ, Ετιέν Πασκάλ προσωπικά επέβλεψε την κατ’ οίκον εκπαίδευση του υιού του. Αποφάσισε πως ο γιος του Μπλεζ, δεν έπρεπε να διδαχτεί μαθηματικά πριν από τα 15 του χρόνια, και γι’ αυτό τον λόγο απομάκρυνε κάθε είδους μαθηματικό εγχειρίδιο από το σπίτι στο οποίο διέμεναν. Όμως το μόνο που κατάφερε με όλη αυτή την κίνηση ήταν να εξάψει την περιέργεια του νεαρού Μπλεζ για το απαγορευμένο αντικείμενο.
Ο Pascal με το έργο του Traité du triangle arithmétique το 1654 ανακάλυψε πολλές από τις ιδιότητες του τριγώνου τις οποίες χρησιμοποίησε για να λύσει προβλήματα των πιθανοτήτων.
Το τρίγωνο του Pascal είναι ένα αριθμητικό τρίγωνο οι σειρές του οποίου κατασκευάζονται ως εξής:
Στην κορυφή του τριγώνου είναι ο αριθμός 1. (Μηδενική σειρά) Η πρώτη σειρά έχει επίσης τους αριθμούς 1 και 1.
Κάθε επόμενη σειρά έχει στις άκρες τον αριθμό 1 και τα υπόλοιπα στοιχεία της προκύπτουν αν προσθέσουμε τον αριθμό που βρίσκεται πάνω και αριστερά με το αυτόν που βρίσκεται πάνω και δεξιά.
Είναι σχεδόν αδιανόητο ο Γάλλος μαθηματικός να δημιουργούσε αυτό το… μαγικό τρίγωνο, γνωρίζοντας όλες τις ιδιότητες του. Τα εντυπωσιακά χαρακτηριστικά του τριγώνου, αποκαλύφθηκαν από μεταγενέστερες μελέτες πάνω του. Κάποια από αυτά τα χαρακτηριστικά, που μετέτρεψαν το «Τρίγωνο του Πασκάλ» σε… αντικείμενο λατρείας, παρουσιάζονται παρακάτω.
●Η δεύτερη διαγώνιος του τριγώνου του Pascal περιέχει όλους τους φυσικούς αριθμούς 1, 2 ,3 4, …
●Η τρίτη διαγώνιος περιέχει όλους τους τριγωνικούς αριθμούς 1,3,6,15,…
●Το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής του τριγώνου μας δίνει τις δυνάμεις του 2.
1=20
1+1=21
1+2+1=4=22
1+3+3+1=8=23
Το τρίγωνο του Pascal μας βοηθά να υπολογίσουμε το πλήθος των συνδυασμών ν στοιχείων ανά κ όταν η σειρά δεν μας ενδιαφέρει.
Για παράδειγμα, σκεφτείτε ότι θέλετε να αγοράσετε παγωτό από ένα μαγαζί. Ο ιδιοκτήτης έχει σήμερα 5 διαφορετικές γεύσεις. Πόσους συνδυασμούς διαφορετικών γεύσεων μπορείτε να κάνετε; Η απάντηση βρίσκεται στους αριθμούς της 5ης γραμμής (χωρίς να λάβουμε υπόψη μας την κορυφή).
Υπάρχει 1 τρόπος για να μην πάρετε καμία γεύση, 5 τρόποι για να πάρετε 1 γεύση, 10 τρόποι να έχετε 2, 10 τρόποι να πάρετε 3, 5 τρόποι να πάρετε 4 και 1 τρόπος να πάρετε 5.
Αρχικά:
