Το παραπάνω αξίωμα είναι ισοδύναμο με το  5^ο αίτημα των «Στοιχείων» του Ευκλείδη (Ευκλείδειο αίτημα).

Το Ευκλείδειο αίτημα ή κάποιο ισοδύναμό του  καθορίζει τη φύση ολόκληρης της Γεωμετρίας  και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Πηγή: σχ. βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία» Τεύχος Α΄ , σελίδα 81.

Πολλοί ήταν αυτοί που προσπάθησαν να αποδείξουν το παραπάνω αξίωμα. Υπέπεφταν όμως στο σφάλμα, κατά την απόδειξη, να  χρησιμοποιούν ισοδύναμη πρόταση προς την αποδεικτέα.

Οι προσπάθειες , λοιπόν, αυτές γέννησαν τις Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες.

Γύρω στο 1830, ο Ούγγρος μαθηματικός Γιάννος Μπολιάι και ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι δημοσιεύουν χωριστά πραγματείες για την Υπερβολική Γεωμετρία.

Ο Μπέρναρντ Ρίμαν, σε μια διάσημη διάλεξη του το 1854,  ανακοίνωσε την ύπαρξη μιας άπειρης οικογένειας από γεωμετρίες που δεν είναι Ευκλείδειες. Η απλούστερη από αυτές ονομάζεται Ελλειπτική Γεωμετρία.

Διαφορές μεταξύ Ευκλείδειας-Υπερβολικής-Ελλειπτικής Γεωμετρίας:

• Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία από σημείο Α εκτός ευθείας ε άγεται μοναδική παράλληλη προς αυτήν.
• Στην Υπερβολική Γεωμετρία υπάρχουν άπειρες το πλήθος ευθείες διερχόμενες από το A που δεν τέμνουν την ε.
• Στην Ελλειπτική Γεωμετρία, κάθε ευθεία διερχόμενη του A τέμνει την ε.

Άλλος τρόπος να περιγράψουμε την διαφορά μεταξύ αυτών των γεωμετριών είναι να θεωρήσουμε 2 ευθείες επ” αόριστον επεκταμένες σε ένα δισδιάστατο επίπεδο που είναι και οι 2 κάθετες σε μία 3η ευθεία:

• Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία οι ευθείες διατηρούν σταθερή απόσταση η μία από την άλλη ακόμα και αν επεκταθούν στο άπειρο, και είναι γνωστές ως παράλληλες.
• Στην Υπερβολική Γεωμετρία καμπυλώνουν απομακρυνόμενες η μία από την άλλη, αυξάνοντας την μεταξύ τους απόσταση καθώς η μία απομακρύνεται από τα σημεία τομής με την κοινή κάθετη; τέτοιες ευθείες συχνά αποκαλούνται υπερπαράλληλες.
• Στην Ελλειπτική Γεωμετρία καμπυλώνουν η μία προς την άλλη και τέμνονται.

Περισσότερες πληροφορίες: wikipedia

 Παράδειγμα το 220 και το 284.

Έχουμε:

• Οι γνήσιοι διαιρέτες του 220 είναι: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 και 110
• Όμοια του 284 είναι: 1, 2, 4, 71 και 142

Αν προσθέσουμε τους αντίστοιχους διαιρέτες των δύο αριθμών προκύπτει:

• 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
• 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Αυτοί οι αριθμοί θεωρούνται «φίλοι» δηλαδή «αγαπημένοι».

Υπάρχουν κι άλλοι φίλιοι αριθμοί εκτός από το 220 και το 284.

Ο Pierre Fermat  βρήκε το ζεύγος 17.296 και 18.416.

Ο Renè Descartes  το ζεύγος 9.363.584 και 9.437.056.

Ο Nicolò Paganini  το ζεύγος 1.184 και 1.210.

Φυσικά υπάρχουν πολλά τέτοια ζεύγη φίλιων αριθμών.

Ο Πυθαγόρας μέσω των «φίλιων αριθμών», συνδυάζει τα μαθηματικά με τον ορισμό της φιλίας. «Ως έτερος εγώ o Πυθαγόρας ορίζει τον φίλο ως τον άλλο εαυτό».

Τι είναι φίλος; Αυτός που είναι ο άλλος σου εαυτός.

Πρόταση: δείτε την ταινία του Σ. Τσαφούλια   «Ο Έτερος Εγώ». Αστυνομική ταινία με μια σειρά δολοφονιών που στηρίζονται στην θεωρία των φίλιων αριθμών και στην αξία της φιλίας.