O αριθμός π είναι ίσως ο πιο διάσημος αριθμός στα μαθηματικά. Διδάσκεται αρχικά στη Β’ γυμνασίου αλλά απαντάται και στις υπόλοιπες εκπαιδευτικές βαθμίδες. O Willian Jones, το 1706 μ.Χ. χρησιμοποίησε για πρώτη φορά το ελληνικό γράμμα «π», που προέρχεται από τη λέξη periphery (δηλαδή περιφέρεια), για τον συμβολισμό του.
Για να κατανοήσουμε τον αριθμό π, θα πρέπει να τον συνδέσουμε με το μήκος κύκλου:
Με τη βοήθεια ενός διαβήτη σχεδιάζουμε έναν κύκλο. Τοποθετούμε ένα κομμάτι κλωστή στο επάνω μέρος του κύκλου και την περιστρέφουμε μέχρι να φτάσουμε στο σημείο από το οποίο ξεκινήσαμε. Ισιώνουμε την κλωστή και μετράμε πόσα εκατοστά είναι. Τα εκατοστά αυτά είναι το μήκος του κύκλου που σχεδιάσαμε. Το μήκος του κύκλου, συνήθως το συμβολίζουμε με το αγγλικό γράμμα L, από την λέξη length που σημαίνει μήκος.
Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου και διέρχεται από το κέντρο του λέγεται διάμετρος και συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα δ. Αν διαιρέσουμε το μήκος ενός κύκλου με τη διάμετρό του, θα παρατηρήσουμε ότι το πηλίκο της διαίρεσης L/δ θα μας δώσει περίπου 3,14. Ο λόγος L/δ είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου. Για παράδειγμα, αν ένας κύκλος έχει διπλάσια διάμετρο, αυτός θα έχει και διπλάσια περιφέρεια, διατηρώντας τον λόγο L/δ σταθερό. Αυτός ο σταθερός αριθμός που είναι ίσος με περίπου 3,14 ονομάζεται σταθερά π.
Ο π είναι ένας άρρητος αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί σαν ένα κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή ακεραίους. Η δεκαδική του μορφή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία, μη επαναλαμβανόμενα.
Τα πρώτα 100 ψηφία του π είναι: 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067
Ιστορική αναδρομή
Οι παλαιότερες γραπτές προσεγγίσεις του αριθμού π έγιναν από τους αρχαίους Βαβυλώνιους και Αιγύπτιους.
Στη Βαβυλώνα, σε έναν δίσκο που χρονολογείται μεταξύ 1900-1600 π.Χ. αναγράφεται μια τιμή του π ως 3,125, η οποία έχει υπολογιστεί με τη χρήση γεωμετρικών μεθόδων.
Από τον πάπυρο του Ρίντ (περίπου1650 π.Χ.) πληροφορούμαστε ότι οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μια προσέγγιση του π, ίση με 3,1605.
Μια από τις πιο σημαντικές εκτιμήσεις όμως πραγματοποιήθηκε από τον Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.) .Παρατήρησε ότι αν δημιουργηθεί ένας κύκλος, ένα εγγεγραμμένο τετράγωνο (μέσα στον κύκλο) και ένα περιγγεγραμμένο τετράγωνο (έξω από τον κύκλο), ο αριθμός π θα μπορεί να εκτιμηθεί ως εξής.
Περίμετρος περιγγεγραμμένου τετραγώνου / διάμετρο κύκλου = 4
Περίμετρος εγγεγγραμμένου τετραγώνου / διάμετρο κύκλο = 2,82
άρα 4<π<2,82
Στη συνέχεια παρατήρησε ότι ένα κανονικό πεντάγωνο μοιάζει περισσότερο με τον κύκλο και ένα κανονικό εξάγωνο ακόμα περισσότερο κλπ.
Χρησιμοποιώντας λοιπόν ένα κανονικό πολύγωνο με 96 πλευρές εγγεγραμμένο σε έναν κύκλου (μέσα στον κύκλο) και ένα κανονικό πολύγωνο με 96 πλευρές περιγγεγραμμένο στον κύκλο (έξω από τον κύκλο), κατάφερε να εκτιμήσει τον αριθμό π πάλι με τον ίδιο τρόπο.
Περίμετρος περιγγεγραμμένου πολυγώνου / διάμετρο κύκλου = 3,1408
Περίμετρος εγγεγγραμμένου πολυγώνου / διάμετρο κύκλο = 3,1429
άρα 3,1408 < π < 3,1429
Αυτή ήταν και η ακριβέστερη τιμή μέχρι τότε.
Ο Πτολεμαίος (2ος αιώνας μ.Χ.) υπολόγισε το π ως 3,1416, πολύ κοντά στη σύγχρονη προσέγγιση.
Στον Πλάτωνα αποδίδεται η παρακάτω φράση
«Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι»
Τα γράμματα κάθε λέξης της παραπάνω φράσης αντιστοιχούν σε ένα ψηφίο του αριθμού π από τα πρώτα 23.
Αεί (3,) ο (1) Θεός (4) ο (1) Μέγας (5) γεωμετρεί (9), το (2) κύκλου (6) μήκος (5) ίνα (3) ορίση (5) διαμέτρω (8), παρήγαγεν (9) αριθμόν (7) απέραντον (9), και (3) όν (2), φεύ (3), ουδέποτε (8) όλον (4) θνητοί (6) θα (2) εύρωσι (6)
Τον 5ο αιώνα μ.Χ. ο Κινέζος μαθηματικός Ζου Τσονγκζί, βρήκε την εξαιτική προσέγγιση π, δεδομένης της εποχής του.
Ινδοί και Άραβες μαθηματικοί από τον 8ο -15ο αιώνα μ.Χ. χρησιμοποίησαν μεθόδους παρόμοιες με αυτές του Αρχιμήδη για την εκτίμηση του π. Συγκρίνοντας το εμβαδόν κανονικών πολυγώνων έως και 12.288 πλευρών υπολόγισαν το π με ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια.
Η ανάπτυξη της Άλγεβρας και της ανάλυσης αποτέλεσαν καθοριστικό παράγοντα για τον ακριβέστερο προσδιορισμό του π. Τον 17ο αιώνα μ.Χ. ο Νεύτωνας, ο Λάιμπνιτς, ο Τζ.Γκρέγκορι και άλλοι ανέπτυξαν μαθηματικές σειρές για την προσέγγιση του π με πολλά δεκαδικά ψηφία. Ενδεικτικά, το 1699 ο Abraham Sharp, Άγγλος μαθηματικός και αστρονόμος προσδιόρισε τον αριθμό π με ακρίβεια 71 ψηφίων. Το 1706 ο John Machin, καθηγητής αστρονομίας προσδιόρισε το π με ακρίβεια 100 ψηφίων και το 1719 ο μαθηματικός Thomas Fantet de Lagny με ακρίβεια 112 ψηφίων.
Τον 20ο αιώνα η ανακάλυψη των υπολογιστών έκανε πολύ πιο εύκολη την διαδικασία προσέγγισης του αριθμού π, με εκτιμήσεις που ανέρχονται σε ακρίβεια 2.037 ψηφίων.
Το 2022 ο πιο ακριβής υπολογισμός του αριθμού π έφτασε τα 100 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία με τη χρήση υπερυπολογιστών.
Συνεισφορά στην επιστήμη
Ο αριθμός π εμφανίζεται σε πολλούς τομείς των μαθηματικών όπως είναι η τριγωνομετρία και η γεωμετρία, οι οποίες είναι απαραίτητες σε άλλους τομείς όπως η αρχιτεκτονική και η ρομποτική.
Πολυάριθμες είναι οι εφαρμογές του, στη Φυσική και στη Μηχανική. Εμφανίζεται στις εξισώσεις που περιγράφουν τη γεωμετρία του χωροχρόνου. Γενικά βοηθά τους επιστήμονες να καταλάβουν αντικείμενα και φαινόμενα στη φύση που περιλαμβάνουν κυκλικό σχήμα, όπως η τροχιά των πλανητών κ.ά.
Εμφανίζεται ακόμα και σε υπολογισμούς όπου οι κύκλοι δεν φαίνεται να υπάρχουν, όπως είναι η ταυτότητα του Euler, που αφορά τον κλάδο των μιγαδικών αριθμών και έχει χαρακτηριστεί ως ‘’μαθηματική ομορφιά’’.
Εορτασμός
Το 1988 καθιερώθηκε ο εορτασμός του αριθμού π, κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου, λόγω της αναγραφής της ημερομηνίας 3/14 σύμφωνα με τον Αμερικανικό τρόπο γραφής που περιλαμβάνει τα 3 πρώτα ψηφία του αριθμού. Το 2009 η Βουλή των Αντιπροσώπων των ΗΠΑ υποστήριξε τη θέσπιση της ημέρας του π.
Εκτός της ημέρας του π , υπάρχει και η ημέρα προσεγγίσεως του π (Pi Approximation Day), στις 22 Ιουλίου κάθε χρόνου (22/7 με τον δικό μας τρόπο γραφής των ημερομηνιών), καθώς το κλάσμα 22/7 αποτελεί μία συνηθισμένη προσέγγιση του π, χρονολογούμενη από τον Αρχιμήδη.
Η ημέρα αυτή γιορτάζεται με εκδηλώσεις σε διάφορα μουσεία και πανεπιστήμια. Στους εορτασμούς συμπεριλαμβάνονται η κατανάλωση και το πέταγμα πιτών αλλά και παρελάσεις γύρω από τους κυκλικούς χώρους αυτών των κτιρίων.
Το ΜΙΤ φροντίζει ώστε οι αποφάσεις του, για την εισαγωγή μελλοντικών φοιτητών, να φθάνουν σε αυτούς κατά την ημέρα του π. Από το 2012 το MIT έχει ανακοινώσει ότι θα αναρτά αυτές τις αποφάσεις (ιδιωτικά) στο διαδίκτυο κατά την ημέρα του π, ακριβώς στις 6:28 μ.μ., χρόνο τον οποίο έχουν αποκαλέσει «χρόνο του τ», ώστε να τιμήσουν εξίσου τους αριθμούς π και 2π = τ.
Αξίζει να σημειωθεί ότι η ημέρα αυτή είναι ιστορικής σημασίας, καθώς είναι η ημέρα της γέννησης του Albert Einstein (14 Μαρτίου 1879) και του θανάτου του Steven Hawking (14 Μαρτίου 2018), δύο από τους λαμπρότερους φυσικούς της σύγχρονης ιστορίας μας.
