Ζούμε ακόμα σε έναν Ευκλείδειο κόσμο

By physicsgg on 05/02/2022 • ( 2 )

Η γεωμετρία της αρχαίας Ελλάδας αντέχει για περισσότερες από δύο χιλιετίες, ακόμη και μετά τη σχετικότητα και την κβαντομηχανική

Ο Ευκλείδης έγραψε το διάσημο εγχειρίδιο γεωμετρίας του, τα «Στοιχεία», περί το 300 π.Χ. Πρόκειται για ένα αριστούργημα στοχασμού και παρουσίασης. Τα «Στοιχεία» συνάγουν άφθονα, απροσδόκητα και ισχυρά αποτελέσματα διαμέσου μερικών ξεκάθαρα διατυπωμένων, «αυτονόητων» υποθέσεων, ή αλλιώς αξιωμάτων. Χρησίμευσε στην εκπαίδευση πολλών γενιών μαθητών όχι μόνο στην γεωμετρία, την επιστήμη του χώρου και της μέτρησης, αλλά και στην τέχνη της καθαρής σκέψης και των λογικών συμπερασμάτων. Πολλά έχουν συμβεί στην επιστήμη από τότε που εμφανίστηκε το βιβλίο πριν από δύο χιλιετίες και πλέον αλλά κατά κάποιο τρόπο, – αν και υπήρξαν μερικές πολύ αργές αλλαγές – ο Ευκλείδης αντέχει.

Το σύστημα της κλασικής μηχανικής και βαρύτητας του Isaac Newton και το σύστημα ηλεκτρομαγνητισμού του James Clerk Maxwell χτίστηκαν πάνω στα θεμέλια της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Πρόσθεσαν σωματίδια, πεδία και δυνάμεις, αλλά ο χώρος στον οποίο ζούσαν αυτά τα αντικείμενα ήταν του Ευκλείδη.

Ένα από τα αξιώματα του Ευκλείδη, το λεγόμενο αξίωμα της παραλληλίας, φάνηκε σε πολλούς μεταγενέστερους αναγνώστες λιγότερο πειστικό από τα υπόλοιπα. Λέει ότι οι κάθετοι που φέρονται από δύο διαφορετικά σημεία σε μια ευθεία δεν τέμνονται ποτέ, αλλά ότι όλα τα υπόλοιπα ζεύγη ευθειών που διέρχονται από αυτά τα σημεία τέμνονται μία φορά. Τον 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί έδειξαν ότι τροποποιώντας λίγο το αξίωμα της παραλλλίας του Ευκλείδη και διατηρώντας τα υπόλοιπα αξιώματά του, μπορούμε να πάρουμε μια όμορφη —και συνεπή— περιγραφή του πως λειτουργεί η γεωμετρία στην επιφάνεια μιας σφαίρας.

Ο Γερμανός μαθηματικός Bernhard Riemann ακολούθησε μια πιο ριζοσπαστική προσέγγιση. Εμπνευσμένος από την προοπτική της περιγραφής επιφανειών και υπερεπιφανειών περισσότερων διαστάσεων, πρότεινε ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία γίνεται ακριβής σε μικρές αποστάσεις (όπου η επίδραση της καμπυλότητας είναι αμελητέα), αλλά για να περιγράψει κανείς την μεγάλης κλίμακας γεωμετρία πρέπει να συνδυάσει τις τοπικές περιγραφές. Όπως για παράδειγμα, ένας σκιέρ που κατεβαίνει ένα ανώμαλο βουνό, ενώ προσπαθεί να διανύσει μια ευθεία, στην συνολική του πορεία διανύει μια καμπύλη.

Η ειδική θεωρία της σχετικότητας του Albert Einstein το 1905 ενέπνευσε έναν από τους δασκάλους του, τον Hermann Minkowski, να προτείνει μια ακόμα γενίκευση της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Τελειώνοντας τη διάλεξή του «Χώρος και Χρόνος» το 1908, διακήρυξε: «Εφεξής ο χώρος και ο χρόνος από μόνοι τους, είναι καταδικασμένοι να ξεθωριάσουν σε απλές σκιές και μόνο ένα είδος ένωσης των δύο θα διατηρήσει μια ανεξάρτητη πραγματικότητα». Ωστόσο, ο χωροχρόνος του Minkowski εξακολουθεί να έχει τις ρίζες του στον Ευκλείδη. Ενσωματώνει μια γενίκευση του αξιώματος παραλληλίας και το «χωρικό» μέρος του σε οποιαδήποτε σταθερή στιγμή είναι ο καθαρά Ευκλείδειο. Απέμεινε στον Αϊνστάιν να κάνει για τον Minkowski ότι είχε κάνει ο Riemann για τον Ευκλείδη, δηλαδή να εισάγει την καμπυλότητα του χωροχρόνου στην γενική θεωρία της σχετικότητας του 1915 .

Αυτό το πλαίσιο λειτούργησε άψογα. Υποστηρίζει εφαρμογές που ο Ευκλείδης δεν φαντάστηκε ποτέ, όπως οι έννοιες των διαστελλόμενων συμπάντων, των βαρυτικών κυμάτων και (θεωρητικά) τις σκουληκότρυπες που συνδέουν απομακρυσμένα μεταξύ τους μέρη. Όμως, το πλαίσιο του Αϊνστάιν εξακολουθεί να είναι με αναγνωρίσιμο τρόπο Ευκλείδειο, επεκταμένο και προσαρμοσμένο ώστε να εισάγει τον χρόνο και την μεγάλης κλίμακας καμπυλότητας.

Τα κβαντικά φαινόμενα μπορεί να φαίνεται πως υπονομεύουν τις πιο θεμελιώδεις έννοιες του Ευκλείδη για τον χώρο: την δυνατότητα να τον διαιρέσουμε σε μικρά κομμάτια και να τον μετρήσουμε με κανόνες και διαβήτες. Οι κβαντικοί χάρακες αποτελούνται από άτομα και τα άτομα είναι θολά συγκροτήματα κυματοειδών ηλεκτρονίων. Οι μεταγενέστερες εξελίξεις στα μαθηματικά κατέστησαν επίσης αυτές τις Ευκλείδειες υποθέσεις το αντίθετο του «αυτονόητου».

Κι όμως το Καθιερωμένο Πρότυπο των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων εξακολουθεί να βρίσκεται υπό την σκέπη του Ευκλείδη. Τα σχετικιστικά κβαντικά πεδία εξακολουθούν να ζουν στο συνεχές του Ευκλείδη – ή ακριβέστερα, στην επικαιροποίησή του από τον Αϊνστάιν. Για μένα, πρόκειται για το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα αυτού που ο Eugene Wigner αποκάλεσε «η παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες».

Frank Wilczek (βραβείο Νόμπελ Φυσικής 2004)- https://www.wsj.com/articles/were-all-still-living-in-euclids-world-11644014149?mod=Searchresults_pos1&page=1

Διασκεδάστε μαζί μας!!!»

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]