Η Ανακάλυψη της Ασυμμετρίας

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ – Η ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΗΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ

 

Του Β. Σαλεβουράκη, Μαθηματικού MSc, Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

 

Οι μαθητές και οι μαθήτριες  που τελειώνουν το Γυμνάσιο, θα πρέπει να έχουν εμπεδώσει πλήρως, ποιο είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Και αυτό,  διότι θα είναι το αντικείμενο της μελέτης τους στα μαθηματικά μέχρι να τελειώσουν το λύκειο και  για πολλούς  εξ αυτών θα είναι το σύνολο των αριθμών με το οποίο θα ασχοληθούν  και στο πανεπιστήμιο.  Το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από δύο υποσύνολα ξένα μεταξύ τους (που δεν έχουν δηλαδή κοινά στοιχεία), τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς.

Α) Το σύνολο των ρητών είναι εκείνο,  που περιέχει όλους αυτούς τους αριθμούς, που μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος με αριθμητή ακέραιο και παρονομαστή φυσικό διάφορο του μηδενός. Δηλαδή είναι το σύνολο Q = { , με μ  και ν ^* }. Πρόκειται για τους Φυσικούς, τους αντίθετους αυτών, τα κλάσματα, τους τερματιζόμενους δεκαδικούς και τους περιοδικούς δεκαδικούς.

Β) Το σύνολο των αρρήτων (από το στερητικό α και τον παρακείμενο του ρήματος λέγω), είναι εκείνο, που αποτελείται από όλους τους αριθμούς που δεν είναι ρητοί. Δηλαδή από αυτούς που δε γράφονται σε μορφή κλάσματος, όπως αυτή περιγράφηκε παραπάνω. Οι αριθμοί αυτοί έχουν μορφή δεκαδικού με άπειρα δεκαδικά ψηφία, αλλά δεν είναι περιοδικοί.

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί και φιλόσοφοι, χρησιμοποιούσαν τον όρο ¨σύμμετροι αριθμοί¨ για τους ρητούς και τον όρο ¨ασύμμετροι αριθμοί¨ για τους άρρητους.

Τρεις είναι οι μεγάλοι σταθμοί – επαναστάσεις, κατά τη διάρκεια της ανάπτυξης των μαθηματικών από τα αρχαία χρόνια μέχρι και τον 19^ο αιώνα.

1)      Η ανακάλυψη της ασυμμετρίας δηλαδή των αρρήτων αριθμών από τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς

2)      Η ανακάλυψη της αναλυτικής γεωμετρίας από τον Γάλλο  μαθηματικό και φιλόσοφο  Καρτέσιο (Rene Descartes, 1596 – 1650).

3)      Η ανακάλυψη και θεμελίωση του απειροστικού λογισμού από τους  Νεύτωνα και Λαϊμπνιτς (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716) (Isaac Newton, 1642-1643)

Πριν έρθουμε στο θέμα που πραγματευόμαστε σε αυτό το άρθρο, αξίζει τον κόπο να κάνουμε μια αναδρομή στα μαθηματικά πριν τον 6^ο  π.Χ.  αιώνα, αφ’ ενός διότι δεν μπορούμε να παραβλέψουμε τη συνέχεια στην ανάπτυξη των μαθηματικών μέσα στους αιώνες, αφ’ ετέρου διότι ο αναγνώστης θα έχει μια εικόνα για την ανάπτυξή τους, στο διάστημα πριν τον 6^ο π.Χ. αιώνα.

Τα μαθηματικά πριν από τον 6^ο αιώνα π.Χ.

 

Οι πληροφορίες που έχουμε από αιγυπτιακούς παπύρους και από κείμενα των αρχαίων Βαβυλωνίων που βρέθηκαν σε πήλινες πινακίδες και αγγεία, μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι απαρχές των Μαθηματικών εντοπίζονται στους πολιτισμούς που ανέπτυξαν χώρες όπως η Κίνα, η Ινδία, η Αίγυπτος και οι λαοί της Μεσοποταμίας, όπως οι Βαβυλώνιοι και οι Σουμέριοι. Η περίοδος που καλύπτεται αφορά το διάστημα μεταξύ των ετών 3000 π.Χ. και 600 π.Χ.,  οπότε και εμφανίζονται οι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι.

Τα μαθηματικά που ανέπτυξαν οι λαοί αυτοί είναι κυρίως υπολογιστικά και προέκυψαν κάτω από την πίεση που άσκησαν οι πρακτικές ανάγκες εκείνης της εποχής, ανάγκες που σχετίζονταν με το να χειρίζονται θέματα που αποτελούσαν μέρος των καθημερινών τους ασχολιών. Τέτοια ήταν η εύρεση του εμβαδού αγροτεμαχίων για τον ακριβή υπολογισμό του φόρου, το μοίρασμα καθορισμένης ποσότητας σιταριού σε συγκεκριμένο αριθμό ατόμων, ή η δίκαιη διανομή συσσιτίου σ’ έναν αριθμό εργατών.

Τεκμηριωμένα λοιπόν οι λαοί αυτοί γνώριζαν πώς να υπολογίζουν το εμβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλογράμμων και τραπεζίων. Επίσης, υπολόγιζαν όγκους πρισμάτων και κυλίνδρων πολλαπλασιάζοντας το εμβαδόν της βάσης επί το ύψος, καθώς και τον όγκο της κόλουρης πυραμίδας. Από τη πλευρά της αριθμητικής μπορούσαν να λύσουν προβλήματα που ανάγονταν σε εξισώσεις καθώς και συστήματα εξισώσεων. Οι Βαβυλώνιοι ειδικά ήσαν γνώστες του πυθαγορείου θεωρήματος και των πυθαγορείων τριάδων.

Στις χώρες αυτές της Ανατολής, οι παραπάνω μαθηματικές γνώσεις έμοιαζαν θα λέγαμε με μια συλλογή από χρήσιμες συνταγές που ελάχιστα συνδέονταν μεταξύ τους. Μόνο υποθέσεις έχουν γίνει για τον τρόπο παραγωγής αυτών των κανόνων – άλλοι ακριβείς και άλλοι προσεγγιστικοί – είναι βέβαιο όμως ότι η βασική ιδέα υπολογισμού του εμβαδού στοιχειωδών σχημάτων ήταν η κατάτμηση του επιπέδου σχήματος σε τρίγωνα και η  ανακατανομή των κομματιών, ώστε να καταλήγουν σε ένα η περισσότερα ορθογώνια. Η άποψη αυτή σχετικά με τη μαθηματική παιδεία που ανέπτυξαν αυτοί οι λαοί έχει αλλάξει άρδην, από τη στιγμή της ανακάλυψης, της μελέτης και της μετάφρασης, του πάπυρου του Rhind – Ahmes και του πάπυρου της Μόσχας.

 

Αξιοσημείωτο είναι ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν βρει για την  τη προσεγγιστική τιμή 1,414213, μια τιμή που διαφέρει ελάχιστα από τη σημερινή προσέγγιση. Για το εμβαδόν του κύκλου, οι μεν Βαβυλώνιοι (όπως και οι Κινέζοι) χρησιμοποιούσαν το τύπο Ε = , όπου c το μήκος της περιφέρειας του κύκλου και d η διάμετρος του, οι δε Αιγύπτιοι το τύπο ο οποίος δίνει για τον αριθμό π την προσεγγιστική τιμή 3,16049. Σύμφωνα με όσα περιέχονται στον πάπυρο της Μόσχας, διαπιστώνουμε ότι  ήξεραν επίσης να υπολογίζουν τον όγκο της κόλουρης πυραμίδας με τετραγωνική βάση, δια μέσου του τύπου , όπου h είναι το ύψος και α,b οι πλευρές της άνω και κάτω βάσης. Είναι αδύνατον να υποθέσουμε ότι ο τύπος αυτός βρέθηκε εμπειρικά. Πρέπει να ελήφθη βάσει ενός θεωρητικού συλλογισμού.

Eξ’ άλλου, από τα  προβλήματα  26 και 40 του παπύρου του Rhind – Ahmes συμπεραίνουμε ότι για τη λύση υπολογιστικών προβλημάτων οι Αιγύπτιοι εφάρμοζαν τη «μέθοδο της αυθαίρετης παραδοχής». Ένα παράδειγμα τέτοιου υπολογισμού είναι το πρόβλημα 26, στο οποίο ζητείται να βρεθεί η ποσότητα στην οποία, αν προσθέσουμε το τέταρτο μέρος αυτής, κάνουν μαζί 15. Εμείς θα λύναμε το πρόβλημα αυτό, σχηματίζοντας την εξίσωση x+x/4=15.  Ο Αιγύπτιος όμως δεν εργαζόταν έτσι. Άρχιζε με την αυθαίρετη υπόθεση ότι η ζητούμενη ποσότητα ισούται με έναν αριθμό, έστω τον αριθμό 4. Το τέταρτο του 4 είναι το 1. Αλλά 4+1=5 και όχι 15, όπως απαιτεί η συνθήκη του προβλήματος. Πρέπει λοιπόν να βρούμε πόσες φορές χωράει το 5 στο 15. Το 15 είναι τριπλάσιο του 5, άρα πρέπει να τριπλασιαστεί και ο αριθμός 4 που επιλέχτηκε αυθαίρετα και γίνεται έτσι 12. Το τέταρτο του 12 είναι το 3 και 12+3=15, είναι η λύση του προβλήματος.

 

Σύμφωνα με ένα σχόλιο του Chase,

« Η προσεκτική μελέτη του παπύρου του Rhind, με έχει πείσει, εδώ και πολλά χρόνια, ότι το έργο αυτό δεν είναι μια απλή συλλογή πρακτικών προβλημάτων […] και ότι οι Αιγύπτιοι δεν ήταν απλώς ένα έθνος εμπόρων που δεν ενδιαφέρονταν για τίποτα άλλο, παρά μόνο για αυτά των οποίων θα μπορούσαν να κάνουν χρήση. Πιστεύω μάλλον ότι μελετούσαν τα Μαθηματικά και άλλα θέματα χάριν αυτών των ιδίων»

Κατά τον Χριστιανίδη, η άποψη του Chase μάλλον ενισχύεται, αν ληφθούν υπ’ όψιν τα ακόλουθα:

1. Το πρόβλημα 40 του παπύρου του  Rhind δεν φαίνεται να έχει άμεση σχέση με τα πρακτικά προβλήματα της καθημερινής ζωής. Είναι δύσκολο να δεχτούμε ότι, υπό πραγματικές συνθήκες, μοίραζαν ψωμί με τρόπο ώστε οι μερίδες να αποτελούν αριθμητική πρόοδο.
2. Στο πρόβλημα 26 του παπύρου του Rhind αναδύεται ένας ορισμένος βαθμός αφηρημένης σκέψης, αφού η μέθοδος της αυθαίρετης παραδοχής μπορεί να χρησιμοποιείται σε προβλήματα που καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα διαφορετικών αντικειμένων, επί των οποίων θα ήταν δυνατόν να εφαρμόζονται οι ίδιες επιλυτικές τεχνικές.

Κατ’ αυτόν τον τρόπο, ισχυρίζεται ο Chase,  θα μπορούσαμε ίσως να αναγνωρίσουμε την ύπαρξη μιας μαθηματικής δραστηριότητας που γίνεται «χάριν αυτής της ιδίας». O τρόπος που είναι διατυπωμένο το πρόβλημα 40 πιθανότατα θα μπορούσε να αποδοθεί σε μια εκπαιδευτική πρακτική, όπου ο δάσκαλος θέτει στους μαθητές προβλήματα πολύ δυσκολότερα από αυτά που θα αντιμετωπίσουν στις επαγγελματικές τους απασχολήσεις. Με άλλα λόγια, διακρίνονται καθαρά τα ίχνη ενός εκπαιδευτικού συστήματος που είχαν δημιουργήσει και στο οποίο πρωτεύουσα θέση φαίνεται να κατείχαν τα Μαθηματικά!!!

Παρά το γεγονός ότι οι παραπάνω αναφορές έχουν σχέση με τις βασικές έννοιες του απειροστικού λογισμού, δεν υπάρχουν γραπτά από τα οποία να τεκμηριώνεται, ότι τα αποτελέσματα αυτά παρήχθησαν από ατέρμονες διαδικασίες μέσω της συμπερασματικής μεθόδου, ούτε υπάρχουν στοιχεία στα μαθηματικά αυτών  των λαών, από τα οποία να προκύπτει αναφορά στις έννοιες του απείρως μεγάλου ή του απείρως μικρού.  Oι Έλληνες ήσαν αυτοί που κατά πρώτον ανέλυσαν συστηματικά την ιδέα των συνεχών ποσοτήτων και ανέπτυξαν έννοιες που οδήγησαν στην παράγωγο και στο ολοκλήρωμα.

 

 Τα Ελληνικά Μαθηματικά.

 

Η Σχολή της Ιωνίας.

Λέγοντας ελληνικά μαθηματικά εννοούμε τα μαθηματικά που ανέπτυξαν οι άνθρωποι οι οποίοι μιλούσαν και έγραφαν την ελληνική γλώσσα, ανεξάρτητα από το εάν κατοικούσαν εντός ή εκτός των συνόρων της σημερινής Ελλάδος. Υπ’ αυτήν την έννοια ο επιθετικός προσδιορισμός «ελληνικός» δηλώνει για την ιστορία των μαθηματικών κάτι πολύ ευρύτερο από ότι δηλώνει ο ίδιος όρος για την πολιτική, στρατιωτική ή οικονομική ιστορία. Τα ελληνικά μαθηματικά λοιπόν, κάνουν την εμφάνισή τους τον 6^ο π.Χ. αιώνα και αναπτύσσονται με γοργά βήματα έχοντας αρωγό τη γνώση που είχε προέλθει από τους λαούς της Ανατολής και κυρίως, λόγω γειτνίασης, από τους Αιγύπτιους και τους Βαβυλώνιους. Στο απόγειό τους φτάνουν στα τέλη του 4^ου και στη διάρκεια του 3^ου π..Χ. αιώνα, η επίδρασή  τους όμως, κράτησε μέχρι και τους πρώτους  μεταχριστιανικούς  αιώνες.

Κατά τον 6^ο π.Χ. αι. χάρις στους  Ίωνες φιλοσόφους Θαλή (640 – 546 π.Χ.), Αναξίμανδρο (610 – 546 π.Χ.) και Αναξιμένη (585 – 525 π.Χ.), αρχίζει να διαφαίνεται η ριζική μεταστροφή από τις μυθολογικές παραστάσεις, στην επιστημονική αντίληψη του κόσμου. Διανοίγεται ο δρόμος του επιστημονικού κριτηρίου και τίθενται μερικά από τα πιο βασικά φιλοσοφικά προβλήματα. Παρά την ελλιπή πληροφόρηση που έχουμε για τη περίοδο αυτή λόγω απουσίας γραπτών κειμένων, θεωρείται βέβαιο από τους ερευνητές ιστορικούς ότι ο Θαλής είναι αυτός που έθεσε τις βάσεις της θεωρητικής γεωμετρίας, καθώς σε αυτόν αποδίδονται τα πρώτα ψήγματα της παραγωγικής σκέψης. Σύμφωνα με το Θαλή αρχή των πάντων ήταν το νερό.  Ο Αναξίμανδρος, μαθητής του Θαλή, εξήγησε τη δημιουργία του κόσμου εκκινώντας από το άπειρο, που είναι και το επίκεντρο της φιλοσοφίας του. Ένα άπειρο που προφανώς προσλαμβάνει δύο ερμηνείες:

• Άπειρον  α + πέρας = χωρίς τέλος
• Άπειρον α + περάω = αδιαπέραστο

Ο Αναξίμανδρος, φαίνεται πως εννοούσε μια πρωταρχική αιτία δίχως όρια στο χώρο. Το άπειρο είναι απεριόριστο στο χώρο και ποιοτικά ακαθόριστο, καθώς δεν προσδιορίζεται μορφικά σαν ένα από τα τέσσερα στοιχεία.

Στο άπειρο ο Αναξίμανδρος δεν είδε μόνο την πρωταρχική ύλη και την αρχική κατάσταση του κόσμου, αλλά και την αιτία της κοσμικής τάξης. Σ’ αυτή την πρωταρχική ουσία απέδωσε θεϊκές ιδιότητες, χαρακτηρίζοντας το άπειρο ως «αθάνατο, ανώλεθρον και θείον», σύμφωνα με τον Σιμπλίκιο (Εις τα φυσικά, 24, 13). Η αδυναμία της ανθρώπινης διάνοιας να καθορίσει το άπειρο ποσοτικά και ποιοτικά, το καθιστά πηγή και κατευθυντήρια δύναμη του κόσμου. Τέλος, ο Αναξιμένης, μαθητής του Αναξίμανδρου, προσπάθησε να γεφυρώσει το χάσμα ανάμεσα στο νερό που είχε καθορίσει ο Θαλής σαν αρχή των πάντων και στο άπειρο του Αναξίμανδρου. Προς τούτο, θεώρησε τον αέρα ως γενεσιουργό υλικό από το οποίο εδομούντο τα πάντα.

 

Η ανακάλυψη της ασυμμετρίας.

 

Μετά τους Ίωνες ακολουθούν διαδοχικά η σχολή των πυθαγορείων και η σχολή της Χίου. Δυστυχώς όμως, όπως γενικότερα συμβαίνει με τα ελληνικά μαθηματικά, οι γνώσεις μας για τον Πυθαγόρα και τους μαθητές του αντλούνται αποκλειστικά από έργα μεταγενέστερων συγγραφέων, όπως ο Νικόμαχος ο Γερασηνός, ο Θέων ο Σμυρναίος  (2^ος μ.Χ.αι.) και ο Ιάμβλιχος (3^ος – 4^ος μ.Χ.αι.)

Σύμφωνα με την πυθαγόρεια κοσμογονία, το σύμπαν δημιουργήθηκε με διαίρεσή του αριθμού ένα, που πραγματοποιήθηκε μετά από «εισπνοή απείρου». Το άπειρο εισβάλλει στο αδιαφοροποίητο «είναι», ταυτόσημο με τον αριθμό ένα, και το διασπά δημιουργώντας από τη μονάδα τη δυάδα. Το «είναι» οριοθετείται από το «μη είναι», ισχυρότατα συνδεδεμένο με το κενό, που εκτείνεται επ’ άπειρον. Αυτό λοιπόν το άπειρο και οριοθετούν κενό εισβάλλει στο πεπερασμένο «είναι», το διασπά και δημιουργείται από το ένα η δυάδα, από αυτήν η τριάδα κ.ο.κ., κατά τρόπον ώστε το πυθαγόρειο σύμπαν να αποτελεί ένα αντίγραφο του συνόλου που σήμερα ονομάζουμε σύνολο των φυσικών αριθμών. Ήταν τελείως φυσικό λοιπόν για τους Πυθαγορείους να αναμένουν να υπακούει ο κόσμος σε σχέσεις και νόμους που μπορούν να εκφραστούν με λόγους της μορφής  p/q, όπου p και q φυσικοί αριθμοί. Αν οποιαδήποτε δύο αντικείμενα δεδομένων μέτρων συγκρίνονταν, θα έπρεπε να δίνουν σαν αποτέλεσμα σύγκρισης των μέτρων τους έναν λόγο x/y, όπου x, y θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Πίστευαν δηλαδή ότι η σύγκριση δύο μεγεθών μπορούσε πάντα να οδηγήσει μετά από πεπερασμένα το πλήθος βήματα, σε εύρεση ενός κοινού μέτρου για αυτά τα μεγέθη.

Αυτή η πυθαγόρεια πίστη για σύμμετρη δομή του κόσμου έμελλε να διαψευστεί. Οι πυθαγόρειοι στην προσπάθειά τους να βρουν το γεωμετρικό μέσο των δύο ιερών συμβόλων τους, δηλαδή του ένα και του δύο, οδηγήθηκαν στο ισοδύναμο αποτέλεσμα της κατασκευής τετραγώνου με εμβαδό διπλάσιο ενός δοσμένου τετραγώνου πλευράς α. Για τη λύση του προβλήματος  απαιτήθηκε η μελέτη του λόγου της διαγωνίου προς τη πλευρά του τετραγώνου, όπου με εφαρμογή του πυθαγορείου θεωρήματος βρήκαν ότι συνδέονται με τη σχέση . Αναζήτησαν λοιπόν θετικούς ακέραιους  μ,ν, ώστε, . Η αναζήτηση αυτή απέβη άκαρπη. Απέδειξαν με έκπληξη ότι δεν υπάρχουν τέτοιοι θετικοί ακέραιοι!!! Η απόδειξη βασίστηκε σε απλές παρατηρήσεις τους σχετικά με τους άρτιους και τους περιττούς, όπως περιγράφει ο Αριστοτέλης στο έργο του Αναλυτικά πρότερα, 41 α 26:  «ἀσύμμετρος ἡ διάμετρος διά τό γίγνεσθαι τά περιττά ἴσα τοις ἀρτίοις, συμμέτρου τεθείσης».

[Είναι ασύμμετρη η διάμετρος, (προς την πλευρά), διότι αν υποτεθεί σύμμετρη, τότε τα περιττά γίνονται ίσα με τα άρτια.]

Η απόδειξη αυτή έχει περιληφθεί στο παράρτημα του Χ βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη, με τον αριθμό 27:

«Προκείσθω ἡμῖν  δεῖξαι , ὅτι ἐπί τῶν τετραγώνων σχημάτων ἀσύμμετρος ἔστιν ἡ διάμετρος τῇ  πλευρᾷ μήκει»

[ Έστω ζητείται να αποδειχθεί ότι στα τετράγωνα σχήματα η διάμετρος (διαγώνιος) είναι ασύμμετρος κατά το μήκος προς την πλευρά]

Απόδειξη. (σε σύγχρονη ορολογία). Έστω ότι υπάρχει ρητός , ώστε  =2. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι οι μ,ν, δεν είναι άρτιοι. (Διότι αν και οι δύο είναι άρτιοι, τότε απλοποιούμε το κλάσμα με το 2). Τότε μ²=2ν², οπότε μ²

άρτιος. Τότε και ο μ είναι άρτιος και άρα μ²=4κ²=2ν², δηλαδή ν²=2κ², και συνεπώς ο

 

ν² και άρα και ο ν είναι άρτιος. Καταλήξαμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι και οι δύο φυσικοί μ,ν είναι άρτιοι, που είναι άτοπο. (Ο αναγνώστης μπορεί να δει την απόδειξη αυτή και στο σχολικό βιβλίο άλγεβρας της Α’ Λυκείου, σελ. 51).

Από κάποιους ιστορικούς διατυπώνεται η γνώμη ότι η απόδειξη της παραπάνω προτάσεως, που υπάρχει στα Στοιχεία, ίσως δεν ήταν η πρώτη που δόθηκε, τόσο για το προχωρημένο στάδιο της μαθηματικής σκέψης, όσο και για την χρησιμοποίηση της μεθόδου της «εις άτοπον απαγωγής», που προϋποθέτει τη γνώση του αποδεικτέου.

Κατά μία εκδοχή που υποστηρίζουν ορισμένοι ιστορικοί, όπως ο Zeuthen, ο Becker,  και o Σ. Νεγρεπόντης^,  η ασυμμετρία πλευράς και διαγωνίου αποδείχθηκε με την ανθυφαιρετική μέθοδο. Αυτή η διαδικασία είτε τερματίζεται μετά από πεπερασμένο αριθμό βημάτων, οπότε το τελευταίο βήμα δίνει το κοινό μέτρο των δύο μεγεθών, ή συνεχίζεται επ’ άπειρον, οπότε τα μεγέθη είναι ασύμμετρα, όπως βεβαιώνει η παρακάτω πρόταση β΄ του Χ βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη:

« Ἐάν δύο μεγεθῶν  [ἐκκειμένων] ἀνίσων  ἀνθυφαιρουμένων ἀεί του ἐλάσσονος ἀπό του μείζονος, τό καταλειπόμενον μηδέποτε καταμετρεῖ τό πρό ἑαυτοῦ, ἀσύμμετρα ἔσται τά μεγέθη ».

[Αν δοθούν δύο άνισα μεγέθη και ανθυφαιρείται πάντοτε το μικρότερο από το μεγαλύτερο, και το υπόλοιπο που προκύπτει κάθε φορά ουδέποτε καταμετρεί τα προηγούμενα μεγέθη, τότε τα μεγέθη αυτά είναι ασύμμετρα].

Θα αποφύγουμε μία περιγραφή της ανθυφαιρετικής μεθόδου, δεδομένου ότι αυτή εκφεύγει από το σκοπό του παρόντος άρθρου.

Κατά τον Von Fritz , είναι πιθανόν η ανακάλυψη της ύπαρξης ασυμμέτρων μεγεθών να έγινε από έναν μαθητή της σχολής, τον πυθαγόρειο Ίππασο τον Μεταποντίνο (από το Μεταπόντιο της Κάτω Ιταλίας), ο οποίος απέδειξε την ασυμμετρία ανάμεσα στην πλευρά και την διαγώνιο κανονικού πενταγώνου. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η αναφορά στον πυθαγόρειο Ίππασο, αλλά και στην έρευνα που έλαβε χώρα στην Ακαδημία του Πλάτωνα γύρω από τους άρρητους αριθμούς, του διακεκριμένου γεωμέτρη, συναδέλφου και συμφοιτητή μου Σωτήρη Γκουντουβά, στο βιβλίο του «Γεωμετρικές Διαδρομές»:

«Η ανακάλυψη της ασυμμετρίας, δηλαδή των αρρήτων αριθμών, έγινε από τους Πυθαγορείους και σύμφωνα με αναφορές (Πρόκλος, Πάππος κ.α.) από τον Ίππασο τον Μεταποντίνο. Αυτός ανακάλυψε ότι η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά μία μονάδα (δηλαδή το ρίζα2) είναι αριθμός άρρητος, καταρρίπτοντας τη θεωρία των Πυθαγορείων που θεωρούσε ότι όλοι οι αριθμοί είναι ρητοί. Η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών ήταν μια σπουδαία τομή στα μαθηματικά με κατακλυσμιαίες συνέπειες. Η ασφάλεια και απλότητα των ρητών αριθμών εξαφανιζόταν και τα μαθηματικά εισέρχονταν στον τρικυμιώδη ωκεανό των αρρήτων. Ο Ίππασος πλήρωσε ως νέος Προμηθέας την ανακάλυψη αυτή με τη ζωή του. Σε κάποιο θαλάσσιο ταξίδι οι Πυθαγόρειοι τον πέταξαν στη θάλασσα και πνίγηκε.

«των γαρ Πυθαγορείων λόγος τον πρώτον την περί τούτων θεωρίαν εις τουμφανές εξαγαγόντα,  ναυαγίω περιπεσείν». (Πάππος 4ος μ.Χ αιώνας).

Στην Ακαδημία του Πλάτωνος μελετήθηκε εκτεταμένα η ασυμμετρία και οι άρρητοι αριθμοί από τους Θεαίτητο, Λεωδάμαντα, Εύδοξο κ.α. Στον διάλογο του Πλάτωνα Θεαίτητος (147D), που διαδραματίζεται το 369 π.Χ, υπάρχει ένα χωρίο όπου εμφανίζεται ο γηραιός Θεόδωρος ο Κυρηναίος (δάσκαλος του Θεαίτητου), ο Θεαίτητος και κάποιος νεαρός με το όνομα Σωκράτης να συζητούν για τις τετραγωνικές ρίζες (δυνάμεις). Ο Θεαίτητος αναφέρει ότι συνέλαβαν μία ενιαία μέθοδο για τις τετραγωνικές ρίζες από το 3 μέχρι το 17 και μετά σταμάτησαν.

«Περί δυνάμεων τι ημίν Θεόδωρος όδε έγραφε, της τε τρίποδος περί και πεντέποδος, αποφαίνων ότι μήκει ού ξύμμετροι τη ποδιαία, και ούτω κατά μίαν εκάστη προαιρούμενος μέχρι της επτακαιδεκάποδος, εν δε ταύτη πως ενέσχετο. Ημίν ουν εισήλθε τι τοιούτον, επειδή άπειροι το πλήθος αι δυνάμεις εφαίνοντο, πειραθήναι ξυλλαβείν εις εν, ούτω πάσας ταύτας προσαγορεύσομεν τας δυνάμεις.» (Θεαίτητος 147 D).

[Ο Θεόδωρος από ’δω,  έγραφε σχετικά με τις δυνάμεις (ρίζες) συμπεραίνοντας ότι οι δυνάμεις (ρίζες) των τριών ποδών και των πέντε ποδών δεν είναι σύμμετρες με τη δύναμη του ενός ποδός και με αυτόν τον τρόπο εξακολούθησε τη μία δύναμη μετά την άλλη και έφτασε μέχρι τη δεκάτη εβδόμη και σε αυτή φάνηκε να σταμάτησε. Σε μας λοιπόν ήρθε η ιδέα, επειδή άπειρες οι δυνάμεις (ρίζες) στο πλήθος φαινόταν, να τις συγκεντρώσουμε σε μία μέθοδο και έτσι όλες αυτές να τις χειριζόμαστε].

Με σύγχρονη ορολογία ο Θεόδωρος απέδειξε ότι οι τετραγωνικές ρίζες των αριθμών από 3 έως 17 είναι άρρητοι αριθμοί εφαρμόζοντας σε κάθε περίπτωση διαφορετική μέθοδο και εκεί σταμάτησε. Τότε σκέφθηκαν να ενοποιήσουν τις επιμέρους μεθόδους σε μία για να αποδεικνύουν την αρρητότητα  για κάθε περίπτωση.

Το κείμενο δεν διευκρινίζει αν αποδείχθηκε η αρρητότητα του 17. Οι περισσότεροι ιστορικοί των μαθηματικών ισχυρίζονται ότι απέδειξε και του 17, ενώ κάποιοι άλλοι ότι δεν απέδειξε του 17. Το κείμενο δεν μας διαφωτίζει για το ποια ήταν η απόδειξη που χρησιμοποιήθηκε για κάθε περίπτωση, ούτε για την ενοποιημένη μέθοδο. Επίσης, δεν μας πληροφορεί για ποιο λόγο σταμάτησαν στο 17. Αν λοιπόν είχε αποδειχθεί η αρρητότητα για το 17 τότε θα είχε αποδειχθεί και για το 18 αφού ρίζα 18=3ριζα 2. Αν δεν είχε αποδειχθεί η αρρητότητα για το 17 τότε θα είχαν αποδείξει μέχρι και το 15, αφού για το 16 έχουμε ότι ριζα16=4.

Για το χωρίο αυτό έχουν γίνει πάρα πολλές μελέτες για να διευκρινιστούν οι πτυχές των θεμάτων που θίγει. Έχουν γίνει ανακατασκευές των πιθανών αποδείξεων καθώς και εξηγήσεις για το σταμάτημα στο 17. Αυτό το χωρίο λοιπόν μας πληροφορεί για την αναμφισβήτητη πρόοδο που είχε συντελεστεί στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην ασυμμετρία, σε σχέση με τους Πυθαγορείους.

Αυτό σε συνδυασμό με το γεγονός ότι το 10ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, που αναφέρεται στην ασυμμετρία και ταξινομεί τους άρρητους, αποδίδεται από την ολότητα των ιστορικών των μαθηματικών στην Ακαδημία του Πλάτωνα, συνηγορεί στο ότι η ασυμμετρία είχε μελετηθεί σε μεγάλη έκταση στην Ακαδημία.

Η κατασκευή των τετραγωνικών ριζών φυσικών αριθμών ήταν γνωστή στους αρχαίους Έλληνες, από την εποχή των Πυθαγορείων, με τη βοήθεια της λεγόμενης «σπείρας του Θεόδωρου» του παρακάτω σχήματος. Ξεκινώντας από ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με κάθετες πλευρές ίσες με τη μονάδα βρίσκουμε την υποτείνουσα αυτού ίση με ρίζα2. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε νέο ορθογώνιο τρίγωνο με μία κάθετη πλευρά ρίζα2 και την άλλη κάθετη ίση με τη μονάδα και παίρνουμε τη νέα υποτείνουσα ίση με ρίζα3 . Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται επ’ άπειρον και μπορεί να μας δώσει τις τετραγωνικές ρίζες όλων των φυσικών αριθμών.

Η κατασκευή του κοχλία στο παρακάτω σχήμα σταματάει στην κατασκευή του ρίζα17. Από το επόμενο βήμα αυτής της διαδικασίας το σχήμα θα αρχίσει να επικαλύπτεται. Συμπτωματικά και στον πλατωνικό διάλογο Θεαίτητος το σταμάτημα (ανάσχεση) γίνεται στο ρίζα17».

 

 

 

 

Βλέποντας λοιπόν τα πράγματα υπό το πρίσμα της ιστορικής ανάπτυξης του απειροστικού λογισμού, μπορούμε να πούμε ότι κατά την περίοδο αυτή έχουμε την εμφάνιση ατέρμονων διαδικασιών στα μαθηματικά. Είναι η αλγοριθμική διαδικασία της ανθυφαίρεσης, που χρησιμοποιούνταν από τους αρχαίους Έλληνες για την εύρεση μέγιστου κοινού μέτρου στη σύγκριση δύο δεδομένων μηκών. Για την περίπτωση των ασυμμέτρων, συνεχίζεται επ’ άπειρον, μιας και  σε κανένα στάδιό της δεν μπορούμε να πετύχουμε υπόλοιπο ίσο με το μηδέν.

Σύμφωνα με τον καθηγητή φιλοσοφίας στο ΕΚΠΑ Διονύσιο Αναπολιτάνο, η ανακάλυψη της ασυμμετρίας πλευράς και διαγωνίου τετραγώνου, είχε σοβαρές επιπτώσεις στην πυθαγόρεια φιλοσοφία: «Η πυθαγόρεια λοιπόν πίστη στην αριθμητική δομή και φύση του κόσμου προσέκρουσε στην ανακάλυψη ύπαρξης ασυμμέτρων μεγεθών με δραματικά αποτελέσματα. Οι πυθαγόρειοι, κάτω από το βάρος της κρίσης, δεν μπόρεσαν να αναθεωρήσουν την οντολογία τους. Κάτι τέτοιο θα ήταν ίσως αδύνατο. Η κρίση, καταστροφική για τους πυθαγόρειους , ενσωματώθηκε δημιουργικά στο γνωστικό corpus των ερχόμενων γενεών και οδήγησε τελικά μετά από αιώνες επώδυνου τοκετού, συνδεδεμένου βέβαια και με άλλες μικρότερες ή μεγαλύτερες κρίσεις, στα σημερινά συνεχιστικά μαθηματικά που σχετίζονται με τα νοητά αντικείμενα, τα οποία είναι γνωστά κάτω από το γενικό τίτλο πραγματικοί αριθμοί».

Την εμφάνιση ατέρμονων διαδικασιών έχουμε και λίγο αργότερα όταν, μετά την ανακάλυψη της ασυμμετρίας πλευράς και διαγωνίου τετραγώνου, άρχισαν προσπάθειες ρητής προσέγγισης του λόγου δ:α. Το πρόβλημα της προσέγγισης του λόγου της διαγωνίου προς την πλευρά με τη βοήθεια ρητών αριθμών, είχε προταθεί

και λυθεί από τους Βαβυλωνίους. Αλλά οι πυθαγόρειοι προχώρησαν αυτό το παλιό

πρόβλημα πολύ μακρύτερα. Βρήκαν ολόκληρο σύνολο προσεγγίσεων απείρως αυξανόμενης ακρίβειας. Επιπλέον, ανέπτυξαν μια επιστημονική θεωρία σε ότι αφορά αυτές τις προσεγγίσεις και απέδειξαν τη γενική πρόταση με πλήρη επαγωγή. Αυτό έγινε με την επινόηση των πλευρικών και διαγωνίων αριθμών. (για τον ίδιο λόγο θα αποφύγουμε μια εκτεταμένη αναφορά σε αυτούς τους αριθμούς)

Φαίνεται ότι οι Έλληνες μαθηματικοί που ακολούθησαν εγκατέλειψαν την προσπάθεια των πυθαγορείων να ταυτοποιήσουν τον κόσμο των αριθμών με τον κόσμο της γεωμετρίας και τον κόσμο του συνεχούς. Αυτός ήταν και ο λόγος που απέτυχαν να γενικεύσουν το σύστημα των αριθμών κατά μήκος μιας γραμμής (άξονας των πραγματικών αριθμών), πράγμα το οποίο πρότεινε αργότερα ο απειροστικός λογισμός καθώς αναπτυσσόταν. Μας είναι άγνωστο τελικά αν οι πυθαγόρειοι υλοποίησαν ή όχι το απείρως μικρό. Ξέρουμε όμως ότι η έννοια του απειροστού μπήκε στη μαθηματική σκέψη μέσω του δόγματος που εξελίχθηκε τον 5^ο αιώνα π.Χ. σαν αποτέλεσμα του προβληματισμού των Ελλήνων, όσον αφορά τη φύση και τον φυσικό κόσμο.

 

Πηγές – Βιβλιογραφία – Αρθρογραφία

 

1. Βασίλειος Σαλεβουράκης, Εισαγωγή στις βασικές έννοιες της Ανάλυσης, μέσω του ρυθμού μεταβολής ποσοτήτων.  Διπλωματική εργασία, Διδακτική και Μεθοδολογία των μαθηματικών, τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ. http://me.math.uoa.gr/dipl/dipl_Salevourakis.Vasilios.pdf.pdf
2. Γ.Χριστιανίδης , θέματα από την ιστορία των Μαθηματικών.
3. B.Boyer , The history of the calculus and its conceptual development.
4. Ε.Γιαννακούλιας, απειροστικός  λογισμός, η ιστορική του εξέλιξη από τον 5^ο π.Χ έως  τον 19^ο μ.Χ. αιώνα.
5. Β.L.van der Vaerden , η αφύπνιση της επιστήμης.
6. Σ. Νεγρεπόντης-Σ. Γιωτόπουλος-Ε. Γιαννακούλιας, Απειροστικός λογισμός, τόμος I.
7. Δ. Αναπολιτάνος, εισαγωγή στη φιλοσοφία των Μαθηματικών.
8. D. Struik, Συνοπτική Ιστορία των μαθηματικών.