Εθνομαθηματικά: Μερικά παραδείγματα
Γεράσιμος-Χρήστος Ασωνίτης, Μαθηματικός
Εισαγωγή
Αποτελεί κοινό τόπο ότι τα Μαθηματικά θεωρούνται, από μεγάλο ποσοστό του πληθυσμού, καθολική επιστήμη που είναι ανεξάρτητη από την κουλτούρα των εκάστοτε πολιτισμών (Kantner, 2008⸱ Perkins & Flores, 2002). Από την άλλη, υπάρχει η πεποίθηση ότι η εν λόγω επιστήμη είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την κουλτούρα (d’Entremont, 2015⸱ Σταθοπούλου & Μηλιώνης, 2005), αφού οι άνθρωποι από τα πρώτα κιόλας χρόνια της ζωής τους έχουν διδαχθεί και κατανοήσει από το κοινωνικό σύνολο στο οποίο διαβιούν πρωταρχικές έννοιες των Μαθηματικών (Ασπρούλη, 2020).
Βασιζόμενοι στη δεύτερη άποψη, οι ιθύνοντες της εκπαίδευσης, θα ήταν αναγκαίο να προσαρμόζουν και εμπλουτίζουν το υπάρχον αναλυτικό πρόγραμμα των Μαθηματικών με μεθόδους, ώστε οι μαθητές να προσεγγίζουν τις νέες Μαθηματικές έννοιες που διδάσκονται μέσα από τα προσωπικά τους βιώματα (Rosa & Orey, 2011).
Εθνομαθηματικά
Η έννοια «Εθνομαθηματικά» ορίστηκε πρώτη φορά από τον Ubiratan d’Ambrosio. Ο D΄ Ambrosio (1987), λοιπόν, χαρακτήρισε τα Εθνομαθηματικά ως την επιστήμη που εξετάζει τον τρόπο που αντιλαμβάνονται οι διάφορες πολιτισμικές ομάδες τα Μαθηματικά.
Αρκετά συχνά οι μαθητές έρχονται αντιμέτωποι με προβλήματα ή ασκήσεις Μαθηματικών που δεν σχετίζονται με την καθημερινότητα των παιδιών ή ακόμα και με τον τρόπο ζωής της κοινότητας στην οποία διαβιούν. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, εκείνοι να μην μπορούν να κατανοήσουν πλήρως τη φύση των προβλημάτων και ως εκ τούτου να μην συμμετέχουν σε μεγάλο βαθμό στη μαθησιακή διαδικασία (D΄ Ambrosio, 2001b).
Έτσι λοιπόν, η επιστήμη των Εθνομαθηματικών καλείται να εξισορροπήσει το «χάσμα» που δημιουργείται μεταξύ του αναλυτικού προγράμματος του μαθήματος των Μαθηματικών και της υπάρχουσας γνώσης που φέρει ένα παιδί από το οικογενειακό του περιβάλλον και την κουλτούρα της κοινότητας του. Επιδιώκει δηλαδή, να συνδυάσει τα παραπάνω και να επαναπροσδιορίσει τον τρόπο που θα διδάσκεται το εν λόγω μάθημα, ώστε να προσφέρει τη μέγιστη δυνατή βοήθεια στον μαθητή για να κατανοήσει πληρέστερα τη διδαχθείσα ύλη (D΄ Ambrosio, 2001b⸱ Rosa & Orey, 2011).
Παλαιότερες έρευνες έχουν δείξει ότι η αξιοποίηση της επιστήμης των Εθνομαθηματικών στη μαθησιακή διαδικασία ενθαρρύνει τους μαθητές να αναπτύξουν την κριτική τους σκέψη, παράλληλα δε ενισχύει την αυτοεκτίμηση αυτών (Σταθοπούλου & Μηλιώνης, 2005). Επιπλέον, συντελεί στην ενεργητικότερη συμμετοχή των μαθητών στο μάθημα των Μαθηματικών και συνεισφέρει στη βελτιστοποίηση της επίδοσης τους (Arishmendi-Pardi, 2001⸱ Stathopoulou, Kotarinou & Appelbaum, 2015⸱ Sunzuma, Zezekwa, Gwizangwe & Zinyeka, 2021).
Συμπεραίνουμε συνεπώς από τα παραπάνω, την αναγκαιότητα αξιοποίησης των τεχνικών που χρησιμοποιούν οι εκάστοτε κουλτούρες για την κατανόηση μαθηματικών εννοιών και την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων που συναντούν στην καθημερινότητα τους. Για τον λόγο αυτό θα παρουσιαστούν στην παρούσα εργασία ορισμένα παραδείγματα Εθνομαθηματικών από πολιτισμούς της αρχαιότητας, τα οποία αφορούσαν τις τεχνικές που αξιοποιούσαν για την μέτρηση του χρόνου και την καταγραφή των ειδών, φόρων, λογιστικών και άλλων δεδομένων που τους αφορούσαν.
Τα αρχαία ημερολόγια ως ένα παράδειγμα Εθνομαθηματικών
«Η κατασκευή των ημερολογίων, δηλαδή η μέτρηση και η καταγραφή του χρόνου, είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα εθνομαθηματικών» (D’ Ambrosio, 2001a, σ.12). Οι πολιτισμοί της αρχαιότητας κατασκεύασαν τα ημερολόγια τους ωθούμενοι αρχικά από την αναγκαιότητα να κατανοήσουν την ύπαρξη και τη μέτρηση του χρόνου. Καθοριστικό όμως ρόλο για τη δημιουργία των ημερολογίων αποτέλεσε η περιοχή στην οποία διέμεναν οι πολιτισμοί, αφού οι συνθήκες στις οποίες διαβιούσαν διέφεραν ανά περιοχή (Ασωνίτης, 2015).
Παρότι υπάρχει αξιόλογο πλήθος αρχαίων ημερολογίων που θα μπορούσαν να θεωρηθούν εξαιρετικά παραδείγματα Εθνομαθηματικών, στην παρούσα εργασία θα γίνει μνεία στο «Αττικό ημερολόγιο» και στο «παλιό Ισλανδικό ημερολόγιο misseri» (Ασωνίτης, 2017).
Αττικό ημερολόγιο
Οι Αρχαίοι Έλληνες ανάλογα με την πόλη-κράτος στην οποία διαβιούσαν χρησιμοποιούσαν ξεχωριστά ημερολόγια και ως εκ τούτου δεν δύναται να οριστεί ένα ενιαίο ημερολόγιο για όλη την Αρχαία Ελλάδα. Παρ’ όλα αυτά, η βασική δομή των ημερολογίων παρέμενε η ίδια (Planeaux, 2015⸱ Λιβαθινός, χ.η.).
Το Αττικό ημερολόγιο, το οποίο συναντάται και ως Αθηναϊκό ημερολόγιο αποτελούσε ένα από τα πέντε ξεχωριστά ημερολόγια που χρησιμοποιούσαν οι Αθηναίοι, ιδιαίτερα από τον 3ο αιώνα π.Χ. και ύστερα. Το εν λόγω ημερολόγιο συχνά απαντάται και ως «αστικό ημερολόγιο (civil calendar)» ή «ημερολόγιο των εορτών (festival calendar)» αφού μέσω αυτού οι Αθηναίοι ρύθμιζαν τις εορτές τους μέσα στο έτος (Planeaux, 2015).
Έτσι λοιπόν, οι κάτοικοι της Αθήνας χώριζαν το έτος σε 12 «συνοδικούς» ή αλλιώς «σεληνιακούς μήνες». Επειδή, κάθε συνοδικός μήνας δεν περιείχε ακέραιο πλήθος ημερών (περίπου 29,5 ημέρες), ορίστηκε κάποιοι από αυτούς να έχουν 30 ημέρες (τέλειοι μήνες) και οι υπόλοιποι 29 ημέρες (κοίλοι μήνες). Επειδή όμως ο τρόπος με τον οποίο χώριζαν το έτος αντιστοιχούσε σε 354 ημέρες, ενώ το έτος αποτελούνταν από 365,25 ημέρες, οι Αθηναίοι δημιούργησαν έναν επιπλέον μήνα με 30 ημέρες (εμβόλιμος μήνας), ο οποίος παρεμβαλλόταν ανάμεσα από τους 12 ήδη υπάρχοντες μήνες τρεις φορές κατά τη διάρκεια οχτώ σεληνιακών ετών (Planeaux, 2015⸱ Ασωνίτης, 2017⸱ Λιβαθινός, χ.η.).
Τέλος, οι μήνες που καθιερώθηκαν σύμφωνα με τον Λιβαθινό (χ.η.) ήταν κατά σειρά οι: Εκατομβαιών, Μεταγειτνιών, Βοηδρομιών, Πυανεψιών, Μαιμακτηριών, Ποσειδαιών, Ποσειδαιών δεύτερος ή Ποσειδαιών ύστερος (ο οποίος ήταν εμβόλιμος μήνας στο 3ο, 5ο και 8ο έτος), Γαμηλιών, Ανθεστηριών, Ελαφηβολιών, Μουνυχιών, Θαργηλιών και Σκιροφοριών.
Το παλιό Ισλανδικό ημερολόγιο misseri
Το παλιό Ισλανδικό ημερολόγιο misseri θεσπίστηκε από τους Βίκινγκς άποικους της Ισλανδίας. Συγκεκριμένα, το 930 μ.Χ. εγκαθίδρυσαν μία βουλή που την ονόμασαν «Αλθίνγκι» ώστε να συγκεντρώνονται μία φορά τον χρόνο για τη θέσπιση των νόμων. Επειδή οι αποστάσεις των μόνιμων κατοικιών ήταν μακριά και διασκορπισμένες, έπρεπε να δημιουργήσουν ένα ημερολόγιο, που θα τους βοηθούσε να υπολογίσουν πότε να ξεκινήσουν από την οικία τους για να φτάσουν όλοι στη βουλή συγχρόνως (Vilhjálmsson, 1991).
Το ημερολόγιο misseri είχε ως μονάδα μέτρησης την εβδομάδα και όχι το έτος. Συνεπώς, κάθε έτος αποτελούνταν από 52 εβδομάδες (364 ημέρες) ή από 53 εβδομάδες (371 ημέρες, δίσεκτο έτος) (Bjarnadóttir, 2010⸱ Janson, 2011). Οι ημέρες κάθε εβδομάδας ήταν εφτά, είχαν λάβει τις ονομασίες τους από τους Σκανδιναβούς θεούς και ήταν οι εξής σύμφωνα με τους Björnsson (1993) και Janson (2011): sunnudagr (Κυριακή, η ημέρα του ηλίου), mánadagr (Δευτέρα, η ημέρα της σελήνης), týrsdagr (Τρίτη από τον θεό Τυρ, τον θεό του πολέμου), óðinsdagr (Τετάρτη από τον θεό Όντιν, τον πανούργο θεό), þorsdagr (Πέμπτη από τον θεό Θωρ, τον θεό του κεραυνού), frjádagr (Παρασκευή από τη θεά Φρέγια/Φρίγκ, τη θεά της/του αγάπης/γάμου) και laugardagr (Σάββατο, η ημέρα του λουτρού).
Εξαιτίας των καιρικών συνθηκών και της γεωγραφικής θέσης της Ισλανδίας, οι κάτοικοι της χώρας χώριζαν το έτος σε δύο εξάμηνα, το χειμερινό και το θερινό. Έτσι, δικαιολογείται και η ονομασία του εν λόγω ημερολογίου, αφού η λέξη misseri σημαίνει στα Ισλανδικά εξάμηνο. Δηλαδή, μισό έτος χειμώνας και μισό έτος καλοκαίρι (Bjarnadóttir, 2010).
Επιπλέον, οι κάτοικοι της Ισλανδίας είχαν αναπτύξει και έναν άλλο τρόπο μέτρησης του έτους σε μήνες (12 στο πλήθος), οι οποίοι ξεκινούσαν πάντα την ίδια μέρα της εβδομάδας κάθε χρόνο. Οι μήνες σύμφωνα με τον Janson (2011) ήταν οι εξής: Harpa (ξεκινούσε ημέρα Πέμπτη), Skerpla (ξεκινούσε ημέρα Σάββατο), Sólmánuður (ξεκινούσε ημέρα Δευτέρα), Heyannir (ξεκινούσε ημέρα Κυριακή), Tvímánuður (ξεκινούσε ημέρα Τρίτη), Haustmánuður (ξεκινούσε ημέρα Πέμπτη), Gormánuður (ξεκινούσε ημέρα Σάββατο), Ýlir (ξεκινούσε ημέρα Δευτέρα), Mörsugur (ξεκινούσε ημέρα Τετάρτη), Þorri (ξεκινούσε ημέρα Παρασκευή), Góa (ξεκινούσε ημέρα Κυριακή) και Einmánuður (ξεκινούσε ημέρα Τρίτη). Αξίζει να σημειωθεί , ότι οι χειμερινοί μήνες ήταν οι: Gormánuður, Ýlir, Mörsugur, Þorri, Góa και Einmánuður, ενώ οι θερινοί μήνες ήταν οι: Harpa, Sólmánuður, Heyannir, Tvímánuður και Haustmánuður (Janson, 2011).
Το «Quipu» ως ένα παράδειγμα Εθνομαθηματικών
Το Quipu ή αλλιώς Khipu αποτελούσε ένα ιδιαίτερα πολύπλοκο μη αλφαβητικό σύστημα καταγραφής δεδομένων, οι τεχνικές καταγραφής του οποίου είχαν διαφύγει για αρκετούς αιώνες από τους ερευνητές (Sáez-Rodríguez, 2012). Κατασκευάστηκε από τους Ίνκας και είχε ως στόχο του την καταγραφή των δεδομένων που ήταν αναγκαία για την αυτοκρατορία τους (Κακαβάκης, 2005).
Το Quipu αποτελούνταν από έναν οριζόντιο σπάγκο που δεν ξεπερνούσε το ένα μέτρο και ονομαζόταν πρωταρχικός σπάγκος. Κατακόρυφα του πρωταρχικού σπάγκου κρέμονταν άλλοι σπάγκοι που ονομάζονταν κρεμαστοί σπάγκοι (Urton, 2008), οι οποίοι χαρακτηρίζονταν από την ποικιλία χρωμάτων που είχαν και από την ύπαρξη κόμπων πάνω σε αυτούς. Τα χρώματα των σπάγκων δεν ήταν τυχαία, αλλά συμβόλιζαν ένα συγκεκριμένο αντικείμενο προς καταμέτρηση. Πολλές φορές μάλιστα, εξαιτίας της μη επάρκειας χρωμάτων για την αντιστοιχία οι Ίνκας χρησιμοποιούσαν το ίδιο χρώμα για την καταμέτρηση περισσότερων των ένα «ειδών» (Κακαβάκης, 2005).
Αρκετά συχνά στους κρεμαστούς σπάγκους υπήρχαν και επιπρόσθετοι σπάγκοι οι οποίοι ονομάζονταν δευτερεύοντες ή βοηθητικοί σπάγκοι. Μάλιστα, ένας βοηθητικός σπάγκος μπορούσε να έχει και εκείνος επιπλέον βοηθητικούς σπάγκους και το φαινόμενο αυτό να συνεχίζεται για αρκετά επίπεδα βοηθητικών σπάγκων. Έτσι, οι πρωταρχικοί, οι κατακόρυφοι και οι βοηθητικοί σπάγκοι δημιουργούσαν πυκνές διατάξεις που χαρακτηρίζονταν από συγκεκριμένη ιεραρχία (Cherkinsky & Urton, 2014).
Αξιοπρόσεκτος καθίσταται και ο ρόλος των κόμπων που βρίσκονταν πάνω στους κατακόρυφους σπάγκους. Οι κόμποι βρίσκονταν σε δέσμες, οι οποίες μπορούσαν να φθάσουν και τους εννέα κόμπους. Κάθε δέσμη κόμπων αντιπροσώπευε έναν αριθμό (από το μηδέν μέχρι το εννέα), ενώ το σύνολο των δεσμών που βρίσκονταν πάνω σε έναν κατακόρυφο σπάγκο αντιπροσώπευε έναν μονοψήφιο, διψήφιο, τριψήφιο, κ.ο.κ. αριθμό. Οι μονάδες του αριθμού αντιστοιχούσαν στη δέσμη που βρισκόταν στο ελεύθερο άκρο του σπάγκου και καθώς ανέβαιναν οι δέσμες των κόμπων προς τα πάνω ανέβαινε και η αξία του ψηφίου. Το μηδέν χαρακτηρίζονταν από την απουσία κόμπων. Μάλιστα, για να μπορέσουν να διακρίνουν την απουσία κόμπων σε έναν κατακόρυφο σπάγκο, ώστε να ξεχωρίσουν για παράδειγμα τον αριθμό 23 από το 203, έπρεπε να ευθυγραμμίσουν τους σπάγκους και να συγκρίνουν τις αποστάσεις των δεσμών από κόμπους μεταξύ των σπάγκων (Asher & Ascher, 1981⸱ Κακαβάκης, 2005).
Οι φύλακες των αρχείων των Ίνκας, που ονομάζονταν «khipukamayuq», μετέφεραν στους άρχοντες τους μία τεράστια ποικιλία γνώσεων μέσω των τέτοιου είδους τεχνημάτων τους. Οι γνώσεις αυτές αφορούσαν ενδεικτικά: τις απογραφές, τα λογιστικά, τους φόρους, τις αστρονομικές παρατηρήσεις και άλλα παρόμοια θέματα (Sáez-Rodríguez, 2012⸱ Zuidema, 1982).
Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι η χρήση του Quipu, πολλές φορές, ξεπερνούσε την απλή καταγραφή των παραπάνω αντικειμένων αφού αξιοποιούνταν από τους ιερείς των Ίνκας ως στοιχείο για την προώθηση της πολιτιστικής τους κληρονομιάς. Λειτουργούσε δηλαδή ως ένα «βοηθητικό» μνήμης της ιστορίας της φυλής τους, των τελετουργιών τους και των θρησκευτικών τους τραγουδιών (Κακαβάκης, 2005).
Συμπεράσματα/Συζήτηση
Η επιστήμη των Μαθηματικών αποτελούσε από πάντα ένα από τα χαρακτηριστικά στοιχεία ενός έθνους. Με τη βοήθεια αυτής, οι άνθρωποι μπορούσαν να κατανοήσουν εις βάθος κάποια βασικά στοιχεία της φυλής τους καθώς και να υπολογίσουν με ακρίβεια δεδομένα τα οποία επηρέαζαν την καθημερινότητά τους.
Σε ό,τι αφορά το σχολικό περιβάλλον, αξίζει να σημειωθεί πως μέσω των Εθνομαθηματικών έχουν καταγραφεί σημαντικά αποτελέσματα. Συγκεκριμένα, βελτιώθηκε η επίδοση των μαθητών στο εν λόγω μάθημα, εφόσον τα παιδιά έρχονταν σε επαφή με μία τόσο ενδιαφέρουσα πτυχή των Μαθηματικών, η οποία μάλιστα περιλαμβάνει και στοιχεία της δικής τους κουλτούρας (Arishmendi-Pardi, 2001⸱ Stathopoulou, Kotarinou & Appelbaum, 2015⸱ Sunzuma, Zezekwa, Gwizangwe & Zinyeka, 2021).
Για τους παραπάνω λόγους, κρίνεται αναγκαία η αλλαγή του αναλυτικού προγράμματος. Προσεγγίζοντας προσεκτικότερα τα Εθνομαθηματικά ουσιαστικά θα γεφυρωθεί το «χάσμα» που παρατηρείται στους μαθητές μεταξύ των όσων μαθαίνουν στο σχολικό περιβάλλον και αυτών που ήδη γνωρίζουν από την οικογένεια και την κοινωνία στην οποία μεγαλώνουν.
Βιβλιογραφία
Arishmendi-Pardi, E.J. (2001). Comparison of the final grades of students in intermediate algebra taught with and without and ethnomathematical pedagogy [Paper presentation]. The Center of Diversity in Teaching and Learning in Higher Education, Miami, FL, USA.
Asher, Μ., & Ascher, R. (1981). Mathematics of the Incas: Code of the Quipu. New York, NY: Dover Publications.
Bjarnadóttir, K. (2010). Ethnomathematics at the Margin of Europe – A Pagan Calendar. Journal of Mathematics and Culture, 5(1), 21-42.
Björnsson, A. (1993). High days and holidays in Iceland. An English summary. In A. Björnsson (Ed.), Saga daganna (pp. 763–785). Reykjavík: Almenna bókafélagið.
Cherkinsky, A., & Urton, G. (2014). Radiocarbon chronology of Andean khipus. Open Journal of Archaeometry, 2(1), 32-36.
D’ Ambrosio, U. (1987). Socio-Cultural Foundations of Mathematics and Science education. In U. D’ Ambrosio (Εd.), Etnomatematica: Raizes Socio-Culturais da Arte ou Tecnica de Explicar e Conhecer (pp. 80-98). Sao Paulo: Campinas.
D’ Ambrosio, U. (2001a). Ethnomathematics. Link between Tradition and Modernity. Rotterdam/Taipei: Sense Publishers.
D’ Ambrosio, U. (2001b). What is ethnomathematics, and how can it help children in schools? Teaching Children Mathematics, 7(6), 308-310.
d’Entremont, Y. (2015). Linking mathematics, culture and community. Procedia – Social and Behavioral Sciences, 74(2015), 2818-2824.
Janson, S. (2011). The Icelandic calendar. In V. Óskarsson (Ed.), Scripta islandica. Isländska sällskapets årsbok 62/2011 (pp. 51-104). Uppsala: Reklam & Katalogtryck AB.
Kantner, J. (2008). The only absolute truth in mathematics is the myth of mathematics as universal. Perspectives: The New York Journal of Adult Learning, 6(2), 49-53.
Perkins, I., & Flores, A. (2002). Mathematical Notations and Procedures of Recent Immigrant Students. Mathematics Teaching in the Middle School, 7(6), 346-351.
Planeaux, C. (2015, November 6). The Athenian Calendar. Retrieved January 23, 2023, from http://www.ancient.eu/article/833/
Rosa, M., & Orey, D.C. (2011). Ethnomathematics: the cultural aspects of mathematics. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 4(2), 32-54.
Sáez-Rodríguez, A. (2012). An Ethnomathematics Exercise for Analyzing a Khipu Sample from Pachacamac (Perú). Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 5(1), 62-88.
Samuel, A. (1972). Greek and Roman Chronology: Calendars and Years in Classical Antiquity: Vol. I,7. Handbuch der Altertumswissenschaft. Einleitende und Hilfsdisziplinen. München: C. H. Beck.
Stathopoulou, C., Kotarinou, P., & Appelbaum, P. (2015). Ethnomathematical research and drama in education techniques: developing a dialogue in a geometry class of 10th grade students. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 8(2), 105-135.
Sunzuma, G., Zezekwa, N., Gwizangwe, I., & Zinyeka, G. (2021). A Comparison of the Effectiveness of Ethnomathematics and Traditional Lecture Approaches in Teaching Consumer Arithmetic: Learners’ Achievement and Teachers’ Views. Pedagogical Research, 6(4), em0103.
Urton, G. (2008). The Inca Khipu: Knotted-Cord Record Keeping in the Andes. In H. Silverman & W.H. Isbell (Εds.), The Handbook of South American Archaeology (pp. 831–843). New York, NY: Springer.
Vilhjálmsson, T. (1991). Time-Reckoning in Iceland before Literacy. In C.L.N. Ruggles (Ed.), Archaeoastronomy in the 1990s (pp. 69–76). Loughborough, UK: Group D Publications.
Zuidema, R.T. (1982). Catachillay: The Role of the Pleiades and of the Southern Cross and α and β Centauri in the Calendar of the Incas. In A. Aveni, A. Avensand & G. Urton (Eds.), Ethnoastronomy and Archaeoastronomy in the American Tropics (pp. 203-229). New York: New York Academy of Sciences.
Ασπρούλη, Μ. (2020). Τα μαθηματικά της καθημερινής ζωής: μια διερεύνηση της μαθηματικής σκέψης που συγκροτείται εκτός σχολικού πλαισίου (Αδημοσίευτη Μεταπτυχιακή Εργασία). Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας, Φλώρινα.
Ασωνίτης, Γ.Χ. (2015). Εθνομαθηματικά και Ημερολόγια. Το παλιό ισλανδικό ημερολόγιο MISSERI ως ένα παράδειγμα Εθνομαθηματικών. Μαθηματική Επιθεώρηση, (83-84), 59-69.
Ασωνίτης, Γ.Χ. (2017). Εθνομαθηματικές προσεγγίσεις με τη βοήθεια αρχαίων ημερολογίων. eκπ@ιδευτικός κύκλος, 5(1), 158-174.
Κακαβάκης, Δ. (2005). Πρώιμες μορφές απεικόνισης – Το παράδειγμα του Quipu. Στο Σ. Κουνιάς (Επιμ.), Πρακτικά 18ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής: Στατιστική και Εκπαίδευση (σσ. 159-164). Αθήνα: Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών.
Λιβαθινός, Α. (χ.η.). Το Ημερολόγιο τών Αρχαίων Ελλήνων και η μέθοδος χρονολόγησης διά τών Ολυμπιάδων [Αρχείο PDF]. Ανακτήθηκε Ιανουάριος 24, 2023, από http://users.sch.gr/alivathinos/HMEROLOGIO%20ARXAION%20ELLHNON.pdf
Σταθοπούλου, Χ., & Μηλιώνης, Χ. (2005). Εθνομαθηματικά και Πολυπολιτισμική Εκπαίδευση. Στο Δ. Χασάπης (Επιμ.), 4ο Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών. Κοινωνικές και Πολιτισμικές Διαστάσεις της Μαθηματικής Εκπαίδευσης (σ. 87- 95). Θεσσαλονίκη: Copy City digital.
