Από την αρχαιότητα ήταν ήδη γνωστό πως το ‘‘συνεχές’’ των σημείων της ευθείας των πραγματικών αριθμών δεν εξαντλείται με τους ρητούς αριθμούς. Οι υποψίες ότι υπάρχει και ένα άλλο είδος αριθμού (αναφερόμαστε στους άρρητους) ξεκίνησαν, όταν θέλησαν να βρουν την διαγώνιο ενός τετραγώνου που είχε μήκος πλευράς τη μονάδα με τη βοήθεια του πυθαγόρειου θεωρήματος (Πρόταση που τη συναντάμε στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, στο βιβλίο Χ). Το μήκος ήταν ο ασύμμετρος τότε αριθμός ο οποίος, σύμφωνα με τον Ίππαρχο δεν ήταν δυνατόν να γραφεί ως λόγος δύο ακεραίων αριθμών όπως αποδεικνύεται στο έργο του Αριστοτέλη «Αναλυτικά Πρότερα». Αυτό οδήγησε σε τεράστια κρίση και τελικά στη διάλυση της σχολής των Πυθαγορείων οι οποίοι ήθελαν να πιστεύουν πως ο κόσμος δομείται με ρητό τρόπο. Ο αριθμός όμως, ήταν τελικά ένα μέγεθος χειροπιαστό που υπάρχει στη φύση και ίσο με το μήκος της πλευράς ενός τριγώνου!
Ωστόσο η πρώτη αυτή ανακάλυψη ενός άρρητου αριθμού δεν φάνηκε να οδηγεί σε αποξένωση από τα μέχρι τότε γνωστά σύνολα καθώς και από τον κόσμο των φυσικών εμπειριών και τις εποπτικές δυνατότητες της ανθρώπινης νόησης που μόνο πολύ συγκεκριμένα αριθμητικά μεγέθη είναι σε θέση να αντιληφθεί και να κατανοήσει (δύο δέντρα, ενός μεγέθους κλπ). Πραγματικά, αρκεί ο πολλαπλασιασμός του με τον εαυτό του για να επιστρέψει στον «κόσμο» των φυσικών αριθμών. Συνεπώς ο αριθμός αυτός είναι μεν άρρητος αλλά άρρηκτα «δεμένος» με τους φυσικούς αριθμούς και κατά συνέπεια με τους ρητούς.
Με το πέρασμα του χρόνου διαπιστώθηκε πως υπάρχουν και πολλοί άλλοι τέτοιοι άρρητοι αριθμοί που η «ιδιοτροπία» τους αυτή « θεραπεύεται » εύκολα με απλή εφαρμογή των βασικών πράξεων της αριθμητικής. Δηλαδή, ο καθένας απ΄ αυτούς ικανοποιεί μία αλγεβρική εξίσωση με ρητούς συντελεστές στην οποία ο αριθμός αυτός ως άγνωστος, υπεισέρχεται ως άθροισμα δυνάμεών του πολλαπλασιασμένων με τους ρητούς αυτούς συντελεστές ενώ η παράσταση αυτή εξισώνεται πάντα με κάποιον ακέραιο ή ρητό αριθμό στον οποίο και καταλήγει ο άρρητος. Έτσι, μετά από μία σειρά πολλές φορές πραγματικά επίπονων υπολογισμών καταλήγουμε τελικά να «εξαφανίσουμε» αυτές τις απρόσιτες στην ανθρώπινη εμπειρία ποσότητες. Όμως δυστυχώς αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Δεν έχουν όλοι οι άρρητοι αυτή την «καλή» ιδιότητα. Παρατηρήθηκε ότι υπάρχουν άρρητοι αριθμοί που ποτέ δεν θα οδηγηθούν σε κανέναν ακέραιο ή ρητό με την παραπάνω μέθοδο.
Εύλογα συνεπώς, ανακύπτει το ερώτημα: αν μεταξύ των πραγματικών αριθμών μπορούν να υπάρξουν και άλλες διακρίσεις πέραν αυτής των ρητών και αρρήτων. Τελικά, η μελέτη των γεωμετρικά κατασκευάσιμων μεγεθών (με χρήση κανόνα και διαβήτη) οδήγησε στον παρακάτω ορισμό των αλγεβρικών αριθμών .
- Αλγεβρικοί ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι αποτελούν λύσεις κάποιας μη-μηδενικής πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.
Έτσι για τους αριθμούς εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι πρόκειται για αλγεβρικούς αφού αποτελούν λύσεις τέτοιων πολυωνυμικών εξισώσεων.
Το ενδιαφέρον ερώτημα που τώρα γεννάται είναι αν εκτός των αλγεβρικών υπάρχουν άλλοι αριθμοί οι οποίοι δεν επαληθεύουν καμία πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές. Το θέμα αυτό ήρθε να διερευνήσει αρχικά ο Γάλλος μαθηματικός Liouville ο οποίος, το 1844 περιέγραψε μία τέτοια κλάση αριθμών αποδεικνύοντας την ύπαρξη και μη αλγεβρικών αριθμών. Αργότερα αποδείχθηκε πως γνωστοί άρρητοι αριθμοί όπως ο π και ο e αλλά και άλλοι άρρητοι όπως οι eπ , είναι επίσης μη αλγεβρικοί. Τους αριθμούς αυτούς ο Euler τους ονόμασε υπερβατικούς.
- Υπερβατικοί είναι οι αριθμοί που δεν είναι αλγεβρικοί δηλαδή δεν αποτελούν λύσεις κάποιας μη-μηδενικής πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.
Όλοι οι ρητοί αριθμοί είναι αλγεβρικοί ενώ όλοι οι πραγματικοί υπερβατικοί αριθμοί είναι άρρητοι. Το αντίστροφο δεν ισχύει αφού όλοι οι άρρητοι δεν είναι και υπερβατικοί. Για παράδειγμα η είναι άρρητος αριθμός όχι όμως και υπερβατικός αφού αποτελεί λύση της πολυωνιμικής εξίσωσης . Το πρόβλημα βέβαια του χαρακτηρισμού ενός αριθμού ως αλγεβρικού ή υπερβατικού αποδεικνύεται από τα πλέον δύσκολα. Ακόμη και σήμερα είναι τελικά λίγοι οι αποδεδειγμένα υπερβατικοί αριθμοί. Για παράδειγμα ενώ γνωρίζουμε ότι ο eπ είναι υπερβατικός όπως απέδειξε το 1934 ο Ρώσος μαθηματικός Alexander Osipovich Gelfond δεν γνωρίζουμε για το αν ο πe είναι ή όχι υπερβατικός.
Από τα τέλη του 19ου αιώνα και τις εργασίες του Georg Cantor είναι ήδη γνωστό, ότι οι άρρητοι και πολύ περισσότερο οι υπερβατικοί αριθμοί δεν αποτελούν τελικά την εξαίρεση του κανόνα αλλά τον ίδιο τον κανόνα! Αυτό κάνει το σύνολο των ρητών να φαντάζει απειροελάχιστο συγκρινόμενο με αυτό των αρρήτων.
