Η λογαριθμική σπείρα
Ισως καμία άλλη καμπύλη δεν έχει αποτελέσει μεγαλύτερη πρόκληση για τους επιστήμονες, τους φυσιοδίφες αλλά και τους καλλιτέχνες όσο η λογαριθμική σπείρα. Δεν είναι τυχαίο που ο Ελβετός μαθηματικός Jacob Bernoulli είχε γοητευτεί σε τέτοιο βαθμό από τις σπάνιες μαθηματικές της ιδιότητες που την ονόμασε spira mirabilis (υπέροχη ελικοειδή). Ήταν ήδη γνωστή από την εποχή του Γαλιλαίου και προκύπτει αν η εκθετική συνάρτηση σχεδιαστεί όχι σε καρτεσιανές αλλά σε πολικές συντεταγμένες. Η ελικοειδής καμπύλη που προκύπτει με τον τρόπο αυτό, παρουσιάζει ορισμένες εξαιρετικές μαθηματικές ιδιότητες που την καθιστούν ένα από τα πιο προσφιλή διακοσμητικά μοτίβα.
Η κυριότερη από τις ιδιότητές της είναι ότι αυξάνει σε μήκος παραμένοντας πανομοιότυπη με τον εαυτό της. Επομένως παραλείποντας οποιοδήποτε μέρος της του τελικού τμήματός της η καμπύλη δεν θα αλλάξει σχήμα, απλώς θα έχουμε μία μικρογραφία της αρχικής. Μάλιστα το 1645 ο μαθητής του Γαλιλαίου Torricelli διαπίστωσε πως ξεκινώντας από ένα οποιοδήποτε σημείο της σπείρας και κινούμενοι πάνω σ΄ αυτή προς το εσωτερικό της θα πρέπει να διαγράψουμε άπειρο πλήθος στροφών πριν φθάσουμε στον πόλο. Το πιο εκπληκτικό βέβαια είναι ότι απέδειξε πως η συνολική απόσταση που θα διανυθεί είναι πεπερασμένη!
Ο Torricelli θεώρησε την έλικα ως μια ακολουθία ακτίνων που αυξάνονται κατά γεωμετρική πρόοδο όταν η γωνιακή συντεταγμένη αυξάνει κατά αριθμητική πρόοδο. Σε αυτό οφείλει την διαρκεί αύξηση του μήκους της ως αποτέλεσμα της αύξησης της γωνιακής συντεταγμένης διατηρώντας παράλληλα το σχήμα της. Στην ουσία η λογαριθμική έλικα σαν συνολικό σχήμα, επιμηκύνεται διαστελλόμενη κατά σταθερό λόγο.
Μία άλλη ιδιότητά της είναι ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από τον πόλο (το σημείο γύρω από το οποίο ελίσσεται) σχηματίζει την ίδια γωνία με την εφαπτομένη της καμπύλης σε κάθε σημείο που την τέμνει (Αυτό μαθηματικά εξηγείται από το γεγονός ότι η exείναι ίση με την παράγωγό της).
Η ιδιότητα αυτή που χρησιμοποιείται από τα γεράκια όταν επιτίθενται στο θήραμά τους εξηγήθηκε από τον βιολόγο Vance Tucker. Εχει παρατηρηθεί πως το γεράκι δεν επιτίθεται σε ευθεία, πλησιάζει τη λεία του κατευθυνόμενο σε μία ιδεατή λογαριθμική σπείρα. Τα πουλιά αυτά χρησιμοποιούν δύο βασικές δεξιότητες κατά την επίθεση : την οπτική τους οξύτητα και την ταχύτητα πτήσης.Σύμφωνα με τον Tucker τα γεράκια εντοπίζουν το θήραμά τους και στη συνέχεια διαγράφουν μία σπειροειδή τροχιά προς αυτό διατηρώντας το στο οπτικό τους πεδίο. Έτσι μεγιστοποιούν την ταχύτητά τους αφού δεν χρειάζεται να γυρίζουν το κεφάλι κατά την πτήση προκειμένου να δουν καλύτερα χάνοντας ταχύτητα εξαιτίας τη αεροδυναμικής.
Η συγκεκριμένη καμπύλη είναι η μόνη που εμφανίζει αυτή την ιδιότητα γι΄ αυτό και ονομάζεται ισογώνια έλικα ή σπείρα Fibonacci. Η ιδιότητα αυτή «προικίζει» την έλικα με την τέλεια συμμετρία την οποία διαθέτει ο κύκλος (Ο κύκλος είναι λογαριθμική έλικα με την παραπάνω γωνία να ισούται με 90ο και ρυθμό αύξησης μηδέν). Οι επιστήμονες με έκπληξη έχουν διαπιστώσει πως η φύση επιλέγει τη λογαριθμική έλικα για να «κατασκευάσει» μία πληθώρα δομών. Απαντάται σε πλήθος φυσικών φαινομένων καθώς και φυσικών αντικειμένων με τελείως διαφορετικές ιδιότητες και μεγέθη. Σε μικρότερη κλίμακα θα την συναντήσουμε στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών όπως στο ναυτίλο ή στις αχιβάδες επίσης σε κέρατα ζώων στους χαυλιόδοντες του ελέφαντα αλλά και σε φυτά όπως στον ηλίανθο και την μαργαρίτα. Οι επιμήκεις συμπαγείς σωλήνες είναι πολύ χρήσιμοι στα μαλάκια για προφανείς λόγους, όπως η φυσική δύναμη και το αυξημένο επιφανειακό εμβαδόν. Καθώς το μέλος ενός είδους ωριμάζει μεταμορφώνεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε τα μέρη του να διατηρούν την ίδια αναλογία μεταξύ τους.
Σε μία ενδιάμεση κλίμακα την συναντάμε στους μετεωρολογικούς κυκλώνες όπως αυτοί αποτυπώνονται σε φωτογραφίες από τους δορυφόρους.
Στη μεγαλύτερή της κλίμακα εμφανίζεται σε σπειροειδείς γαλαξίες όπως μπορούμε να τους παρατηρήσουμε μέσω σύγχρονων τηλεσκοπίων. Ποιος είναι άραγε ο λόγος εμφάνισής της σε τόσο διαφορετικές μεταξύ τους δομές; Γιατί τα όστρακα, οι κυκλώνες, οι γαλαξίες διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους και δεν έχουν κοινές ιδιότητες. Συνεπώς δικαιολογημένα ο Bernoulli έγραφε:
«Αφού αυτή η υπέροχη έλικα , με τη μοναδική και θαυμαστή ιδιομορφία […] παράγει πάντοτε μία έλικα όμοια με τον εαυτό της, συγκεκριμένα την ίδια ακριβώς έλικα, ωστόσο μπορεί να αναπτύσσεται, να ανελίσσεται, να ανακλάται ή να διαθλάται […] θα μπορούσε να συμβολίζει την αντοχή και την πίστη σε περίπτωση κακοτυχιών, ή το ανθρώπινο σώμα, το οποίο, έπειτα από όλες τις αλλαγές που υφίσταται, ακόμα και μετά το θάνατο, επανέρχεται στην ίδια τέλεια αρχική μορφή του.»
Jakob Bernoulli
