Η λογαριθμική σπείρα

Ισως καμία άλλη καμπύλη δεν έχει αποτελέσει  μεγαλύτερη πρόκληση για τους επιστήμονες, τους φυσιοδίφες αλλά και τους καλλιτέχνες όσο η λογαριθμική σπείρα. Δεν είναι τυχαίο που ο Ελβετός μαθηματικός Jacob Bernoulli είχε γοητευτεί σε τέτοιο βαθμό από τις σπάνιες  μαθηματικές της ιδιότητες που την ονόμασε spira mirabilis (υπέροχη ελικοειδή). Ήταν ήδη γνωστή από την εποχή του Γαλιλαίου και προκύπτει αν η εκθετική συνάρτηση σχεδιαστεί όχι σε καρτεσιανές αλλά σε πολικές συντεταγμένες. Η ελικοειδής καμπύλη που προκύπτει με τον τρόπο αυτό, παρουσιάζει ορισμένες εξαιρετικές  μαθηματικές ιδιότητες που την καθιστούν ένα από τα πιο προσφιλή διακοσμητικά μοτίβα.

Η κυριότερη από τις ιδιότητές της είναι ότι αυξάνει σε μήκος παραμένοντας πανομοιότυπη με τον εαυτό της. Επομένως παραλείποντας οποιοδήποτε μέρος της του τελικού τμήματός της  η καμπύλη δεν θα αλλάξει σχήμα, απλώς θα έχουμε μία μικρογραφία της αρχικής. Μάλιστα το 1645 ο μαθητής του Γαλιλαίου Torricelli διαπίστωσε πως ξεκινώντας από ένα οποιοδήποτε  σημείο της σπείρας και κινούμενοι πάνω σ΄ αυτή προς το εσωτερικό της θα πρέπει να διαγράψουμε άπειρο πλήθος στροφών πριν φθάσουμε στον πόλο.  Το πιο εκπληκτικό βέβαια είναι ότι απέδειξε πως η συνολική απόσταση που θα διανυθεί είναι πεπερασμένη!

Ο Torricelli θεώρησε την έλικα ως μια ακολουθία ακτίνων που αυξάνονται κατά γεωμετρική πρόοδο όταν η γωνιακή συντεταγμένη αυξάνει κατά αριθμητική πρόοδο. Σε αυτό οφείλει την διαρκεί αύξηση του μήκους της ως αποτέλεσμα της  αύξησης της γωνιακής συντεταγμένης διατηρώντας παράλληλα το  σχήμα της. Στην ουσία η λογαριθμική έλικα σαν συνολικό σχήμα, επιμηκύνεται διαστελλόμενη κατά σταθερό λόγο.

Μία άλλη ιδιότητά της είναι ότι κάθε ευθεία που διέρχεται από τον πόλο (το σημείο γύρω από το οποίο ελίσσεται) σχηματίζει την ίδια γωνία με την εφαπτομένη της καμπύλης σε κάθε σημείο που την τέμνει (Αυτό μαθηματικά εξηγείται από το γεγονός  ότι η e^xείναι ίση με την παράγωγό της).

Η ιδιότητα αυτή που χρησιμοποιείται από τα γεράκια όταν επιτίθενται στο θήραμά τους εξηγήθηκε από τον βιολόγο Vance Tucker. Εχει παρατηρηθεί πως το γεράκι δεν επιτίθεται σε ευθεία, πλησιάζει τη λεία του κατευθυνόμενο σε μία ιδεατή λογαριθμική σπείρα. Τα πουλιά αυτά χρησιμοποιούν δύο βασικές  δεξιότητες κατά την επίθεση : την οπτική τους οξύτητα και την ταχύτητα πτήσης.Σύμφωνα με τον Tucker τα γεράκια εντοπίζουν το θήραμά τους και στη συνέχεια διαγράφουν μία σπειροειδή τροχιά προς αυτό διατηρώντας το  στο οπτικό τους πεδίο. Έτσι μεγιστοποιούν την ταχύτητά τους αφού δεν χρειάζεται να  γυρίζουν το κεφάλι κατά την πτήση προκειμένου να δουν καλύτερα  χάνοντας ταχύτητα εξαιτίας τη αεροδυναμικής.

Η συγκεκριμένη καμπύλη είναι η μόνη που εμφανίζει αυτή την ιδιότητα γι΄ αυτό και ονομάζεται ισογώνια έλικα ή σπείρα Fibonacci. Η ιδιότητα αυτή «προικίζει» την έλικα με την τέλεια συμμετρία την οποία διαθέτει ο κύκλος (Ο κύκλος είναι λογαριθμική έλικα με την παραπάνω γωνία να ισούται με 90^ο και ρυθμό αύξησης μηδέν).         Οι επιστήμονες με έκπληξη έχουν διαπιστώσει πως η φύση επιλέγει τη λογαριθμική έλικα για να «κατασκευάσει» μία πληθώρα δομών. Απαντάται σε πλήθος  φυσικών φαινομένων καθώς και φυσικών αντικειμένων  με τελείως διαφορετικές ιδιότητες και μεγέθη. Σε μικρότερη κλίμακα θα την συναντήσουμε  στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών όπως στο ναυτίλο ή στις αχιβάδες επίσης  σε κέρατα ζώων στους χαυλιόδοντες του ελέφαντα αλλά και σε φυτά όπως στον ηλίανθο και την μαργαρίτα. Οι επιμήκεις συμπαγείς σωλήνες είναι πολύ χρήσιμοι στα μαλάκια για προφανείς λόγους, όπως η φυσική δύναμη και το αυξημένο επιφανειακό εμβαδόν. Καθώς το μέλος ενός είδους ωριμάζει μεταμορφώνεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε τα μέρη του να διατηρούν την ίδια αναλογία μεταξύ τους.

Σε μία ενδιάμεση κλίμακα την συναντάμε  στους μετεωρολογικούς κυκλώνες όπως αυτοί αποτυπώνονται σε φωτογραφίες από τους  δορυφόρους.

Στη μεγαλύτερή της κλίμακα εμφανίζεται σε σπειροειδείς γαλαξίες  όπως μπορούμε να τους παρατηρήσουμε μέσω  σύγχρονων τηλεσκοπίων. Ποιος είναι άραγε ο λόγος εμφάνισής της σε τόσο διαφορετικές μεταξύ τους δομές; Γιατί τα όστρακα, οι κυκλώνες, οι γαλαξίες διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους και δεν έχουν κοινές ιδιότητες. Συνεπώς δικαιολογημένα ο Bernoulli έγραφε:

«Αφού αυτή η υπέροχη έλικα , με τη μοναδική και θαυμαστή ιδιομορφία […] παράγει πάντοτε μία έλικα όμοια με τον εαυτό της, συγκεκριμένα την ίδια ακριβώς έλικα, ωστόσο μπορεί να αναπτύσσεται, να ανελίσσεται, να ανακλάται ή να διαθλάται […] θα μπορούσε να συμβολίζει την αντοχή και την πίστη σε περίπτωση κακοτυχιών, ή το ανθρώπινο σώμα, το οποίο, έπειτα από όλες τις αλλαγές που υφίσταται, ακόμα και μετά το θάνατο, επανέρχεται στην ίδια τέλεια αρχική μορφή του.»

Jakob Bernoulli 

Επίσης, αξίζει να αναφέρουμε ότι ο David Bailey το 1988 υπολόγισε 29.360.000 δεκαδικά ψηφία του π χρησιμοποιώντας τον τετραγωνικό αλγόριθμο των αδελφών Borwein. Ο υπολογισμός αυτός πραγματοποιήθηκε για τον έλεγχο της αξιοπιστίας του υπολογιστή Gray-2 στο Nasa Ames Research Center.

Ωστόσο η πρώτη αυτή ανακάλυψη ενός  άρρητου αριθμού δεν φάνηκε να οδηγεί σε αποξένωση από τα μέχρι τότε γνωστά  σύνολα καθώς και από τον κόσμο των φυσικών εμπειριών και  τις εποπτικές δυνατότητες της ανθρώπινης νόησης  που μόνο πολύ συγκεκριμένα αριθμητικά μεγέθη είναι σε θέση να αντιληφθεί και να κατανοήσει (δύο δέντρα, ενός μεγέθους κλπ).  Πραγματικά, αρκεί ο πολλαπλασιασμός του     με τον εαυτό του για να επιστρέψει  στον «κόσμο»  των φυσικών αριθμών. Συνεπώς ο αριθμός αυτός είναι μεν άρρητος αλλά άρρηκτα «δεμένος» με τους φυσικούς αριθμούς και κατά συνέπεια με τους ρητούς.

Με το πέρασμα του χρόνου διαπιστώθηκε πως υπάρχουν και πολλοί άλλοι τέτοιοι άρρητοι αριθμοί που η «ιδιοτροπία» τους αυτή  « θεραπεύεται » εύκολα  με απλή εφαρμογή των βασικών πράξεων της αριθμητικής. Δηλαδή, ο καθένας απ΄ αυτούς ικανοποιεί μία αλγεβρική εξίσωση με ρητούς συντελεστές  στην οποία ο αριθμός αυτός ως άγνωστος, υπεισέρχεται ως άθροισμα δυνάμεών του πολλαπλασιασμένων με τους ρητούς αυτούς  συντελεστές ενώ η παράσταση αυτή εξισώνεται πάντα με κάποιον ακέραιο ή ρητό αριθμό στον οποίο και  καταλήγει ο άρρητος. Έτσι, μετά από μία σειρά πολλές φορές πραγματικά επίπονων υπολογισμών καταλήγουμε τελικά να «εξαφανίσουμε» αυτές τις απρόσιτες στην ανθρώπινη εμπειρία ποσότητες.  Όμως δυστυχώς αυτό δεν συμβαίνει πάντα. Δεν έχουν όλοι οι άρρητοι αυτή την «καλή» ιδιότητα. Παρατηρήθηκε ότι υπάρχουν άρρητοι αριθμοί που ποτέ δεν θα οδηγηθούν σε κανέναν ακέραιο ή ρητό με την παραπάνω μέθοδο.

Εύλογα  συνεπώς, ανακύπτει το ερώτημα: αν μεταξύ των πραγματικών αριθμών μπορούν να υπάρξουν και άλλες διακρίσεις πέραν αυτής των ρητών και αρρήτων. Τελικά, η μελέτη των γεωμετρικά κατασκευάσιμων μεγεθών (με χρήση κανόνα και διαβήτη)  οδήγησε στον παρακάτω ορισμό των αλγεβρικών αριθμών .

•   Αλγεβρικοί ονομάζονται οι αριθμοί οι οποίοι  αποτελούν λύσεις κάποιας μη-μηδενικής πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.

Έτσι για τους αριθμούς  εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε  ότι πρόκειται για αλγεβρικούς αφού αποτελούν λύσεις τέτοιων πολυωνυμικών εξισώσεων.

Το ενδιαφέρον ερώτημα που τώρα γεννάται είναι αν εκτός των αλγεβρικών υπάρχουν  άλλοι αριθμοί οι οποίοι δεν επαληθεύουν καμία  πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές. Το θέμα αυτό ήρθε να διερευνήσει αρχικά ο Γάλλος μαθηματικός   Liouville ο οποίος, το 1844 περιέγραψε μία τέτοια κλάση αριθμών αποδεικνύοντας την ύπαρξη και μη αλγεβρικών αριθμών. Αργότερα αποδείχθηκε πως γνωστοί άρρητοι αριθμοί όπως ο π και ο e αλλά και άλλοι άρρητοι όπως οι e^π  , είναι επίσης μη αλγεβρικοί.  Τους αριθμούς αυτούς ο Euler τους ονόμασε υπερβατικούς.

• Υπερβατικοί είναι οι αριθμοί που δεν είναι αλγεβρικοί δηλαδή δεν αποτελούν λύσεις κάποιας μη-μηδενικής πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.

Όλοι οι ρητοί αριθμοί είναι αλγεβρικοί ενώ όλοι οι  πραγματικοί υπερβατικοί αριθμοί είναι άρρητοι. Το αντίστροφο δεν ισχύει αφού όλοι οι άρρητοι δεν είναι και υπερβατικοί. Για παράδειγμα η   είναι άρρητος αριθμός όχι όμως και υπερβατικός αφού αποτελεί λύση της πολυωνιμικής εξίσωσης   .  Το πρόβλημα βέβαια του χαρακτηρισμού ενός αριθμού ως αλγεβρικού ή υπερβατικού αποδεικνύεται από τα πλέον δύσκολα. Ακόμη και σήμερα είναι τελικά λίγοι οι αποδεδειγμένα υπερβατικοί αριθμοί. Για παράδειγμα ενώ γνωρίζουμε ότι ο e^π είναι υπερβατικός όπως απέδειξε το 1934 ο Ρώσος μαθηματικός Alexander  Osipovich Gelfond  δεν γνωρίζουμε για το αν ο π^e είναι ή όχι υπερβατικός.

Από τα τέλη του 19^ου αιώνα και τις εργασίες του Georg Cantor είναι ήδη γνωστό, ότι οι άρρητοι και πολύ περισσότερο οι υπερβατικοί αριθμοί δεν αποτελούν τελικά την εξαίρεση του κανόνα αλλά τον ίδιο τον κανόνα! Αυτό κάνει το σύνολο των ρητών να φαντάζει απειροελάχιστο συγκρινόμενο με αυτό των αρρήτων.