2lykeio.net

Τα 5  Αιτήματα του Ευκλείδη

1)      Μπορούμε να φέρουμε μια ευθεία γραμμή από οποιαδήποτε σημείο προς οποιοδήποτε σημείο.

2)      Κάθε πεπερασμένη ευθεία μπορεί να προεκτείνεται συνεχώς και ευθυγράμμως

3)      Μπορούμε να γράψουμε έναν κύκλο με οποιοδήποτε κέντρο και απόσταση (ακτίνα)

4)      Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες

5)      Αν μια ευθεία που τέμνει δύο άλλες ευθείες γραμμές σχηματίζει εντός και επί τα αυτά γωνίες συνολικά λιγότερες από δύο ορθές, τότε οι εν λόγω ευθείες, προεκτεινόμενες απεριόριστα, συναντώνται σε εκείνη τη μεριά όπου σχηματίζονται οι γωνίες που είναι λιγότερες από δύο ορθές γωνίες.

Πολλοί μαθηματικοί αποπειράθηκαν να δείξουν ότι είναι εξαρτημένο από τα άλλα τέσσερα , καθώς έδειχνε πολύπλοκο και λιγότερο προσιτό από τα άλλα. Πολλοί πίστεψαν ότι το είχαν πετύχει, πάντοτε όμως χρησιμοποιούσαν κάποια επιπλέον υπόθεση που είχε διαφύγει της προσοχής τους.

Κάποιοι πίστευαν ότι έπρεπε να αντικατασταθεί από ένα πιο ευλογοφανές Αίτημα. Οδηγήθηκαν έτσι σε Αιτήματα ισοδύναμα με το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη.

Η πρόταση αυτή δεν φάνηκε στους τότε Γεωμέτρες άμεσα προφανής.

Έτσι οδηγήθηκαν στην πεποίθηση ότι είναι θεώρημα δηλαδή ότι αποδεικνύεται με τη βοήθεια των υπολοίπων αξιωμάτων.

Αυτό υποστήριζε και  ο Βυζαντινός μαθηματικός Πρόκλος , κύριος σχολιαστής των «Στοιχείων» του Ευκλείδη αλλά και ο Πτολεμαίος.

Ο Πρόκλος μιλάει για μια αντιστροφή του 5ου αιτήματος αφού σύμφωνα με την Πρόταση 17 των Στοιχείων : Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι μικρότερο από 2 ορθές.

Assir Nadin(Άραβας 13ος) , Christopher Claviuus (Γερμανία 16ος) , Wallis (Αγγλία 17ος) Playfair (Σκωτία 18ος ) Legendre (Γαλλία 180ς , 19ος ) Buniakovski  Lambert (Γερμανία 1763)

Ο Ούγγρος γεωμέτρης Wolfang Bolyai  έλεγε προς τον γιό του   Johann

«Σε ικετεύω , μην επιχειρήσεις και συ να φέρεις σε αίσιο πέρας την θεωρία των παραλλήλων γραμμών. Θα χάσεις τα καλύτερα χρόνια της ζωής σου, χωρίς να υπάρχει πιθανότητα επιτυχούς απόδειξης της πρότασης αυτής. Το αδιαπέραστο αυτό σκοτάδι ουδέποτε επί της Γης θα διαλευκανθεί . Το γεγονός αυτό διατηρεί συνεχές και αθεράπευτο τραύμα στην ψυχή μου.»

Αυτά γράφονταν το 1820 και δεν ήταν μακριά η στιγμή που το σκοτάδι που κάλυπτε για 2000 χρόνια περίπου το πρόβλημα των παραλλήλων θα έφευγε για πάντα.

Το πέπλο μυστηρίου διέλυσε η μεγαλοφυϊα του Nikolai Lobatscewski.

 O Lobatscewski διατήρησε τα υπόλοιπα αξιώματα του Ευκλείδη και αντικατέστησε το αξίωμα των παραλλήλων με την εξής παραδοχή :

«μία κάθετος και μία πλάγια προς ευθεία δεν είναι απαραίτητο να τέμνονται»

Άρχισε λοιπόν να εξάγει συμπεράσματα με αυτόν τον τρόπο διαμορφωθέν αξιωματικό σύστημα, διατηρώντας πάντα την ελπίδα ότι αργά ή γρήγορα θα προσέκρουε σε αντίφαση.

Τα συμπεράσματα όμως διαδέχονταν το ένα το άλλο δημιουργώντας το πλαίσιο από ένα αυστηρό και τελείως απομονωμένο σύστημα.

Τα συμπεράσματα αυτά ήταν αντίθετα προς την κοινή διαίσθηση.

Έτσι , ο Lobatscewski στην προσπάθειά του να αποδείξει το 5ο Αίτημα , θεμελίωσε μια νέα Γεωμετρία, την οποία και ονόμασε Φανταστική.

Κατέληξε στο συμπέρασμα ότι το πρόβλημα περί την ισχύ του ευκλείδειου αξιώματος δεν δύναται να επιλυθεί οριστικά μόνο με λογικά μέσα , αλλά με την προσφυγή στην υλιστική πραγματικότητα , στο πείραμα.

Στα 1829 παρουσίασε την εργασία του «Περί τα θεμέλια της Γεωμετρίας»

Ο Lobatscewski με την οικοδόμηση της νέας Γεωμετρίας συγχρόνως απέδειξε ότι το υπό των Στοιχείων Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα, απέχει πολύ από το να είναι πλήρες.

Ο Gauss από νεαρή ηλικία ασχολήθηκε με το από αιώνων χρονίζον πρόβλημα.

Το 1792 γράφοντας σε κάποιον φίλο του αστρονόμο : προσανατολίζομαι σε μια Γεωμετρία η οποία θα έπρεπε να λάβει θέση αν η Ευκλείδεια δεν είναι αληθής.

Γύρω στα 1816 – 1817 απέκτησε πλήρη πεποίθηση για την ορθότητα μιας μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας.

Στα 1832 ο J. Bolyai  παρουσίασε τις εργασίες του για την ανακάλυψη της νέας Γεωμετρίας

«Προσθήκη περιέχουσα την απόλυτη γεωμετρική αλήθεια».

Αντίγραφο της εργασίας δόθηκε και στον Gauss  ο οποίος χαρακτήρισε τον νεαρό Bolyai  μεγαλοφυία πρώτου  μεγέθους, αλλά για άγνωστους λόγους απέφυγε να εκδηλώσει δημόσια αυτό τον θαυμασμό του.

Ο κλονισμός που υπέστη ο νεαρός από αυτή την συμπεριφορά του  Gauss ήταν βαρύτατος.