Το σχήμα του τριγώνου Sierpinki πρωτο εμφανίστηκε στον Καθεδρικό Ναό του Ravello (τον 12ο αιώνα).[εικόνα κάτω]

Σχήμα 1

Αν Νn είναι ο αριθμός μαύρων τριγώνων μετά από την ν-οστη επανάληψη , Ln το μήκος μιας πλευράς ενός τριγώνου, και An το κλασματικό εμβαδόν που παραμένει μετά από την ν-οστη επανάληψη αφαίρεσης του εσωτερικού τριγώνου, τότε:

(Wolfram 1984; Borwein and Bailey 2003, p. 46)

Για  την κατασκευή του τριγώνου του Sierpinski ακολουθούμε τα εξής βήματα.

• Επίπεδο 0: Κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο
• Ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του και αφαιρούμε το εσωτερικό τρίγωνο που σχηματίζεται,έτσι προκύπτει το  επόμενο επίπεδο (επίπεδο 1).
• Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία σε κάθε ένα από τα τρία τρίγωνα που σχηματίζονται και οδηγοιύμαστε στο επόμενο επίπεδο (επόπεδο 2).
• Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία σε κάθε τρίγωνο του επιπέδου 2 κ.ο.κ.

Σχήμα 2

Το τρίγωνο Sierpinski με τη βοήθεια λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας

Η βασική εργαλειοθήκη των λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας περιλαμβάνει  εργαλεία για κατασκευή τμημάτων, κύκλων , γραμμών κ.α.  Τόσο το Cabri ΙΙ (macros), Geogebra όσο και το Sketchpad (scripts, custom tools) έχουν την προηγμένη δυνατότητα, της προσθήκης  στην εργαλειοθήκη νέων εργαλείων και της επαναχρησιμοποίησης τους στις κατασκευές εύκολα και αποτελεσματικά (Straesser ,2003). Για να δημιουργήσουμε ένα νέο εργαλείο, δημιουργούμε αρχικά την γενική κατασκευή που θέλουμε να καθορίσουμε ως εργαλείο. Αυτή η κατασκευή θα χρησιμεύσει και ως o «ορισμός» για τη δημιουργία του εργαλείου. Στο Sketchpad (version 4) για να δημιουργήσουμε την κατασκευή χρησιμοποιούμε οποιαδήποτε διαθέσιμα εργαλεία και εντολές από το menu-Construct, Transform , Measure, and Graph.  Έτσι μας επιτρέπεται να εμπλουτίσουμε το μαθηματικό λεξιλόγιο του λογισμικού με τόσες νέες διαδικασίες όσες και επιθυμούμε. Το custom tool μπορεί να περιλαμβάνει ακόμα και action buttons που απαιτούνται για την κατασκευή, ενώ δημιουργούν μαθηματικά αντικείμενα -αποτελέσματα άλλων δεδεομένων αντικειμένων. Αν για παράδειγμα κατασκευάσουμε την μεσοκάθετο ευθ. τμήματος και την αποθηκεύσουμε ως εργαλείο custom tool   έχουμε στη συνέχεια τη δυνατότητα κατασκευής του περικέντρου με τρεις επαναλήψεις  του εργαλείου . H αποθήκευση στην εργαλειοθήκη μπορεί να γίνει μέσα από το Create New Tool. To νέο εργαλείο που κατασκευάζουμε λειτουργεί πλέον αυτόματα όταν το επιλέξουμε από την εργαλειοθήκη, χωρίς να χρειάζεται να εμφανίσει τα ενδιάμεσα σημεία κατασκευής. Αυτό όχι μόνο  μπορεί να οδηγήσει σε συνθετότερες κατασκευές αλλά οδηγεί σε υψηλότερα επίπεδα αφαίρεσης  (Πατσιομίτου,2005, 2006). 

Για την κατασκευή του τριγώνου Sierpinski

Ανοίγουμε ένα νέο αρχείο στο Sketchpad v4. Η κατασκευή θα γίνει αρχικά σε ισόπλευρο τρίγωνο ώστε οι μαθητές να διαπιστώσουν κάποιες κανονικότητες στο σχήμα ενώ προτείνεται να ακολουθήσουν τα παρακάτω βήματα.

1^ο βήμα :

Πως κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο: επιλέγουμε το ευθύγραμμο τμήμα  από την εργαλειοθήκη του λογισμικού και κατασκευάζουμε με αυτό ευθ. τμήμα ΒΓ

• Επιλέγουμε το Β και το τμήμα ΒΓ ταυτόχρονα και από το μενού  construct –circle by center and radius (κατασκευή κύκλου από κέντρο και ακτίνα). Ομοίως για το σημείο Γ .  Για να βρούμε τα σημεία τομής επιλέγουμε τους κύκλους και από το μενού  construct –intersection  (κατασκευή σημείου τομής). Αν  Α το σημείο τομής των δυο κύκλων το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο 
• Επιλέγουμε τους κύκλους και το δεύτερο σημείο τομής. Από το μενού display- hide objects (κρύψε τα αντικείμενα).  

2^ο βήμα :Πως μπορούμε να φτιάξουμε  ένα αρχείο εντολών που θα  κατασκευάζει ένα ισόπλευρο επαναλαμβανόμενες φορές; Επιλέγουμε το ισόπλευρο τρίγωνο που μόλις κατασκευάσαμε και  από το μενού edit –select all (επιλογή όλων). Στην συνέχεια create new tool (δημιουργία νέου εργαλείου) και στο εικονίδιο που εμφανίζεται γράφουμε το όνομα του αρχείου «ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ». Αν δοκιμάσουμε το εργαλείο μας σε δυο διαφορετικά σημεία στην οθόνη διαπιστώνουμε ότι επαναλαμβάνεται το ισόπλευρο τρίγωνο πάντα εξαρτώμενο από το μήκος του αρχικού τμήματος κατασκευής. Για να δούμε τα βήματα του εργαλείου επιλέγουμε   show script view και από το  εικονίδιο  βλέπουμε τα διαδοχικά βήματα του τρόπου με τον οποίο  κατασκευάσαμε το ισόπλευρο.

Στη συνέχεια προτείνονται κάποια διερευνητικά βήματα κατασκευής :

Συνδέστε τα μέσα της κάθε πλευράς από το μενού Construct –midpoint. Πόσα ισόπλευρα τρίγωνα τώρα έχετε; Μπορείτε να  επιβεβαιώσετε το συμπέρασμα σας χρησιμοποιώντας  το αρχείο εντολών του ισοπλεύρου που μόλις κατασκευάσατε ; 

Σχήμα 3

3^ο βήμα :     Κατασκευάστε  τρίγωνο και  αλλάξτε την θέση της κορυφής . Πόσα τρίγωνα με την κορυφή προς τα πάνω  και πόσα τρίγωνα με την κορυφή προς τα κάτω περιέχονται στα αρχικά τρίγωνα.  Γράψτε τις παρατηρήσεις σας.

Από το construct-triangle interior χρωματίστε όλα τα τρίγωνα εκτός του τριγώνου στο κέντρο . Μετρήστε το  εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος 4 και το εμβαδόν του καθενός μπλε τριγώνου. Υπολογίστε τους λόγους εμβαδών [π.χ του εμβαδού του αρχικού τριγώνου προς το μπλέ τρίγωνο]. Τι διαπιστώνετε; Αν το αρχικό εμβαδόν είναι 1 μπορείτε να εκφράσετε το  κλασματικό του μέρος του μπλε τριγώνου σε σχέση με το   αρχικό τρίγωνο;

Σχήμα 4

4^ο βήμα : Κατασκευάστε ένα εργαλείο που να επαναλαμβάνει την προηγούμενη κατασκευή (με τους υπολογισμούς εμβαδών) και στην συνέχεια επαναλάβετε την στα μέσα του αρχικού τριγώνου .

Τι παρατηρείτε ; Ποια είναι η σχέση των εμβαδών των τριγώνων που προκύπτουν σε σχέση με το αρχικό;Αν το εμβαδόν του μπλέ τριγώνου είναι ίσο με 1 τετραγ. μονάδα  πόσο είναι το εμβαδόν του λευκού μέρους . Αν το εμβαδόν του  αρχικού τριγώνου είναι 1 να εκφράσετε το  κλασματικό μέρος  του μπλε τριγώνου σε σχέση με το   αρχικό  τρίγωνο .

 Σχήμα 5 

5ο βήμα:

 Στον παρακάτω πίνακα να τοποθετήσετε τον αριθμό των μπλέ τριγώνων που σχηματίζονται σε κάθε βήμα

Πως αυξάνεται ο αριθμός των  μπλέ  τριγώνων κάθε βήματος ;

Ανακαλύψτε έναν κανόνα (pattern) ώστε να  προβλέψετε τον αριθμό των  μπλέ τριγώνων του 4^ου , 5^ου  και ν^ου βήματος ………………………………………………………………………………………………

 6ο βήμα

Στον παρακάτω πίνακα να τοποθετήσετε το εμβαδόν  των μπλέ τριγώνων που σχηματίζονται σε κάθε βήμα

Τι σχέση υπάρχει ανάμεσα στα εμβαδά  των  μπλέ  τρίγωνων κάθε βήματος ;

Πως προκύπτει ο αριθμός του εμβαδού του 2^ου βήματος ;

Μπορείτε να ανακαλύψετε   έναν κανόνα (pattern)  ώστε να  προβλέψετε το εμβαδόν των  μπλέ τριγώνων του 4^ου , 5^ου  και ν^ου βήματος  ;

………………………………………………………………………………………………

Στον παρακάτω πίνακα να τοποθετήσετε την περίμετρο   των μπλέ τριγώνων που σχηματίζονται σε κάθε βήμα

Τι σχέση υπάρχει ανάμεσα στις περιμέτρους των  μπλέ τριγώνων κάθε βήματος ;

Πως προκύπτει ο αριθμός της περιμέτρου του 2^ου βήματος ;

Μπορείτε να ανακαλύψετε  έναν κανόνα (pattern)  ώστε να  προβλέψετε την περίμετρο  των  μπλέ τριγώνων του 4^ου , 5^ου  και ν^ου βήματος  

  Κατασκευή και εφαρμογή του Sierpinski σε πυραμίδα

Κατασκευάζουμε αρχικά ένα τυχαίο τρίγωνο   και στην συνέχεια τα μέσα των πλευρών του Ονομάζουμε τα σημεία των κορυφών του τριγώνου και τα μέσα των πλευρών του. Στην συνέχεια επιλέγουμε τα σημεία Α,Β,C και από το μενού transform-iterate αντιστοιχούμε  τις κορυφές του αρχικού τριγώνου με τις κορυφές του  τρίγωνου DBF. Από  το Structure κατασκευάζουμε και ένα δεύτερο mapping των ίδιων σημείων. Στο σχήμα 10   βλέπουμε μια προ-εικόνα του τριγώνου του Sierpinski όπως έχει ήδη εμφανιστεί στην οθόνη μας .Αν επιλέξουμε το σχήμα και (+) το σχήμα αυξάνει τις υποδιαιρέσεις , ενώ αν επιλέξουμε το( –) τις μειώνει . 

Εφαρμογή της κατασκευής: Κατασκευάζουμε  μια πυραμίδα και εφαρμόζουμε  στις πλευρές της το custom tool που  κατασκευάσαμε με τον τρόπο που μόλις αναφέραμε. Οι μαθητές με την περιστροφή του σχήματος ή την αλλαγή προσανατολισμού του ή την αυξομείωση επιπέδων λόγω της διαδικασίας iteration μπορούν να οδηγηθούν σε παρατηρήσεις στο  τρισδιάστατο σχήμα[π.χ σχετικά με τα μέσα των πλευρών των τριγώνων στις έδρες του σχήματος ]

Βιβλιογραφία

To άρθρο περιέχει αποσπάσματα των εργασιών στη συνέχεια. Η συγγραφή του άρθρου και η επιλογή των πολυμέσων έγινε από τη Δρ. Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου (2005) Τα fractals ως πλαίσιο κατανόησης  ακολουθίας και ορίων μέσω της έννοιας τω εμβαδών σε περιβάλλον βασισμένο στο δυναμικό χειρισμό μαθηματικών αντικειμένων. Διπλωματική εργασία Διαπανεπιστημιακού Μεταπτυχιακού Προγράμματος Πανεπιστημίου Αθηνών και Πανεπιστημίου Κύπρου.

http://www.math.uoa.gr/me

Πατσιομίτου, Σ. (2007)  Το τρίγωνο του Sierpinski, H σπείρα  Baravelle και το Πυθαγόρειο δέντρο. Το Geometer’s Sketchpad v4 στην διαδικασία κατασκευής Fractals με στόχο την κατασκευή εννοιών. Πρακτικά 4ου Πανελλήνιου Συνεδρίου ΤΠΕ με τίτλο: «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη διδακτική  πράξη», σσ.28-37, Σύρος, 4-6 Μαΐου 2007

https://www.academia.edu/3540358/_Sierpinski_H_Baravelle_._Geometers_Sketchpad_v4_Fractals_

http://christianhubert.com/writings/fractals.html

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Η μελέτη των αριθμών και των γεωμετρικών σχημάτων και στερεών ήταν ο καταλληλότερος προπομπός για την τελική απελευθέρωση της ανθρώπινης σκέψης από τα δεσμά του εφήμερου αισθητού κόσμου. 

Η μελέτη των αντικείμενων της μαθηματική δραστηριότητας έδινε και δίνει τη εντύπωση άμεσης ενασχόλησης με έναν κόσμο που το βασικό χαρακτηριστικό του είναι η απευθείας νοητική του σύλληψη, χωρίς τ ο διάμεσο της ασθητηριακής αντίληψης. 

Το περίφημο επίγραμμα «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» που λέγεται ότι υπήρχε στην είσοδο της Ακαδημίας του, εκφράζει απόλυτα την πλατωνική εκτίμηση για την μαθηματική δραστηριότητα.

Συνδεδεμένα με το όνομα του Πλάτωνα είναι τα περίφημα Πλατωνικά στερεά. 

Τα πλατωνικά στερεά είναι στερεά που οριοθετούνται από ίσα κανονικά επίπεδα πολύγωνα. 

Ισα κανονικά επίπεδα που μπορούν να σχηματίσουν κυρτά στερεά είναι μόνον τρία: το ισόπλευρο τρίγωνο, το το τετράγωνο και το κανονικό πεντάγωνο.

Τα δυνατά κυρτα στερεά που μπορούν να σχηματιστούν από αυτά είναι ακριβώς πεντε: το κανονικό τετράεδρο, ο κύβος, το κανονικό οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο [στην εικόνα επάνω απεικονίζονται τα αναπτύγματα των στερεών]. 

O αισθητός κόσμος σε αντιδιαστολή με τον κόσμο των Ιδεών, δημιουργήθηκε πάνω σε κάποια ιδεατά πρότυπα. Ο τρόπος και τα υλικά δημιουργίας του αποτελούν ένα από τα βασικά αντικείμενα του πλατωνικού διαλόγου Τίμαιος .

Εκεί ο Πλάτων παρουσιάζει μια κοσμογονία στηριγμένη πάνω σε καθαρά γεωμετρικά στοιχεία. Πιο συγκεκριμένα ισχυρίζεται πώς οτιδήποτε αισθητό αποτελείται από κάποιον ποικίλλοντα συνδυασμό τεσσάρων βασικών στοιχειωδών υλικών, τα οποία είναι: ΠΥΡ, ΑΗΡ, ΥΔΩΡ, και ΓΗ. 

Με τη σειρά του τα υλικά αυτά δεν είναι απλά αλλά σύνθετα. Συντίθενται από τεσσάρων ειδών στοιχειώση πλατωνικά στερεά. Η γη αποτελείται από στοιχεώδεις κύβους, το ύδωρ από στοιχειώδη κανονικά εικοσάεδρα, ο αήρ από στοιχειώδη κανονικά οκτάεδρα και το πυρ απο στοιχειώση κανονικά τετράεδρα.

Τον Μεσαίωνα προστέθηκε από τους αλχημιστές σαν πέμπτο στοιχείο ο αιθέρας,ο  οποίος αποτελέιται απο κανονικά δωδεκάεδρα,  σχήμα που οριοθετεί όλο το σύμπαν. 

Σημείωση

Το άρθρο είναι απόσπασμα της ενότητας 1.3 «Τα πλατωνικά στερεά» της μονογραφίας «Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών» (Εκδόσεις Νεφέλη)  (Αναπολιτάνος,  1985, σελ. 46-52).

http://www.pbs.org/wgbh/nova/blogs/physics/2011/12/beautiful-losers-platos-geometry-of-elements/

H επιλογή του κειμένου και των πολυμέσων, [και η διαμόρφωσή τους] έγινε από τη Δρ. Σ.Πατσιομίτου

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Αν χρησιμοποιήσουμε αυτό το σχήμα για να επαναλάβουμε τη διαδικασία κατασκευής της οπτικής απόδειξης θα οδηγηθούμε σε μια δομή fractal, όπου η δομή του σχήματος ακολουθιακά και σε σμίκρυνση παραμένει η ίδια όπως συνεχίζει η κατασκευή. Ακόμα στην ακολουθιακή διαδικασία το σχήμα μοιάζει να περιστρέφεται για να δημιουργήσει τους κλάδους του αρχικού ‘δέντρου’. Έτσι δημιουργούνται επαναλήψεις της αρχικής δομής, διακλαδιζόμενες Πυθαγόρειες οπτικές αποδείξεις που όμως συνεχώς οδηγούν σε μικρότερα σχήματα κατασκευαστικά. Συνεπώς και υπολογιστικά τα μεγέθη θα μειώνονται συνεχώς. Ποια θα είναι η τελική τιμή του εμβαδού του τετραγώνου στο άκρο κάθε κλάδου;

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Tο λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Geometer’s Sketchpad περιλαμβάνει το φάκελο ‘Δείγματα’ στον οποίο περιέχεται ο υποφάκελος ‘Γεωμετρία’, μέσα στον οποίο περιέχεται η φράκταλ γκαλερί του λογισμικού. Στην πρώτη σελίδα του πολλαπλών σελίδων αρχείου της φράκταλ γκαλερί εμφανίζεται το Πυθαγόρειο δέντρο της εικόνας επάνω στο οποίο όμως έχει προστεθεί κίνηση. Ποιο σημείο του σχήματος θέτει σε κίνηση τους κλάδους του δέντρου; 

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

(δείτε ακόμα τα πρότυπα στην ιστοσελίδα https://www.dearingdraws.com/downloads/)

Διαβάστε τη συνέχεια του άρθρου και δείτε τις δραστηριότητες των μαθητών στο https://www.academia.edu/3517291/_   (σελ. 63-76

Πατσιομίτου, Σ.(2006): Προεκτάσεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Ευκλείδης A΄. τ.2. (62), 28-29.

Πατσιομίτου, Σ. (2010) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Α . ISBN 978-960-461-308

Πατσιομίτου, Σ. (2010) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Β. ISBN 978-960-461-308

Πατσιομίτου, Σ. (2012) Διδακτικές Προτάσεις: Τα Μαθηματικά στον Πραγματικό Κόσμο . Αυτό έκδοση ISBN 978-960-93-4456

Πρόκειται για μία ακολουθία αριθμών κατά την οποία κάθε αριθμός ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

1, 1,  2, 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89, 144, 233, 337, 610…

Η ακολουθία αυτή έχει και κάποιες σημαντικές ιδιότητες, για παράδειγμα:

Κάθε δύο διαδοχικοί όροι είναι πρώτοι μεταξύ τους (δηλαδή ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους είναι η μονάδα).

Oι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται και στο τρίγωνο Pascal, στο οποίο κάθε διαγώνιος παρουσιάζει διαφορετικό χρώμα. Το άθροισμα των αριθμών της κάθε διαγωνίου μας δίνει ένας αριθμό της ακολουθίας Fibonacci.

Επίσης το πηλίκο δύο αριθμών Fibonacci τείνει στη Χρυσή τομή ή στη Χρυσή Αναλογία δηλαδή στον Αριθμό φ .Ο χρυσός αριθμός φ (που συμβολίζει το όνομα του σπουδαίου γλύπτη Φειδία) ισούται με 1,61803…

 Η περίφημη αυτή ακολουθία δημιουργήθηκε  όταν ο Fibonacci παρατήρησε ότι από δύο κουνέλια, σε μικρό χρονικό διάστημα μπορείς να καταλήξεις σε πολύ μεγάλους πληθυσμούς. 

ΠΗΓΕΣ:

http://www.ramnousia.com/2012/12/fibonacci.html#.Ujs5P4bwlOg

http://users.sch.gr/theoj/etwin/fibonacci/akolouthia.htm

https://www.google.gr/search?hl=el&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1360&bih=667&q=fibonacci&oq=fibonacci&gs_l=img.3..0l4j0i24l6.1605.5205.0.5639.9.5.0.4.4.0.355.1304.0j2j1j2.5.0….0…1ac.1.26.img..1.8.977.o6CTymSm2W8#imgdii=_

Χιούμορ + Μαθηματικά του Ιωάννη Ευάγγελου Σταμέλου

Χάρις Αντωνιάδη, Β1

]]> https://schoolpress.sch.gr/testpat1/?feed=rss2&p=245 0 https://schoolpress.sch.gr/testpat1/?p=238 https://schoolpress.sch.gr/testpat1/?p=238#comments Sat, 10 May 2014 01:06:18 +0000 ΠΑΤΣΙΟΜΙΤΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ http://schoolpress.sch.gr/testpat1/?p=238 Το Παράδοξο: ‘’Ο Αχιλλέας και η Χελώνα’’

Ο Ζήνων ο Ελεάτης ήταν φιλόσοφος και μαθηματικός της Αρχαίας Ελλάδας και αγαπημένος μαθητής του φιλόσοφου Παρμενίδη.

Γεννήθηκε το 488 π.Χ. στην Ελέα της Ιταλίας.

Έζησε για μερικά χρόνια στην Αθήνα και ήταν αυτός ο οποίος έδινε εξηγήσεις στον Περικλή και στον Καλλία για τα διάφορα δόγματα.

Ελάχιστα από τα γραπτά του Ζήνωνα έχουν σωθεί και τα περισσότερα που γνωρίζουμε γι’ αυτόν προέρχονται από τον Αριστοτέλη.

Λέγεται ότι βοήθησε τον Παρμενίδη να γράψει τους νόμους της Ελέας.

Ήταν υπέρμαχος της ελευθερίας και δεν δίστασε να ρισκάρει την ζωή του για να γλιτώσει την πατρίδα του από έναν τύραννο.

Ο Ζήνων απέδειξε πως η κοινή αντίληψη της πραγματικότητας οδηγεί σε ‘’ παράδοξα’’ και ‘’ οξύμωρα ‘’. 

Τα Παράδοξα του Ζήνωνα

Ο Αχιλλέας όπως λέει ο Όμηρος ήταν πολύ γρήγορος δρομέας και όμως ο Ζήνωνας ισχυρίζεται ότι δεν μπορεί να φτάσει μια χελώνα που προπορεύεται.

Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγει το παράδειγμα αυτό είναι το εξής:

                       ‘’ Ο βραδύτερος ουδέποτε θα προσπεραστεί από τον ταχύτερο’’

Αν έχουμε έναν αγώνα δρόμου μεταξύ του Αχιλλέα και μιας χελώνας, και η χελώνα ξεκινήσει με προβάδισμα, για παράδειγμα ενός σταδίου, ο Αχιλλέας ο οποίος ήταν ο καλύτερος δρομέας της μυθολογίας, δεν θα μπορέσει ποτέ να φτάσει την χελώνα.

Αν υποθέσουμε ότι ο Αχιλλέας είναι 100 φορές πιο γρήγορος από την χελώνα τότε όταν αυτός θα έχει διανύσει 1 στάδιο, η χελώνα θα έχει διανύσει 1 στάδιο και 1 εκ. του σταδίου.

Όταν ο Αχιλλέας έχει διανύσει 1 στάδιο και 1εκ. του σταδίου η χελώνα θα έχει διανύσει 1 στάδιο και 1εκ. και 1 εκ. του εκατοστού του σταδίου κ.ο.κ.

Επομένως η χελώνα πάντα θα προπορεύεται.

 

Αν η ταχύτητα του Αχιλλέα είναι υΑ = 10m./sec και της χελώνας υΧ= 1m./sec τότε ο Αχιλλέας σε χρόνο t1= 10 sec θα διανύσει απόσταση Αx1 την οποία τον προσπερνά η χελώνα.

Κατά την διάρκεια του χρόνου t1 η χελώνα θα διανύσει διάστημα x1 x2= 10m.

Στη συνέχεια για να διατρέξει αυτή την απόσταση ο Αχιλλέας θα χρειαστεί χρόνο t2=1 sec. Κατά τον χρόνο t2 η χελώνα θα διανύσει απόσταση x2 x3.

Η κίνηση αυτή θα συνεχίζεται επ’ άπειρον.

ΠΗΓΕΣ:

Βικιπαίδεια

 

http://www.atopo.gr/genika/1854/

 

http://antikleidi.com/2012/09/22/zinonachileas

                                                                                             Δήμητρα Δεληβοριά, Β3  

Στο βόρειο τμήμα του Β.Η. κάνει κρύο λόγω του πόλου, ενώ στο νότιο τμήμα του κάνει ζέστη, λόγω του ισημερινού. Στο βόρειο τμήμα του Ν.Η. κάνει ζέστη λόγω του ισημερινού και υπάρχουν τροπικά δάση. Στο νότιο τμήμα του Ν.Η. κάνει κρύο, λόγω των παγωμένων νότιων ανέμων που έρχονται από την Ανταρκτική. Μάλιστα αναπτύσσεται ή βλάστηση της τούνδρας και συναντάμε μερικά είδη πιγκουίνων.

Βέβαια, επειδή η ζωή είναι περίπλοκη και δεν αρκεί η γεωμετρία για να την ερμηνεύσουμε, το φαινόμενο της κλιματικής συμμετρίας δεν ισχύει απόλυτα. Έτσι, από την κλιματική συμμετρία εξαιρούνται: α) οι ορεινές περιοχές, β) οι παραθαλάσσιες περιοχές και γ) οι περιοχές με μικροκλίμα.

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Οι ορεινές περιοχές επηρεάζονται από την κλιματική συμμετρία ανάλογα με το υψόμετρο που έχουν. Έστω ότι ένας λόφος ύψους 200m βρίσκεται σε γεωγραφικό πλάτος 20^ο νότια του ισημερινού. Εκεί το χειμώνα η θερμοκρασία δύσκολα θα πέφτει από τους 12^οC, ενώ το καλοκαίρι μπορεί να αγγίζει και τους 38^οC.

Έστω πάλι ότι ένα βουνό ύψους 2.500m βρίσκεται στο ίδιο γεωγραφικό πλάτος με το λόφο. Εκεί το χειμώνα η θερμοκρασία μπορεί να πέφτει στους -10^οC και με χιονόπτωση, ενώ το καλοκαίρι δύσκολα θα ξεπεράσει τους 16^οC.

Έστω ότι υπάρχει μια παραθαλάσσια περιοχή γεωγραφικού πλάτους 35^ο βόρεια του ισημερινού και μία ηπειρωτική περιοχή με μικροκλίμα 35^ο νότια του ισημερινού. Εδώ τα φαινόμενα θα είναι περίπου ως εξής. Στην παραθαλάσσια περιοχή το χειμώνα, η θερμοκρασία δύσκολα θα πέσει κάτω από τους 13^οC, ενώ στην ηπειρωτική περιοχή με μικροκλίμα δεν θα πέσει κάτω από τους 10^οC. Αντίθετα το καλοκαίρι στη παραθαλάσσια περιοχή, η θερμοκρασία θα φτάσει χωρίς να ξεπεράσει τους  25^οC -  30^οC. Στην ηπειρωτική περιοχή με μικροκλίμα μπορεί να αγγίξει και τους 40 ^οC.

Όπως διαπιστώνουμε από τα παραπάνω δεν ισχύει αυτό που εικάζει ένας μεγάλος αριθμός ανθρώπων ότι το βόρειο ημισφαίριο είναι πιο κρύο από το νότιο.   

Σημείωση:

Αν και δεν υπάρχει λοιπόν βιβλιογραφία για την Κλιματική Συμμετρία, υπάρχουν πηγές με τα δεδομένα που με βοήθησαν να καταλήξω σε αυτό το συμπέρασμα.

Μεταξύ αυτών είναι:

-Κωστής Κουτσόπουλος, Μαρία Σωτηράκου, Μαρία Ταστσόγλου, Γεωγραφία-Μαθαίνω για τη Γη, Αθήνα 2012 (ειδικά τα κεφάλαια και οι χάρτες για τις κλιματικές ζώνες, σελίδες 39-42, και για τις πολικές, τις τροπικές και τις εύκρατες περιοχές, σελίδες 74-83, είναι το βιβλίο γεωγραφίας της ΣΤ δημοτικού).

-Κώστας Τζιβελέκας, Κώστας Ίωνας, Οι κορυφές του κόσμου, Αθήνα 2010 (από εκεί είδα στοιχεία για το κλίμα στις διάφορες ορεινές περιοχές του κόσμου).

-ένα σπουδαίο βιβλίο για την Αρκτική, που είχα δανειστεί από την βιβλιοθήκη του 70ου Δημοτικού και είναι το βιβλίο που εξαιτίας του ξεκίνησε το ενδιαφέρον μου για το κλίμα, αλλά δεν θυμάμαι συγγραφέα και άλλα στοιχεία, μπορώ όμως να πάω στο δημοτικό να το βρω).

                                                             Κείμενο & Σχέδιο: Καλλιβρετάκης Φώτιος μαθητής, Τμήμα Α1

Είναι ο αρχαιότερος προσωκρατικός φιλόσοφος, ο πρώτος των επτά σοφών της αρχαιότητας, μαθηματικός, φυσικός, αστρονόμος, μηχανικός, μετεωρολόγος και ο ιδρυτής της Μιλησιακής σχολής της φυσικής φιλοσοφίας.

Προσπάθησε να κατανοήσει τον κόσμο μέσα από τα μάτια της επιστήμης και να εξηγήσει φυσικά φαινόμενα όπως λ.χ την έκλειψη του ηλίου, χωρίς να χρησιμοποιεί αναφορές στην μυθολογία όπως γινόταν μέχρι την εποχή του, ανοίγοντας τον δρόμο στην επιστημονική έρευνα.

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Παρατηρώντας την κίνηση των ουρανίων σωμάτων είπε πως ένα έτος πρέπει να έχει 365 ημέρες και ήταν ο πρώτος που κατάλαβε ότι η σελήνη δεν είναι αυτόφωτο ουράνιο σώμα, αλλά το φως της οφείλεται σε αντανάκλαση του ηλιακού φωτός.

 Στις φιλοσοφικές του τοποθετήσεις δεχόταν πως το νερό ήταν η αρχή των πάντων και ότι πάνω σε αυτό  στηριζόταν η γη ενώ μέσω αυτού μεταδιδόταν η ζωή.

Ο Θαλής αναφέρεται ως σπουδαίος γεωμέτρης.

Κέρδισε μάλιστα τον θαυμασμό των Αιγυπτίων μετρώντας το ύψος των πυραμίδων, βασιζόμενος στο μήκος της σκιάς τους και της σκιάς μιας ράβδου που έμπηγε στο έδαφος.

Γνωστό είναι το Θεώρημα του Θαλή που αναφέρει: όταν παράλληλες ευθείες τέμνονται από δύο άλλες ευθείες τότε τα τμήματα μεταξύ των παραλλήλων που ορίζονται στην μια τέμνουσα, είναι ανάλογα.

Στον Θαλή αποδίδονται πέντε ακόμα αποδείξεις γεωμετρικών προτάσεων που είναι οι ακόλουθες:

1. Η διάμετρος ενός κύκλου τον χωρίζει σε δύο ίσα μέρη.
2. Οι κατά κορυφήν γωνίες είναι ίσες.
3. Οι παρά τη βάση ισοσκελούς τριγώνου γωνίες είναι ίσες.
4. Αν δυο τρίγωνα έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες, είναι και μεταξύ τους ίσα.
5. Η εγγεγραμμένη σε ημιπεριφέρεια γωνία είναι ορθή.

ΠΗΓΕΣ:

el.wikipedia.org/wiki/Θαλής‎

users.sch.gr/ndelis/thales/thalis.html‎

mathcultures.weebly.com/alpharhochialpha943omicroniota-904lambdala…‎

http://oxigon.blogspot.gr/2012/11/blog-post_19.html

                                                                                                 Κωνσταντίνος Δενεζάκος, Α1 

Ίσως το πιο γνωστό θεώρημα , που μάθαμε , και μας έμεινε τυπωμένο στη μνήμη . Ένα θεώρημα με μεγάλη ιστορία , η οποία αρχίζει στην Αρχαία Βαβυλωνία και στην Αρχαία Αίγυπτο. Οι Βαβυλώνιοι και Αιγύπτιοι το χρησιμοποιούσαν προκειμένου να κατασκευάσουν όλα τα αρχιτεκτονικά τους θαύματα.

Ο Πυθαγόρας απέδειξε το Πυθαγόρειο θεώρημα με θεωρητική γεωμετρία χρησιμοποιώντας λογική απόδειξη, κανόνα και διαβήτη.

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις». 

Δηλαδή: «Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών».

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:

http://el.wikipedia.org/wiki/

http://commonmaths.weebly.com

Μαρίνα Λυκόκα, Β1 

Ο Ηρόδοτος (485 - 421/415 π.Χ.) περιγράφει το Ευπαλίνειο όρυγμα: 

τὸ μὲν μῆκος τοῦ ὀρύγματος ἑπτὰ στάδιοι εἰσί, τὸ δὲ ὕψος καὶ εὖρος ὀκτὼ ἑκάτερον πόδες. διὰ παντὸς δὲ αὐτοῦ ἄλλο ὄρυγμα εἰκοσίπηχυ βάθος ὀρώρυκται, τρίπουν δὲ τὸ εὖρος, δι᾽ οὗ τὸ ὕδωρ ὀχετευόμενον διὰ τῶν σωλήνων παραγίνεται ἐς τὴν πόλιν ἀγόμενον ἀπὸ μεγάλης πηγῆς.

Ο Ευπαλίνος θα πρέπει να γνώριζε πώς να υπολογίζει υψομετρικές διαφορές. Η σήραγγά του ήταν ουσιαστικά ευθεία γραμμή. Πώς μπόρεσε να το επιτύχει; 

Σύμφωνα με τον Van der Waerden (February 2, 1903 – January 12, 1996) στο έργο του Science Awakening (Η Αφύπνιση της Επιστήμης) (2003, σελ. 112)

«Η απάντηση βρίσκεται στο σύγγραμμα «Περι διόπτρας» του “Ηρωνος., από την Αλεξάνδρεια (60μ.Χ.). Εκεί ο ΄Ηρων περιγράφει κατ” αρχάς τη διόπτρα, δηλαδή έναν οριζόντιο κανόνα συναρμοσμένο έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται, με δύο στόχαστρα που κάνουν δυνατή λ.χ . την παρατήρηση μιας ορθής γωνίας σε ένα επίπεδο. [...]

Ο Ήρων πραγματεύεται την κατασκευή φρεατίων (πρόβλημα υπ. αρ. 15, 16) καθέτων προς τη σήραγγα, η οποία θεωρείται σε ευθεία γραμμή. Τ’ετοια φρεάτια υπάρχουν πραγματι στη Σάμο.»

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Η συγγραφή του κειμένου και η επιλογή των πολυμέσων έγινε από την Δρ. Σ.Πατσιομίτου 

Βιβλιογραφία:

Van Der Waerden, B.L. (2003). Η αφύπνιση της Επιστήμης: Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά και Ελληνικά Μαθηματικά. Μτφ. Γιάννης Χριστιαννίδης. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

http://el.wikipedia.org/wiki/Ευπαλίνειο_όρυγμα