Οι πρώτοι αριθμοί είναι αρκετά απλοί. Ακόμη κι ένα μικρό παιδί μπορεί να κατανοήσει τη φύση τους, αρκεί να γνωρίζει διαίρεση. Γιατί τότε υπάρχουν προβλήματα γύρω από τους πρώτους, που ταλαιπωρούν τις μεγαλύτερες διάνοιες στο χώρο των μαθηματικών για περισσότερο από έναν αιώνα τώρα; Τι δουλειά έχουν οι πρώτοι αριθμοί με τον κβαντικό μικρόκοσμο; Πώς εμπλέκονται οι μιγαδικοί αριθμοί στην όλη ιστορία; Θα αλλάξει η ζωή μας αν κι όποτε αποδειχθεί, επιτέλους, η εικασία του Riemann, το ιερό δισκοπότηρο των μαθηματικών;

Οι πρώτοι αριθμοί είναι κάτοικοι του συνόλου των λεγόμενων φυσικών αριθμών, τους οποίους χρησιμοποιούμε, μεταξύ άλλων, για να μετράμε. Ανάλογα με το κείμενο που διαβάζετε, άλλοτε θα βλέπετε πως οι φυσικοί αριθμοί ξεκινάνε από το 0 κι άλλοτε από το 1. Η συμπερίληψη του μηδενός στους φυσικούς βολεύει τους μαθηματικούς που ασχολούνται με τη Θεωρία Συνόλων, ενώ η απουσία του εκείνους που δουλεύουν στη Θεωρία Αριθμών. Αλλά ας μην παρασυρόμαστε με λεπτομέρειες και τεχνικά ζητήματα — τουλάχιστον όχι από τόσο νωρίς. Ποιοι είναι, λοιπόν, οι πρώτοι αριθμοί; Πολύ απλά, είναι όλοι εκείνοι οι φυσικοί αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν και διαιρούνται μόνο με το 1 και τον εαυτό τους. Εδώ ίσως πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι όταν λέμε πως ένας φυσικός  διαιρείται από έναν φυσικό , εννοούμε πώς το υπόλοιπο της διαίρεσης  είναι μηδέν. Είναι προφανές πως οποιοσδήποτε αριθμός που δεν είναι μηδέν διαιρείται με τη μονάδα και τον ίδιο του τον εαυτό — έχει, δηλαδή, τουλάχιστον δύο διαιρέτες. Κάποιοι φυσικοί αριθμοί έχουν ακριβώς δύο διαιρέτες, π.χ., οι 2, 3 και 7, ενώ κάποιοι άλλοι έχουν περισσότερους από δύο, π.χ., οι 9, 12 και 18. Ένας εναλλακτικός ορισμός των πρώτων, λοιπόν, είναι να πούμε πως πρόκειται για τους φυσικούς που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν κι έχουν ακριβώς δύο διαιρέτες. Η λίστα των πρώτων αριθμών ξεκινά έτσι:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Θα παρατηρήσατε πως απουσιάζει το 1, ένας αριθμός που από τον προηγούμενο ορισμό είναι ξεκάθαρα πρώτος. Οι μαθηματικοί όμως δεν θέλουν το 1 στη λίστα με τους πρώτους αριθμούς, αφενός επειδή αποτελεί “τετριμμένη περίπτωση”, όπως συνηθίζουν να λένε, αφετέρου διότι δημιουργεί προβλήματα στην περαιτέρω ανάπτυξη σχετικών θεωριών. Παρατηρήστε, επίσης, ότι το 2 είναι ο μοναδικός πρώτος που ταυτόχρονα είναι ζυγός. Είναι προφανές πως δεν υπάρχει ζυγός πρώτος μεγαλύτερος του 2. Πράγματι, κάθε ζυγός μεγαλύτερος από το δύο έχει τουλάχιστον τρεις διαιρέτες –τη μονάδα, το 2 και τον εαυτό του–, επομένως δεν είναι πρώτος.

Δομικοί λίθοι
Θα μπορούσαμε να πούμε πως οι πρώτοι είναι για τους αριθμούς ό,τι είναι τα άτομα για την ύλη: έχουν το ρόλο δομικών λίθων! Πράγματι, το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής μας βεβαιώνει πως κάθε φυσικός μεγαλύτερος της μονάδας είτε είναι πρώτος είτε εκφράζεται ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Επιπρόσθετα, η ανάλυση ενός οποιουδήποτε αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι μοναδική, εκτός ίσως από τη σειρά που γράφονται οι παράγοντες αυτοί. Έτσι, ο αριθμός 30 μπορεί να γραφτεί μοναδικά ως  (όλοι πρώτοι), ο 6936 ως  (γινόμενο δυνάμεων πρώτων), ο 24475932 ως  κ.ο.κ.

Μια πρώτη έκπληξη
Μια πρακτική εφαρμογή που βρίσκουν οι πρώτοι αριθμοί είναι στην κρυπτογραφία, που ως τεχνική χρησιμοποιείται π.χ. στη διασφάλιση του απορρήτου των τηλεπικοινωνιών ή σε εμπορικές εφαρμογές. Για παράδειγμα, όποτε κάνουμε μια αγορά από το ίντερνετ με την πιστωτική μας κάρτα, η συναλλαγή με το ηλεκτρονικό κατάστημα κρυπτογραφείται. Απουσία των πρώτων αριθμών –και με δεδομένη την ισχύ των σύγχρονων υπολογιστών–, η όποια μέθοδος κρυπτογράφησης είναι πολύ πιθανό πως θα έσπαζε εύκολα κι επομένως τα στοιχεία της πιστωτικής μας θα γίνονταν γνωστά σε τρίτους. Τώρα, σε μια ισχυρή μέθοδο κρυπτογράφησης είναι απαραίτητο να υπεισέρχονται πολύ μεγάλοι πρώτοι αριθμοί (μεγαλύτεροι από ), επομένως χρειάζονται μέθοδοι ή αλγόριθμοι ευρέσεως πρώτων. Χρειάζονται, επίσης, αλγόριθμοι που θα αποφασίζουν εάν ένας αριθμός είναι πρώτος ή όχι. Μπορείτε π.χ. να βρείτε αν ο αριθμός 2047 είναι πρώτος; Με μια πρώτη ματιά μάλλον όχι, εκτός κι αν έχετε κάποιο ιδιαίτερο χάρισμα στη διαίρεση. Όπως και να ‘χει, με λίγο ή πολύ κόπο θα διαπιστώσετε ότι το 2047 διαιρείται με το 89 αλλά και με το 23, επομένως δεν είναι πρώτος. Καλώς. Τι μπορείτε όμως να πείτε για τον αριθμό 2147483647; Για τον 2305843009213693951; (Είναι και οι δύο πρώτοι, μάλιστα ανήκουν στους λεγόμενους πρώτους του Mersenne.)