• Κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο  [με τη βοήθεια ενός κατάλληλου αρχείου εντολών ή όχι]

Επιλέγουμε τις πλευρές και από το μενού  construct – midpoint (κατασκευή μέσου) κατασκευάζουμε τα μέσα των πλευρών. 

Επιλέγουμε τα Α,Ι,Κ και από το μενού construct–interior κατασκευάζουμε το εσωτερικό του  τριγώνου.

• Επιλέγουμε το τρίγωνο ΑΙΚ και από το μενού Μeasure >>Αrea (perimeter) μετράμε το εμβαδόν (ή την περίμετρο). Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία για τα τρίγωνα ΒΙΛ , KΛΓ (ενώ αλλάζουμε τα χρώματα όπως στο σχήμα). Επιλέγουμε τα Α, Β και από το μενού  transform –iterate (μετασχηματίζω-επαναλαμβάνω) αντιστοιχούμε τα σημεία Β,Γ στα Ι,Λ αντίστοιχα. Οι αρχικές μετρήσεις οδηγούν στην εμφάνιση ενός πίνακα του οποίου τα δεδομένα είναι οι μετρήσεις  των εμβαδών και των πλευρών  στις διαδοχικές επαναλήψεις των τριγώνων  του σχήματος.  Η αντιγραφή και επικόλληση του πίνακα του Sketchpad σε φύλλο στο  Excel μας δίνει μεγαλύτερη ευχέρεια στους υπολογισμούς .

• Αν  επιλέξουμε τον πίνακα και με δεξί κλικ επιλέξουμε plot table data (αποτύπωση δεδομένων πίνακα ) παίρνουμε  μια γραφική παράσταση της ακολουθίας  ενώ από το menu-measure-coordinates με επιλογή των σημείων έχουμε τις ακριβείς θέσεις των σημείων. Αυτό έχει σαν συνέπεια ο μαθητής να μπορεί να διαπιστώσει άμεσα τις θέσεις των σημείων του πίνακα στην γραφική παράσταση και επομένως το περιβάλλον του λογισμικού να λειτουργεί ως περιβάλλον πολλαπλών αναπαραστάσεων, οι οποίες   λειτουργούν συμπληρωματικά ενώ  έχουν την δυνατότητα να διευκολύνουν την μάθηση των εννοιών του ορίου και της ακολουθίας (Πατσιομίτου ,2005)

• Αν κάνουμε  zoom με το dilate tool  στο κέντρο του σχήματος οι μαθητές μπορούν να διαπιστώσουν (εξαρτώμενο από το πλήθος των iterations που έχουμε κάνει) ότι η κατασκευή επαναλαμβάνεται και το σχήμα ως fractal τους οδηγεί να κατανοήσουν  μια χαρακτηριστική ιδιότητα των fractal αντικειμένων την  αυτοομοιότητα .
• Αν αλλάξουμε τον τρόπο κατασκευής της σπείρας  δηλαδή κατασκευάσουμε  ισόπλευρο τρίγωνο ABΓ  και από τις κορυφές του φέρουμε παράλληλες προς τι απέναντι πλευρές του τότε το σχήμα  ΔΕΖ  που προκύπτει  είναι πάλι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Η  εφαρμογή της διαδικασίας transform-iteration  με pre-image τις κορυφές του αρχικού ισοπλεύρου και first-image τις κορυφές του ισοπλεύρου που μόλις κατασκευάσαμε δίνει σαν αποτέλεσμα την κατασκευή μιας αύξουσας ακολουθίας εμβαδών (ή περιμέτρων). Ακόμα οι παρατηρήσεις των μαθητών μέσα από το zoom αλλά και τις μετρήσεις ,  μπορούν να τους οδηγήσουν στην απόκτηση μιας ισχυρής διαίσθησης σχετικά με  το άπειρο και τα απειροελάχιστα (Πατσιομίτου ,2005) . 

Σημείωση: Το αρθρο είναι απόσπασμα των παρακάτω εργασιών που αναφέρονται στις βιβλ. αναφορές. Η επιμέλεια του άρθρου και η επιλογή των πολυμέσων έγινε από τη Δρ. Σ.Πατσιομίτου

Βιβλιογραφικές αναφορές

Σταυρούλα Πατσιομίτου (2005) Τα fractals ως πλαίσιο κατανόησης  ακολουθίας και ορίων μέσω της έννοιας τω εμβαδών σε περιβάλλον βασισμένο στο δυναμικό χειρισμό μαθηματικών αντικειμένων. Διπλωματική εργασία Διαπανεπιστημιακού Μεταπτυχιακού Προγράμματος Πανεπιστημίου Αθηνών και Πανεπιστημίου Κύπρου.

http://www.math.uoa.gr/me

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Β. ISBN:978-960-461-309-0

Πατσιομίτου, Σ. (2007)  Το τρίγωνο του Sierpinski, H σπείρα  Baravelle και το Πυθαγόρειο δέντρο. Το Geometer’s Sketchpad v4 στην διαδικασία κατασκευής Fractals με στόχο την κατασκευή εννοιών. Πρακτικά 4ου Πανελλήνιου Συνεδρίου ΤΠΕ με τίτλο: «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη διδακτική  πράξη», σσ.28-37, Σύρος, 4-6 Μαΐου 2007

https://www.academia.edu/3540358/_Sierpinski_H_Baravelle_._Geometers_Sketchpad_v4_Fractals_

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Τα πεντόμινος είναι ένα σύνολο δώδεκα σχημάτων που έχουν δημιουργηθεί συνδυάζοντας 5 τετράγωνα ή κύβους, με τέτοιο τρόπο ώστε να επιτευχθεί κάθε δυνατός συνδυασμός στην τοποθέτηση τους το ένα δίπλα στο άλλο. Αν παρατηρήσουμε τα πεντόμινος θα προσέξουμε ότι τα σχήματα των πεντόμινος τείνουν να μοιάσουν στα λατινικά γράμματα  F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z.

Στο σχήμα κάτω (κέντρο) παρατηρούμε ότι πέντε από τα  πεντόμινος μπορούν να προσανατολιστούν και επομένως να κατασκευαστούν και με εναλλακτικό τρόπο δηλαδή το συμμετρικό του ως προς άξονα συμμετρίας. Μπορούμε να κατασκευάσουμε στο λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Geometer’s Sketchpad (Jackiw, 1991) τα δικά μας πεντόμινος με απλό τρόπο.

Για την κατασκευή τους παρατηρούμε ότι αποτελούνται όλα τα σχήματα πεντόμινος από ίσα τετράγωνα. Όπως καταλαβαίνουμε για να έχουμε την δυνατότητα να συνδυάσουμε τα κομμάτια πεντόμινος πρέπει οι πλευρές των τετραγώνων να είναι ίσες. Η κατασκευή και εφαρμογή των πεντόμινος είναι πολύ σημαντική για την ανάπτυξη οπτικοχωρικών ικανοτήτων στους μαθητές τους μαθητές. Ακόμα για την κατανόηση της συμμετρίας ως προς άξονα.

ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΕΣ

Οι κατασκευές πλακοστρώσεων με περιστροφή κατά 180^ο ενός τριγώνου στο Sketchpad είναι  σημαντικές ώστε οι μαθητές να κατανοήσουν την έννοια του συμμετρικού ως προς κέντρο σχήματος. Στα σχήματα κάτω οι μαθητές μπορούν αφού περιστρέψουν το σχήμα του τριγώνου να ερωτηθούν και συμπεράνουν σχετικά με το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου αλλά και τα είδη των τετράπλευρων που σχηματίζονται όταν το είδος του τριγώνου μεταβάλλεται αφού σύρουμε μια κορυφή του τριγώνου.

Για παράδειγμα στα σχήματα μπορούμε να δούμε ότι το σχήμα του τετράπλευρου μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο ή τετράγωνο ή ρόμβος κ.λ.π. Η δραστηριότητα αυτή είναι σημαντική για την διαισθητική κατανόηση της ιεραρχίας των τετράπλευρων, έννοιες που εισάγονται στο τέλος της τάξης της Α Γυμνασίου. Το αιτούμενο είναι η κατανόηση των γεωμετρικών εννοιών μέσα από μια διαδικασία δόμησης των εννοιών και «κατανόηση» για την Κολέζα (2006) σημαίνει «αντίληψη της δομής …(και) πρόβλεψη κατά τη διδασκαλία των κατάλληλων συνδέσεων μεταξύ των εννοιών που μαθεύτηκαν ήδη και εκείνων που οι μαθητές πρόκειται να μάθουν».

ΤΟ ΤΑΝΓΚΡΑΜ (TANGRAM)

Το τανγκράμ (Tangram) είναι ένα κινέζικο παιχνίδι, ένας τύπος puzzle, που αποτελείται από επτά κομμάτια τα λεγόμενα τανς (tans) τα οποία όταν τοποθετηθούν κατάλληλα μπορούν να δημιουργήσουν συγκεκριμένα σχήματα. Ο στόχος είναι να σχηματίσεις το σχήμα με τα επτά κομμάτια, έτσι ώστε το σχήμα να περιέχει όλα τα κομμάτια και κανένα να μην καλύπτει το άλλο.

Στην τάξη της Α Γυμνασίου οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν έτοιμα κομμάτια τανς προκειμένου να τα συνδυάσουν και να κατασκευάσουν με αυτά άλλα μεγαλύτερα σχήματα. Οι κατασκευές των κομματιών τανς στο λογισμικό και οι υπολογισμοί τους μπορούν να γίνουν στην τάξη της Β Γυμνασίου, ώστε να έχει προηγηθεί εννοιολογικά η εισαγωγή του Πυθαγορείου θεωρήματος ή των τριγωνομετρικών αριθμών του ημιτόνου, συνημίτονου και εφαπτομένης.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ–(Β ΤΑΞΗ): ΚΑΠΟΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ‘ΠΙΣΩ’ ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ TESSELLATIONS

Στην Β τάξη του Γυμνασίου οι μαθητές έχουν την δυνατότητα να εξερευνήσουν μέσω του λογισμικού τις συνθήκες που πρέπει να υπάρχουν για να επιστρώσουμε μια επιφάνεια με ίδια κανονικά πολύγωνα. Θα πρέπει να παρατηρήσουν αρχικά ότι γύρω από ένα σημείο που είναι κορυφή κανονικού πολυγώνου, το οποίο χρησιμοποιούν για την κάλυψη θα πρέπει να υπάρχουν το πολύ 6 και το λιγότερο 3 κανονικά πολύγωνα.

Έξι πολύγωνα γιατί η μικρότερη γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι 60^ο (ισόπλευρο). Τρία γιατί γύρω από την ίδια κορυφή θα υπάρχουν περισσότερα από δυο κανονικά πολύγωνα αφού κάθε γωνία ενός κανονικού πολυγώνου είναι μικρότερη από 180^ο. Για να γενικεύσουμε τον συλλογισμό μας: γνωρίζουμε ότι αν είναι ν το πλήθος των πλευρών του πολυγώνου τότε η κεντρική γωνία είναι ίση με ω=360^ο/ν και η γωνία φ του πολυγώνου είναι ίση με φ=180^ο-ω =180^ο-(360^ο/ν)=180^ο(ν-2)/ν.

Αν υποθέσουμε ότι ένα κανονικό πολύγωνο με γωνία φ καλύπτει το επίπεδο τότε πρέπει κ*φ= 360^ο, όπου κ είναι ο αριθμός των πολυγώνων με κοινή κορυφή που απαιτούνται να καλύψουν το επίπεδο. Τότε όμως μετά από πράξεις καταλήγουμε ότι 2*(κ+ν)=κ*ν, όπου ν, κ είναι φυσικοί αριθμοί και οι τιμές που μπορεί να πάρει το κ είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 3 και μικρότερες ή ίσες του 6. Αν δώσουμε στο κ τιμές και λάβουμε υπόψη τον τύπο επάνω, θα έχουμε την αντιστοιχία: όταν ν=3 τότε κ=6 δηλαδή απαιτούνται 6 ισόπλευρα τρίγωνα (6×60^o =360^o), όταν ν=4 τότε κ=4 δηλαδή απαιτούνται 4 τετράγωνα (4×90^o=360^o)  και όταν ν=6 τότε κ=3 δηλαδή απαιτούνται 3 εξάγωνα , όπως φαίνεται στα σχήματα. Στα σχήματα 6, 7 έχουμε κάνουμε ζουμ στο σημείο επαφής των γωνιών των πολυγώνων. Οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν ότι οι γωνίες των πολυγώνων σχηματίζουν άθροισμα ίσο με 360^ο. Δηλαδή να οδηγηθούν σε συμπεράσματα σχετικά με το είδος των διαφορετικών κανονικών πολυγώνων που μπορούν να σχηματίσουν μια πλακόστρωση. Πλακοστρώσεις μπορούμε να σχηματίσουμε και με συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων, όπως ισοπλεύρων τριγώνων, εξαγώνων, τετραγώνων και δωδεκαγώνων.

Βιβλιογραφία:

Η συγγραφή του κειμένου και η επιλογή των πολυμέσων έγινε από τη Δρ. Σ.Πατσιομίτου. Το κείμενο είναι απόσπασμα της εργασίας

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Οι Πλακοστρώσεις στο Sketchpad v4 ως  διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικών συλλογισμών Πρακτικά 1^ου Εκπαιδευτικού Συνεδρίου  ΕΤΠΕ με τίτλο «Ένταξη και χρήση των ΤΠΕ στην Εκπαιδευτική διαδικασία», σσ. 154-160. Βόλος, 24-26 Απριλίου

http://www.etpe.eu/new/custom/pdf/etpe1442.pdf

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Επικαλύψεις επιπέδου μέσω του Geometer’s Sketchpad v4 στο Πρόγραμμα Σπουδών: Tessellations, Πεντόμινος, Αλγεβρικές Δομικές μονάδες, Rep-Tiles, Tangram. Πρακτικά 5^ου Πανελλήνιου Συνεδρίου ΤΠΕ, με τίτλο: «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη διδακτική  πράξη», σσ. 601-609. Σύρος 8, 9, 10 Μαΐου 2009

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Α . ISBN:978-960-461-308-3

http://eclass.sch.gr/courses/G10114/

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΗ ΜΕ ANIMATION-CUSTOM TOOLS

Η κατασκευή ενός προσαρμοσμένου εργαλείου και η χρήση μετασχηματισμών και άλλων αλληλεπιδραστικών τεχνικών των λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας [π.χ του λογισμικού Geometer's Sketchpad) συνιστά έναν ακόμα τρόπο κατασκευής πλακοστρώσεων. Για παράδειγμα αν κατασκευάσουμε ως  εργαλείο στο σχήμα αριστερά που μετασχηματίζει το αρχικό τετράγωνο σε ένα άθροισμα πέντε τετραγώνων και χρησιμοποιήσουμε συνδυασμούς ανάκλασης και κουμπιών μετακίνησης μπορούμε να παράγουμε το σχήμα δεξιά.

Οι πλακοστρώσεις αυτές λόγω των μετασχηματισμών που υφίστανται, μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές στην κατανόηση της έννοιας της διατήρησης της επιφανείας (Κορδάκη, 1999).  

ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΠΕΙΡΟΕΙΔΩΝ ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΕΩΝ

Στη συνέχεια θα κατασκευάσουμε σπείρες Baravelle που έχουμε την δυνατότητα να θέσουμε σε κίνηση. 

Μέσω της διαδικασίας αυτής οι μαθητές μπορούν να εισαχθούν σε έννοιες όπως γεωμετρική πρόοδος, άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου, όριο. Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σπειροειδές ισόπλευρο τρίγωνο με animation, στην συνέχεια ένα εξάγωνο και να επεκτείνουμε την διαδικασία με την κατασκευή της εντυπωσιακής πλακόστρωσης δεξιά, που η κίνηση στο εσωτερικό της δημιουργεί φαντασμαγορικά σχέδια. 

Οι ιδέες που παρουσιάστηκαν για την δημιουργία πλακοστρώσεων με χρήση του μενού Μετασχηματισμός του Geometer’s Sketchpad, μπορούν να αξιοποιηθούν για να κατασκευάσουν οι μαθητές δημιουργικές εργασίες στα πλαίσια του μαθήματος της γεωμετρίας στο Γυμνάσιο ή στο Λύκειο αλλά και να αποτελέσουν σημαντικό διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικού συλλογισμού. Το σημαντικό είναι ότι με τις δραστηριότητες αυτού του είδους θα κάνουμε τέχνη μέσα από την γεωμετρία, θα συνδέσουμε δηλαδή τα μαθηματικά με τον πραγματικό, εξωμαθηματικό κόσμο και θα αντιληφθούμε ότι τα μαθηματικά είναι ένα μέσο για τη ανάπτυξη του πολιτισμού. 

Βιβλιογραφία:

Το κείμενο περιέχει αποσπάσματα των παρακάτω εργασιών.

Η συγγραφή του κειμένου και η επιλογή των πολυμέσων έγινε από τη Δρ. Σταυρούλα Πατσιομίτου

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Οι Πλακοστρώσεις στο Sketchpad v4 ως  διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικών συλλογισμών Πρακτικά 1ου Εκπαιδευτικού Συνεδρίου  ΕΤΠΕ με τίτλο «Ένταξη και χρήση των ΤΠΕ στην Εκπαιδευτική διαδικασία», σσ. 154-160. Βόλος, 24-26 Απριλίου

http://www.etpe.eu/new/custom/pdf/etpe1442.pdf

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Επικαλύψεις επιπέδου μέσω του Geometer’s Sketchpad v4 στο Πρόγραμμα Σπουδών: Tessellations, Πεντόμινος, Αλγεβρικές Δομικές μονάδες, Rep-Tiles, Tangram. Πρακτικά 5ουΠανελλήνιου Συνεδρίου ΤΠΕ, με τίτλο: «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη διδακτική  πράξη», σσ. 601-609. Σύρος 8, 9, 10 Μαΐου 2009

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Α . ISBN:978-960-461-308-3

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Δηλαδή μέσω των κατασκευών επαναλαμβανόμενων πλακιδίων μπορούμε να παρουσιάσουμε την έννοια της ομοιότητας (και σε πιο προχωρημένο επίπεδο της αυτοομοιότητας). Στην εικόνα δεξιά επάνω τα σχήματα επαναλαμβανόμενων πλακιδίων είναι από την τοποθεσία ιστού του NCTM. Θα κατασκευάσουμε κάποια από αυτά στο Geometer’s Sketchpad.

Για να κατανοήσουμε τι ακριβώς είναι ένα επαναλαμβανόμενο πλακίδιο, θα εξετάσουμε ένα παράδειγμα. Αν δημιουργήσουμε με τέσσερα τετράγωνα ένα σχήμα, τότε είναι γνωστό ότι αυτά σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο τετράγωνο.

Το αρχικό τετράγωνο που χρησιμοποιήσαμε σαν κομμάτι παζλ για την κατασκευή του μεγαλύτερου τετραγώνου είναι ένα επαναλαμβανόμενο πλακίδιο. Όπως καταλαβαίνουμε, αν πάρουμε πάλι τέσσερα τετράγωνα ίσα με το μεγάλο τετράγωνο, θα δημιουργήσουμε και πάλι ένα μεγαλύτερο τετράγωνο. Μπορούμε να βρούμε σχετικές πληροφορίες και δραστηριότητες για τα επαναλαμβανόμενα πλακίδια στην τοποθεσία ιστού του NCTM.

Βιβλιογραφία:

Το κείμενο είναι απόσπασμα του κειμένου που περιέχεται στη μονογραφία

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Α . ISBN:978-960-461-308-3

Ο μετασχηματισμός είναι μια λειτουργία    (operation) κατά την οποία: α) κάθε σημείο στο αρχικό αντικείμενο έχει ένα μοναδικό σημείο είδωλο και β) κάθε σημείο στο είδωλο-αντικείμενο είναι το είδωλο μόνο ενός σημείου (Coxford & Usiskin, 1975, p. 1). Σύμφωνα με τον Klein (1896) «η γεωμετρία πρέπει να εξεταστεί ως μελέτη των ιδιοτήτων του χώρου που είναι αμετάβλητες κάτω από ένα σύνολο μετασχηματισμών». Η γεωμετρία μετασχηματισμών των μικρόκοσμων έχει βασιστεί στον ορισμό της γεωμετρίας του Klein, σύμφωνα με τον οποίο οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων παραμένουν αμετάβλητες.

Στο τεύχος αυτό θα εξετάσουμε τα αποτελέσματα των μετασχηματισμών μαθηματικών αντικειμένων τα οποία μπορούμε να οπτικοποιήσουμε μέσω των επιστρώσεων επιπέδου. Στόχος μας είναι οι μετασχηματισμοί στο οπτικό επίπεδο να προκαλέσουν το μετασχηματισμό των διατυπώσεων των μαθητών και την ανάπτυξη του επιπέδου της γεωμετρικής τους σκέψης (Πατσιομίτου, 2012)

ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Η αγγλική λέξη για τις πλακοστρώσεις, tessellation, προέρχεται από τη λέξη tessellate σύμφωνα με τον Steven Schwartzman (1994) προέρχεται από την ελληνική λέξη τέσσερα. Τα πρώτα πλακίδια που χρησιμοποιούνταν για τις πλακοστρώσεις (κατασκευές μωσαϊκών) ήταν κατασκευασμένα από μικρά τετράγωνα ή κυβικά κομμάτια πέτρας. Δεδομένου ότι ένα μωσαϊκό καλύπτεται πλήρως από τέτοια κομμάτια η γεωμετρική σημασία της λέξης tessellation είναι «η επικάλυψη του επιπέδου με σχήματα με τέτοιον τρόπο ώστε να καλύπτουν το επίπεδο, χωρίς να αφήνουν κενά ή να επικαλύπτει το ένα σχήμα το άλλο». Παρόμοια ερμηνεία έχει η λέξη tiles (πλακίδια) και η λέξη tiling (επίστρωση με πλακίδια). Η επίστρωση με πλακίδια χρησιμοποιεί και αυτή σχήματα που μπορούν να επαναληφθούν στο επίπεδο χωρίς να αφήσουν κενά ή να επικαλύπτουν το ένα το άλλο. Μια ειδική περίπτωση επίστρωσης με πλακίδια είναι τα επαναλαμβανόμενα πλακίδια (στα αγγλικά rep-tiles, που είναι συντόμευση του replicating tiles).

Η τέχνη των πλακοστρώσεων έχει αναπτυχθεί από την αρχαιότητα μέχρι και σήμερα. Οι άνθρωποι ενδιαφέρθηκαν για τα πρότυπα τόσο στο χώρο όσο και στο επίπεδο από την εποχή των Πυθαγορείων, οι οποίοι ανακάλυψαν ότι υπάρχουν πέντε κανονικά στερεά, δηλαδή το τετράεδρο, ο κύβος, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Συνδεδεμένα με το όνομα του Πλάτωνα (427-348 π.Χ.) είναι τα Πλατωνικά στερεά, δηλαδή τα κυρτά στερεά που χρησιμοποίησε προκειμένου να απεικονίσει τα τέσσερα βασικά στοιχεία του σύμπαντος: τη γη, τη φωτιά, το νερό και τον αέρα. «Τα πλατωνικά στερεά δεν είναι άλλα από τα κυρτά στερεά που οριοθετούνται από ίσα κανονικά επίπεδα πολύγωνα. Ίσα κανονικά επίπεδα πολύγωνα που μπορούν να σχηματίσουν κυρτά στερεά είναι μόνον τρία: το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό πεντάγωνο. Τα δυνατά κυρτά στερεά που μπορούν να σχηματιστούν από αυτά είναι ακριβώς πέντε, δηλαδή το κανονικό τετράεδρο, ο κύβος, το κανονικό οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο […] Έτσι η γη αποτελείται από στοιχειώδεις κύβους, το ύδωρ από στοιχειώδη κανονικά εικοσάεδρα, ο αήρ από στοιχειώδη κανονικά οκτάεδρα και το πυρ από στοιχειώδη κανονικά τετράεδρα» (Αναπολιτάνος, 1985). Ο Ευκλείδης (300 π.Χ.) αναφέρει τους τύπους των κανονικών στερεών στο 13^ο βιβλίο των Στοιχείων του.

Τα μαθηματικά από την αρχαιότητα μέχρι και σήμερα παίζουν σημαντικό ρόλο στην τέχνη της πλακόστρωσης όπως και στις διάφορες μορφές τέχνης (Φίλη, 2000). Μολονότι τα μαθηματικά και η τέχνη είναι δυο διαφορετικά διακριτά πεδία, πολλά θέματα των μαθηματικών έχουν χρησιμοποιηθεί από καλλιτέχνες κατά καιρούς. Όταν αναφερόμαστε σε tessellations, στο νου μας έρχεται το όνομα του Escher. Ο Escher (1898-1972) χωρίζοντας το επίπεδο με κυματιστές σειρές πουλιών, ψαριών κ.ά. δημιούργησε εκπληκτικής ομορφιάς σχέδια που βασίζονται στους νόμους της συμμετρίας, της θεωρίας συνόλων, της προοπτικής, της τοπολογίας, της κρυσταλλογραφίας (Τουμάσης και Αρβανίτης, 2002).

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Σύμφωνα με τους Τουμάση και Αρβανίτη (2002) «Ένας από τους ευρύτερους στόχους της διδασκαλίας της γεωμετρίας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση είναι να προσφέρει την ευκαιρία στους μαθητές να βιώσουν τη δημιουργική αλληλεπίδραση μεταξύ μαθηματικών και τέχνης».

Στη συνεχεία θα παρουσιάσουμε κάποιες διαδικασίες που οδήγησαν στην κατασκευή των εργασιών των μαθητών. Οι εργασίες δημιουργήθηκαν με χρήση του Geometer’s Sketchpad, ή Geogebra και του μενού «μετασχηματισμός» ή σε στατικά μέσα [κατασκευές με κανόνα και διαβήτη], κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς 2013-14 στα πλαίσια του Ομίλου Μαθηματικής Σκέψης -Θεματική για τα Fractals -μετασχηματισμούς που είχα την ευθύνη. Ακόμα, τα αναπτύγματα Πλατωνικών και Αρχιμήδειων στερεών αλλά και πρωτότυπες κατασκευές όπως αυτή της εικόνας [ανάπτυγμα τετραέδρου και επιστρώσεις με επαναλαμβανόμενα πλακίδια στις έδρες] επάνω η οποία απαίτησε πολύ χρόνο, εκμάθηση κάτω από καθοδήγηση και επίβλεψη. Στην κάτω εικόνα παρουσιάζονται ενδεικτικά στιγμιότυπα από την ομαδοσυνεργατική διδασκαλία με την οποία διεξήχθη η διδασκαλία.

Οι ιδέες περιέχονται στο βιβλίο Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4vπου αναφέρεται στη βιβλιογραφία. Μπορούμε να αξιοποιήσουμε αυτές τις ιδέες για να κατασκευάσουμε δημιουργικές εργασίες στα πλαίσια του μαθήματος της γεωμετρίας στο Γυμνάσιο ή στο Λύκειο. Το σημαντικό είναι ότι με τις δραστηριότητες αυτού του είδους θα κάνουμε τέχνη μέσα από τη γεωμετρία, θα συνδέσουμε δηλαδή τα μαθηματικά με τον πραγματικό, εξωμαθηματικό κόσμο και να αντιληφθούμε ότι τα μαθηματικά είναι ένα μέσο για τη ανάπτυξη του πολιτισμού.

Βιβλιογραφία:

Το κείμενο είναι απόσπασμα του κειμένου που περιέχεται στη μονογραφία

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Α . ISBN:978-960-461-308-3

Πατσιομίτου, Σ (2012). Η ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης μέσα από τη χρήση αλληλεπιδραστικών τεχνικών και μετασχηματισμών σε υπολογιστικό περιβάλλον: Συνδεόμενες Οπτικές Ενεργές Αναπαραστάσεις. Αδημοσίευτη Διδακτορική Διατριβή. Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. (Δεκέμβριος 2012)

https://uoi.academia.edu/StavroulaPatsiomitou/FRACTAL’S-GROUP-(-OMILOS)
http://eclass.sch.gr/courses/G10110/index.php
http://eclass.sch.gr/modules/course_description/?course=G10110
http://eclass.sch.gr/modules/announcements/announcements.php?course=G10110

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Αναφορά:

Η σπείρα του Θεόδωρου του Κυρηναίου -δραστηριότητα (Πανεπιστήμιο Κύπρου)

http://eclass.sch.gr/modules/announcements/announcements.php?course=G115115

Αντί προλόγου 

Γράφει η Δρ. Σταυρούλα Πατσιομίτου

Τα τελευταία χρόνια έχουν γίνει πολλές αλλαγές στα Προγράμματα Σπουδών των Μαθηματικών πολλών χωρών, στοχεύοντας σε μια πιο αποτελεσματική διδασκαλία, η οποία διεξάγεται με ενεργητικές διαδικασίες μάθησης.

Καθώς οι μαθητές αναπτύσσονται είναι σημαντικό για την εξέλιξη της σκέψης τους η διδασκαλία να διεξάγεται ενεργητικά με την βοήθεια χειριστικών διαδραστικών υλικών [στατικών ή ψηφιακών]. Τα χειριστικά υλικά (manipulatives) παίρνουν διάφορες μορφές κατά τη διάρκεια των ετών φοίτησης των μαθητών στην Α/βθμια και Β/θμια εκπαίδευση.

Μαθαίνω μαθηματικά σημαίνει κάνω μαθηματικά, δηλαδή υιοθετώ μια ενεργητική διαδικασίας μάθησης για τους μαθητές με διαδικασίες επίλυσης προβλήματος στις οποίες [ο μαθητής] διαμορφώνει εικασίες, προβλέψεις και ερευνά αν επαληθεύονται ή όχι, γενικεύει, και διασυνδέει έννοιες με διάφορα αναπαραστατικά συστήματα.

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

 Ο τρόπος συλλογισμού των μαθητών κατά τη διάρκεια επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων γενικότερα και ειδικότερα γεωμετρικών προβλημάτων έχει απασχολήσει τους ερευνητές σε όλο τον κόσμο. Οι μαθητές αντιμετωπίζουν δυσκολία στην αποκωδικοποίηση της νοητικής τους εικόνας σε περιβάλλον χαρτιού – μολυβιού ή σε δυναμικό περιβάλλον (Patsiomitou, 2011; Πατσιομίτου, 2011), καθώς επίσης αντιμετωπίζουν δυσκολία να λειτουργήσουν δομικά στο σχήμα, αναλύοντάς το. Ο τρόπος που κάθε μαθητής διατυπώνει τις σκέψεις του, αποκωδικοποιεί ένα πρόβλημα ή μια νοητική του εικόνα σε στατικό ή δυναμικό περιβάλλον (δηλαδή ως σχέδιο στο χαρτί ή στον πίνακα, ή στην οθόνη ενός υπολογιστή) είναι διαφορετικός και εξατομικευμένος. Έχει αποδειχθεί ότι οι μαθητές συνήθως ολοκληρώνουν μια τάξη χωρίς να κατανοούν τους ορισμούς και τις αποδείξεις θεωρημάτων που περιέχονται στο σχολικό εγχειρίδιο ή διατυπώνονται από το δάσκαλο. Επομένως, δεν είναι σε θέση να κατασκευάσουν μια απόδειξη (Senk, 1989) εφαρμόζοντας συμπερασματικό συλλογισμό. Το αποτέλεσμα αυτό είναι συνέπεια της αφαιρετικής ικανότητας που έχει αποκτήσει ο μαθητής ως αποτέλεσμα της γνωστικής ανάπτυξης του.

  Tα περισσότερα θέματα που προτείνονται στη συνέχεια έχουν σχέση με τον πραγματικό κόσμο ως απόρροια της ανάγκης για αξιολόγηση της ικανότητας των μαθητών να τα αντιμετωπίσουν και να τα επιλύσουν. 

 Είναι γνωστό ότι η εφαρμογή των μαθηματικών για να λύσουμε καταστάσεις προβλημάτων στον πραγματικό κόσμο μπορεί να θεωρηθεί ωφέλιμη ως σύνθετη διαδικασία που περικλείει ένα αριθμό φάσεων που περιγράφεται από τους Corte, Verschaffel and Greer (2000): κατανόηση της κατάστασης που περιγράφεται, κατασκευή μαθηματικού μοντέλου, εργασία στο μαθηματικό μοντέλο, ερμηνεία τωναποτελεσμάτων στο πραγματικό περιβάλλον, αξιολόγηση του αποτελέσματος.

 Μέσω των προβλημάτων αυτών οι μαθητές θα αξιολογηθούν ως προς την ικανότητα τους αναφορικά με τους δυο τύπους μαθηματικοποίησης (mathematization) την οριζόντια και την κάθετη,δηλαδή:

(α) την ικανότητα μοντελοποίησης του προβλήματος από τον πραγματικό κόσμο στοδισδιάστατο επίπεδο χαρτιού –μολυβιού καθώς και

(β) την ικανότητα να οδηγηθούν σε διαδικασίες πουαπαιτούν υψηλότερο επίπεδο αφαιρετικότητας (Drijvers, 1999). Επιπλέον θα διερευνηθεί η ικανότητατων μαθητών για μια ενσωματωμένη άποψη των μαθηματικών στο πρόγραμμα σπουδών, αλλά και ηευελιξία να συνδέσει υπο-περιοχές του προγράμματος σπουδών στα μαθηματικά ή μεταξύ μαθηματικώνκαι διαφορετικών επιστημονικών πεδίων (π.χ φυσική).

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Σημείωση:

Το κείμενο περιέχει αποσπάσματα των εργασιών στη συνέχεια. Η επιλογή του κειμένου και των πολυμέσων

έγινε από τη Δρ. Σ.Πατσιομίτου

Πατσιομίτου, Σ. (2011). Θεωρητικό σύρσιμο. Μη γλωσσική εγγύηση στην ανάπτυξη δυναμικών εννοιών από τους μαθητές. 28^ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΜΕ, σσ.562-574, Μαθηματικό Τμήμα Πανεπιστημίου Αθηνών.

https://www.academia.edu/3544047/_._

Πατσιομίτου, Σ. (2012) Διδακτικές Προτάσεις: Τα Μαθηματικά στον Πραγματικό Κόσμο . Αυτό έκδοση ISBN 978-960-93-4456

Πατσιομίτου, Σ. (2013) Οι μοντελοποιήσεις προβλημάτων πραγματικού πλαισίου σε δυναμικό περιβάλλον μέσο αποκωδικοποίησης της εννοιολογικής γνώσης των μαθητών. Ευκλείδης Γ΄, (79), 107-136.

https://www.academia.edu/5232266/_

Από την αρχαιότητα ακόμη τα μαθηματικά και η μουσική αλληλεπιδρούν μεταξύ τους

και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας…

Οι ρίζες των ελληνικών επιστημών της ακουστικής και των αρμονικών φτάνουν στον 5ο π.Χ. αιώνα, ίσως ως και τον 6ο. Ο φιλόσοφος Πυθαγόρας , γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς Οι έρευνές των Πυιαγόρειων πάνω στις αρμονικές προέκυψαν από την πεποίθηση ότι το σύμπαν βρίσκεται σε τάξη, ότι η τελειότητα της ανθρώπινης ψυχής εξαρτάται από αυτή την αντίληψη και την προσαρμογή του ανθρώπου στην τάξη αυτή και, τέλος, ότι το κλειδί για την κατανόηση της φύσης του σύμπαντος είναι ο αριθμός.

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Ο Πυθαγόρας λοιπόν, μαζί με τους μαθητές του εντρύφησε στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο. Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο καθώς ήταν ξεκάθαρο ότι τα μαθηματικά «κυβερνούν» τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής

Για τους περισσότερους «Πυθαγόρειους» συγγραφείς, η μελέτη των νοτών είναι μέρος μιας πολύ μεγαλύτερης μελέτης και σχεδιάστηκε για να δείξει πώς οι ίδιες αρχές διέπουν τις αρμονικές σχέσεις μεταξύ των στοιχείων όλων των σημαντικών δομών στον κόσμο.

Πολλοί να συσχέτιζαν τη λέξη «αρμονία» με τη συμμετρική διάταξη που εμφανίζουν οι μουσικοί φθόγγοι μέσα στα όρια της οκτάβας, με αποτέλεσμα η αρμονία να φθάσει να χρησιμοποιείται ως συνώνυμο του «τρόπου», δηλαδή της κλίμακας.

Πυθαγόρας, λένε, ανακάλυψε τη θεωρία της μουσικής. Αυτός και οι μαθητές του οδήγησαν την προσοχή τους στο γεγονός ό τι τα μουσικά διαστήματα μπορούν να εκφρασθούν ως αριθμητικοί λόγοι και ότι τα σύμφωνα διαστήματα εκφράζονται από λόγους, των οποίων οι όροι είναι πολύ μικροί αριθμοί, π.χ. 2:1.Στους Πυθαγορείους αποδίδεται η διαίρεση της οκτάβας σε μια τετάρτη και μια πέμπτη, η κατασκευή της κλίμακας με τη χρήση του τόνου (9:8) και η ανακάλυψη του «πυθαγορείου κόμματος», που είναι η διαφορά 12πέμπτων από 7 οκτάβες. Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της.

Άλλωστε κατά τον Πρόκλο, οι Πυθαγόρειοι χώριζαν την επιστήμη των μαθηματικών σε τέσσερις κατηγορίες: την Αριθμητική, τη Μουσική, τη Γεωμετρία και την Αστρονομία. Εν κατακλείδι, οι έρευνες που αφορούν την σχέση μεταξύ μαθηματικών και μουσικής φαίνεται να δείχνουν ότι η μουσική ενισχύει τις δεξιότητες στα μαθηματικά καθώς στοχεύει σε μια συγκεκριμένη περιοχή του εγκεφάλου για την τόνωση της χρήσης της χωροχρονικής λογικής, η οποία είναι χρήσιμη για την μαθηματική σκέψη.

Βιβλιογραφία

http://www.musicheaven.gr/html/modules.php?name=News&file=article&id=432#ixzz30eqAiKOr

http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_gaitani.antonia.pdf

http://fridge.gr/60582/stiles/mousiki-mathimatika/

                                                                                                   Ιωάννα Κολέα, Α1

∆εν είναι λίγες οι φορές που κάποιος ζωγράφος προσπάθησε να αναπαραστήσει κάποιες µαθηµατικές ιδέες. Χαρακτηριστικά παραδείγµατα τέτοιων καλλιτεχνών που επηρέασαν βαθύτατα την εποχή τους είναι ο Da Vinci της Αναγέννησης, o σουρεαλιστής Dali, και o κυβιστής Picasso. Ο καθένας τους σε κάποιο βαθµό χρησιµοποίησε σκόπιµα ή άθελα του κάποιες µαθηµατικές ιδέες όπως ο λόγος της χρυσής τοµής, ο τετραδιάστατος χωροχρόνος και οι µη ευκλείδειες γεωµετρίες.

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

∆εν θα πρέπει, όµως, κανείς να παραλείψει από τον κατάλογο των ανθρώπων που συνδύασαν τις εικαστικές τέχνες µε τα µαθηµατικά τον Vassarely (πρόδροµος της Οπ Αρτ) ή του επίσης σουρεαλιστή Magritte.

Αν και πολλά από τα έργα των παραπάνω καλλιτεχνών είναι συνδυασµένα µε τα µαθηµατικά είναι δύσκολο να θεωρήσουµε ότι κάποιος από αυτούς συνειδητά και κατ” επανάληψη ενσωµάτωνε στοιχεία µαθηµατικών στα έργα του, κάτι που φαίνεται να έκανε ο Ολλανδός Maurits Cornelis Escher. Ο Escher γεννήθηκε το 1898 και πέθανε το 1972. Κατά τη διάρκεια της ζωής του έζησε σε διάφορες χώρες της δυτικής Ευρώπης (Ιταλία, Ελβετία, Ολλανδία). Σηµείο αναφοράς για την εξέλιξη του ως καλλιτέχνη αποτέλεσε η επίσκεψη του στο παλάτι της Αλάµπρα στη Γρανάδα της Ισπανίας, το οποίο οι Μαυριτανοί κατακτητές φρόντισαν να διακοσµήσουν µε πανέµορφα καλλιτεχνήµατα χρησιµοποιώντας και τις 17 δυνατές συµµετρίες. Τα έργα του Escher είναι κυρίως χαρακτικά (λιθογραφίες, ξυλοτυπίες, χαλκογραφίες).

Τέλος, θα ήταν παράλειψη να µην επισηµάνουµε ότι ο Escher υπήρξε ένας καλλιτέχνης µε έντονες φιλοσοφικές ανησυχίες. Στα έργα του ο θεατής παρατηρεί τη συνεχή εναλλαγή έµψυχου και άψυχου, αλλά και την µετατροπή της µιας µορφής ζωής σε άλλη (τα ψάρια γίνονται πουλια, τα πουλιά µετατρέπονται σε χωράφια κ.τ.λ.). Αποκορύφωµα όλων αυτών είναι το «Μάτι» ένα έργο στο οποίο ο θεατής αντικρύζει στην κόρη του µατιού τον θάνατο, ένα έργο που σοκάρει, αλλά ταυτόχρονα προβληµατίζει.

Πηγές:

http://alikos.blogspot.gr/2011/12/escher.html

http://eclass.sch.gr/modules/document/

Το άρθρο και την  επεξεργασία των εικόνων του Escher έκανε η  

                                                                                                                  Δεληβοριά Δήμητρα, B1

Έτσι :

Η µονάδα, η οποία περιέχει το άπειρο, συµβολίζει το Θεό.

Η δυάδα παριστάνει την ένωση του αιώνιου -αρσενικού και του αιώνιου- θηλυκού.

Η τριάδα δηλώνει 3 οµόκεντρους κύκλους ή κόσµους του σύµπαντος, το Φυσικό, το Ανθρώπινο και τον Θεό. Η τριάδα αυτή βρίσκεται παντού µέσα στη φύση καθώς και στον άνθρωπο, ο οποίος αποτελείται από σώµα – ψυχή – πνεύµα.

Η δεκάδα, το άθροισµα δηλαδή των αριθµών (1+2+3+4), πάνω στην οποία ορκίζονταν οι Πυθαγόριοι.

Η σηµερινή Αριθµολογία είναι βασισµένη στους νόµους και στα διδάγµατα του Πυθαγόρα και έχει διαµορφώσει την εικόνα της µέσα από την εξέλιξη του πολιτισµού.

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Αρµονία ουρανίων σφαιρών

Ο Πυθαγόρας από τη Σάµο, ο µεγάλος φιλόσοφος, µαθηµατικός, γεωµέτρης και µουσικός, µαζί µε τους µαθητές τους, θεµελίωσε τη θεωρία των αριθµών.
Ανακάλυψαν τις αρµονικές σχέσεις των αριθµών στη µουσική και µε βάση αυτές τις σχέσεις ερµήνευσαν το σύµπαν. Η µουσική για τους Πυθαγόρειους ήταν πάνω απ΄ όλα µαθηµατικά. Η ουσία της ήταν οι αριθµοί και η οµορφιά της η έκφραση των αρµονικών σχέσεων των αριθµών. Η µουσική ήταν ακόµα η εικόνα της ουράνιας αρµονίας. Ο Πυθαγόρας έλεγε, ότι οι πλανήτες καθώς περιστρέφονται παράγουν διάφορους µουσικούς ήχους, που δεν τους ακούµε <<αρµονία των σφαιρών>>. Μετά από τόσα χρόνια, οι σύγχρονοι επιστήµονες
έχουν αποδείξει ότι όλα όσα έλεγε ο Πυθαγόρας πράγµατι ισχύουν. Στο τέλος ο Πυθαγόρας είχε φτάσει σε τέτοιο σηµείο, ώστε να ακούει τη
συµφωνία του ουρανού, τη µουσική των ουράνιων σφαιρών.

Ιστότοποι:

http://www.astro.gr/kipouros/numbers/number2.htm

http://apollonionfos.forumotion.net/t38-topic

http://eleysis69.wordpress.com

                                                                                                   Γιώργος Παπαθανασίου, Β1