Γράφει η   Δρ. Σταυρούλα Πατσιομίτου 

Ο μετασχηματισμός είναι μια λειτουργία    (operation) κατά την οποία: α) κάθε σημείο στο αρχικό αντικείμενο έχει ένα μοναδικό σημείο είδωλο και β) κάθε σημείο στο είδωλο-αντικείμενο είναι το είδωλο μόνο ενός σημείου (Coxford & Usiskin, 1975, p. 1). Σύμφωνα με τον Klein (1896) «η γεωμετρία πρέπει να εξεταστεί ως μελέτη των ιδιοτήτων του χώρου που είναι αμετάβλητες κάτω από ένα σύνολο μετασχηματισμών». Η γεωμετρία μετασχηματισμών των μικρόκοσμων έχει βασιστεί στον ορισμό της γεωμετρίας του Klein, σύμφωνα με τον οποίο οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων παραμένουν αμετάβλητες.

Στο τεύχος αυτό θα εξετάσουμε τα αποτελέσματα των μετασχηματισμών μαθηματικών αντικειμένων τα οποία μπορούμε να οπτικοποιήσουμε μέσω των επιστρώσεων επιπέδου. Στόχος μας είναι οι μετασχηματισμοί στο οπτικό επίπεδο να προκαλέσουν το μετασχηματισμό των διατυπώσεων των μαθητών και την ανάπτυξη του επιπέδου της γεωμετρικής τους σκέψης (Πατσιομίτου, 2012)

ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;

Η αγγλική λέξη για τις πλακοστρώσεις, tessellation, προέρχεται από τη λέξη tessellate σύμφωνα με τον Steven Schwartzman (1994) προέρχεται από την ελληνική λέξη τέσσερα. Τα πρώτα πλακίδια που χρησιμοποιούνταν για τις πλακοστρώσεις (κατασκευές μωσαϊκών) ήταν κατασκευασμένα από μικρά τετράγωνα ή κυβικά κομμάτια πέτρας. Δεδομένου ότι ένα μωσαϊκό καλύπτεται πλήρως από τέτοια κομμάτια η γεωμετρική σημασία της λέξης tessellation είναι «η επικάλυψη του επιπέδου με σχήματα με τέτοιον τρόπο ώστε να καλύπτουν το επίπεδο, χωρίς να αφήνουν κενά ή να επικαλύπτει το ένα σχήμα το άλλο». Παρόμοια ερμηνεία έχει η λέξη tiles (πλακίδια) και η λέξη tiling (επίστρωση με πλακίδια). Η επίστρωση με πλακίδια χρησιμοποιεί και αυτή σχήματα που μπορούν να επαναληφθούν στο επίπεδο χωρίς να αφήσουν κενά ή να επικαλύπτουν το ένα το άλλο. Μια ειδική περίπτωση επίστρωσης με πλακίδια είναι τα επαναλαμβανόμενα πλακίδια (στα αγγλικά rep-tiles, που είναι συντόμευση του replicating tiles).

Η τέχνη των πλακοστρώσεων έχει αναπτυχθεί από την αρχαιότητα μέχρι και σήμερα. Οι άνθρωποι ενδιαφέρθηκαν για τα πρότυπα τόσο στο χώρο όσο και στο επίπεδο από την εποχή των Πυθαγορείων, οι οποίοι ανακάλυψαν ότι υπάρχουν πέντε κανονικά στερεά, δηλαδή το τετράεδρο, ο κύβος, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. Συνδεδεμένα με το όνομα του Πλάτωνα (427-348 π.Χ.) είναι τα Πλατωνικά στερεά, δηλαδή τα κυρτά στερεά που χρησιμοποίησε προκειμένου να απεικονίσει τα τέσσερα βασικά στοιχεία του σύμπαντος: τη γη, τη φωτιά, το νερό και τον αέρα. «Τα πλατωνικά στερεά δεν είναι άλλα από τα κυρτά στερεά που οριοθετούνται από ίσα κανονικά επίπεδα πολύγωνα. Ίσα κανονικά επίπεδα πολύγωνα που μπορούν να σχηματίσουν κυρτά στερεά είναι μόνον τρία: το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό πεντάγωνο. Τα δυνατά κυρτά στερεά που μπορούν να σχηματιστούν από αυτά είναι ακριβώς πέντε, δηλαδή το κανονικό τετράεδρο, ο κύβος, το κανονικό οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο […] Έτσι η γη αποτελείται από στοιχειώδεις κύβους, το ύδωρ από στοιχειώδη κανονικά εικοσάεδρα, ο αήρ από στοιχειώδη κανονικά οκτάεδρα και το πυρ από στοιχειώδη κανονικά τετράεδρα» (Αναπολιτάνος, 1985). Ο Ευκλείδης (300 π.Χ.) αναφέρει τους τύπους των κανονικών στερεών στο 13^ο βιβλίο των Στοιχείων του.

Τα μαθηματικά από την αρχαιότητα μέχρι και σήμερα παίζουν σημαντικό ρόλο στην τέχνη της πλακόστρωσης όπως και στις διάφορες μορφές τέχνης (Φίλη, 2000). Μολονότι τα μαθηματικά και η τέχνη είναι δυο διαφορετικά διακριτά πεδία, πολλά θέματα των μαθηματικών έχουν χρησιμοποιηθεί από καλλιτέχνες κατά καιρούς. Όταν αναφερόμαστε σε tessellations, στο νου μας έρχεται το όνομα του Escher. Ο Escher (1898-1972) χωρίζοντας το επίπεδο με κυματιστές σειρές πουλιών, ψαριών κ.ά. δημιούργησε εκπληκτικής ομορφιάς σχέδια που βασίζονται στους νόμους της συμμετρίας, της θεωρίας συνόλων, της προοπτικής, της τοπολογίας, της κρυσταλλογραφίας (Τουμάσης και Αρβανίτης, 2002).

Σύμφωνα με τους Τουμάση και Αρβανίτη (2002) «Ένας από τους ευρύτερους στόχους της διδασκαλίας της γεωμετρίας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση είναι να προσφέρει την ευκαιρία στους μαθητές να βιώσουν τη δημιουργική αλληλεπίδραση μεταξύ μαθηματικών και τέχνης».

Στη συνεχεία θα παρουσιάσουμε κάποιες διαδικασίες που οδήγησαν στην κατασκευή των εργασιών των μαθητών. Οι εργασίες δημιουργήθηκαν με χρήση του Geometer’s Sketchpad, ή Geogebra και του μενού «μετασχηματισμός» ή σε στατικά μέσα [κατασκευές με κανόνα και διαβήτη], κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς 2013-14 στα πλαίσια του Ομίλου Μαθηματικής Σκέψης -Θεματική για τα Fractals -μετασχηματισμούς που είχα την ευθύνη. Ακόμα, τα αναπτύγματα Πλατωνικών και Αρχιμήδειων στερεών αλλά και πρωτότυπες κατασκευές όπως αυτή της εικόνας [ανάπτυγμα τετραέδρου και επιστρώσεις με επαναλαμβανόμενα πλακίδια στις έδρες] επάνω η οποία απαίτησε πολύ χρόνο, εκμάθηση κάτω από καθοδήγηση και επίβλεψη. Στην κάτω εικόνα παρουσιάζονται ενδεικτικά στιγμιότυπα από την ομαδοσυνεργατική διδασκαλία με την οποία διεξήχθη η διδασκαλία.

Οι ιδέες περιέχονται στο βιβλίο Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4vπου αναφέρεται στη βιβλιογραφία. Μπορούμε να αξιοποιήσουμε αυτές τις ιδέες για να κατασκευάσουμε δημιουργικές εργασίες στα πλαίσια του μαθήματος της γεωμετρίας στο Γυμνάσιο ή στο Λύκειο. Το σημαντικό είναι ότι με τις δραστηριότητες αυτού του είδους θα κάνουμε τέχνη μέσα από τη γεωμετρία, θα συνδέσουμε δηλαδή τα μαθηματικά με τον πραγματικό, εξωμαθηματικό κόσμο και να αντιληφθούμε ότι τα μαθηματικά είναι ένα μέσο για τη ανάπτυξη του πολιτισμού.

Βιβλιογραφία:

Το κείμενο είναι απόσπασμα του κειμένου που περιέχεται στη μονογραφία

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Α . ISBN:978-960-461-308-3

Πατσιομίτου, Σ (2012). Η ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης μέσα από τη χρήση αλληλεπιδραστικών τεχνικών και μετασχηματισμών σε υπολογιστικό περιβάλλον: Συνδεόμενες Οπτικές Ενεργές Αναπαραστάσεις. Αδημοσίευτη Διδακτορική Διατριβή. Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. (Δεκέμβριος 2012)

https://uoi.academia.edu/StavroulaPatsiomitou/FRACTAL’S-GROUP-(-OMILOS)
http://eclass.sch.gr/courses/G10110/index.php
http://eclass.sch.gr/modules/course_description/?course=G10110
http://eclass.sch.gr/modules/announcements/announcements.php?course=G10110