• Κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο  [με τη βοήθεια ενός κατάλληλου αρχείου εντολών ή όχι]

Επιλέγουμε τις πλευρές και από το μενού  construct – midpoint (κατασκευή μέσου) κατασκευάζουμε τα μέσα των πλευρών. 

Επιλέγουμε τα Α,Ι,Κ και από το μενού construct–interior κατασκευάζουμε το εσωτερικό του  τριγώνου.

• Επιλέγουμε το τρίγωνο ΑΙΚ και από το μενού Μeasure >>Αrea (perimeter) μετράμε το εμβαδόν (ή την περίμετρο). Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία για τα τρίγωνα ΒΙΛ , KΛΓ (ενώ αλλάζουμε τα χρώματα όπως στο σχήμα). Επιλέγουμε τα Α, Β και από το μενού  transform –iterate (μετασχηματίζω-επαναλαμβάνω) αντιστοιχούμε τα σημεία Β,Γ στα Ι,Λ αντίστοιχα. Οι αρχικές μετρήσεις οδηγούν στην εμφάνιση ενός πίνακα του οποίου τα δεδομένα είναι οι μετρήσεις  των εμβαδών και των πλευρών  στις διαδοχικές επαναλήψεις των τριγώνων  του σχήματος.  Η αντιγραφή και επικόλληση του πίνακα του Sketchpad σε φύλλο στο  Excel μας δίνει μεγαλύτερη ευχέρεια στους υπολογισμούς .

• Αν  επιλέξουμε τον πίνακα και με δεξί κλικ επιλέξουμε plot table data (αποτύπωση δεδομένων πίνακα ) παίρνουμε  μια γραφική παράσταση της ακολουθίας  ενώ από το menu-measure-coordinates με επιλογή των σημείων έχουμε τις ακριβείς θέσεις των σημείων. Αυτό έχει σαν συνέπεια ο μαθητής να μπορεί να διαπιστώσει άμεσα τις θέσεις των σημείων του πίνακα στην γραφική παράσταση και επομένως το περιβάλλον του λογισμικού να λειτουργεί ως περιβάλλον πολλαπλών αναπαραστάσεων, οι οποίες   λειτουργούν συμπληρωματικά ενώ  έχουν την δυνατότητα να διευκολύνουν την μάθηση των εννοιών του ορίου και της ακολουθίας (Πατσιομίτου ,2005)

• Αν κάνουμε  zoom με το dilate tool  στο κέντρο του σχήματος οι μαθητές μπορούν να διαπιστώσουν (εξαρτώμενο από το πλήθος των iterations που έχουμε κάνει) ότι η κατασκευή επαναλαμβάνεται και το σχήμα ως fractal τους οδηγεί να κατανοήσουν  μια χαρακτηριστική ιδιότητα των fractal αντικειμένων την  αυτοομοιότητα .
• Αν αλλάξουμε τον τρόπο κατασκευής της σπείρας  δηλαδή κατασκευάσουμε  ισόπλευρο τρίγωνο ABΓ  και από τις κορυφές του φέρουμε παράλληλες προς τι απέναντι πλευρές του τότε το σχήμα  ΔΕΖ  που προκύπτει  είναι πάλι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Η  εφαρμογή της διαδικασίας transform-iteration  με pre-image τις κορυφές του αρχικού ισοπλεύρου και first-image τις κορυφές του ισοπλεύρου που μόλις κατασκευάσαμε δίνει σαν αποτέλεσμα την κατασκευή μιας αύξουσας ακολουθίας εμβαδών (ή περιμέτρων). Ακόμα οι παρατηρήσεις των μαθητών μέσα από το zoom αλλά και τις μετρήσεις ,  μπορούν να τους οδηγήσουν στην απόκτηση μιας ισχυρής διαίσθησης σχετικά με  το άπειρο και τα απειροελάχιστα (Πατσιομίτου ,2005) . 

Σημείωση: Το αρθρο είναι απόσπασμα των παρακάτω εργασιών που αναφέρονται στις βιβλ. αναφορές. Η επιμέλεια του άρθρου και η επιλογή των πολυμέσων έγινε από τη Δρ. Σ.Πατσιομίτου

Βιβλιογραφικές αναφορές

Σταυρούλα Πατσιομίτου (2005) Τα fractals ως πλαίσιο κατανόησης  ακολουθίας και ορίων μέσω της έννοιας τω εμβαδών σε περιβάλλον βασισμένο στο δυναμικό χειρισμό μαθηματικών αντικειμένων. Διπλωματική εργασία Διαπανεπιστημιακού Μεταπτυχιακού Προγράμματος Πανεπιστημίου Αθηνών και Πανεπιστημίου Κύπρου.

http://www.math.uoa.gr/me

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Β. ISBN:978-960-461-309-0

Πατσιομίτου, Σ. (2007)  Το τρίγωνο του Sierpinski, H σπείρα  Baravelle και το Πυθαγόρειο δέντρο. Το Geometer’s Sketchpad v4 στην διαδικασία κατασκευής Fractals με στόχο την κατασκευή εννοιών. Πρακτικά 4ου Πανελλήνιου Συνεδρίου ΤΠΕ με τίτλο: «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη διδακτική  πράξη», σσ.28-37, Σύρος, 4-6 Μαΐου 2007

https://www.academia.edu/3540358/_Sierpinski_H_Baravelle_._Geometers_Sketchpad_v4_Fractals_

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Το σχήμα του τριγώνου Sierpinki πρωτο εμφανίστηκε στον Καθεδρικό Ναό του Ravello (τον 12ο αιώνα).[εικόνα κάτω]

Σχήμα 1

Αν Νn είναι ο αριθμός μαύρων τριγώνων μετά από την ν-οστη επανάληψη , Ln το μήκος μιας πλευράς ενός τριγώνου, και An το κλασματικό εμβαδόν που παραμένει μετά από την ν-οστη επανάληψη αφαίρεσης του εσωτερικού τριγώνου, τότε:

(Wolfram 1984; Borwein and Bailey 2003, p. 46)

Για  την κατασκευή του τριγώνου του Sierpinski ακολουθούμε τα εξής βήματα.

• Επίπεδο 0: Κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο
• Ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του και αφαιρούμε το εσωτερικό τρίγωνο που σχηματίζεται,έτσι προκύπτει το  επόμενο επίπεδο (επίπεδο 1).
• Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία σε κάθε ένα από τα τρία τρίγωνα που σχηματίζονται και οδηγοιύμαστε στο επόμενο επίπεδο (επόπεδο 2).
• Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία σε κάθε τρίγωνο του επιπέδου 2 κ.ο.κ.

Σχήμα 2

Το τρίγωνο Sierpinski με τη βοήθεια λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας

Η βασική εργαλειοθήκη των λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας περιλαμβάνει  εργαλεία για κατασκευή τμημάτων, κύκλων , γραμμών κ.α.  Τόσο το Cabri ΙΙ (macros), Geogebra όσο και το Sketchpad (scripts, custom tools) έχουν την προηγμένη δυνατότητα, της προσθήκης  στην εργαλειοθήκη νέων εργαλείων και της επαναχρησιμοποίησης τους στις κατασκευές εύκολα και αποτελεσματικά (Straesser ,2003). Για να δημιουργήσουμε ένα νέο εργαλείο, δημιουργούμε αρχικά την γενική κατασκευή που θέλουμε να καθορίσουμε ως εργαλείο. Αυτή η κατασκευή θα χρησιμεύσει και ως o «ορισμός» για τη δημιουργία του εργαλείου. Στο Sketchpad (version 4) για να δημιουργήσουμε την κατασκευή χρησιμοποιούμε οποιαδήποτε διαθέσιμα εργαλεία και εντολές από το menu-Construct, Transform , Measure, and Graph.  Έτσι μας επιτρέπεται να εμπλουτίσουμε το μαθηματικό λεξιλόγιο του λογισμικού με τόσες νέες διαδικασίες όσες και επιθυμούμε. Το custom tool μπορεί να περιλαμβάνει ακόμα και action buttons που απαιτούνται για την κατασκευή, ενώ δημιουργούν μαθηματικά αντικείμενα -αποτελέσματα άλλων δεδεομένων αντικειμένων. Αν για παράδειγμα κατασκευάσουμε την μεσοκάθετο ευθ. τμήματος και την αποθηκεύσουμε ως εργαλείο custom tool   έχουμε στη συνέχεια τη δυνατότητα κατασκευής του περικέντρου με τρεις επαναλήψεις  του εργαλείου . H αποθήκευση στην εργαλειοθήκη μπορεί να γίνει μέσα από το Create New Tool. To νέο εργαλείο που κατασκευάζουμε λειτουργεί πλέον αυτόματα όταν το επιλέξουμε από την εργαλειοθήκη, χωρίς να χρειάζεται να εμφανίσει τα ενδιάμεσα σημεία κατασκευής. Αυτό όχι μόνο  μπορεί να οδηγήσει σε συνθετότερες κατασκευές αλλά οδηγεί σε υψηλότερα επίπεδα αφαίρεσης  (Πατσιομίτου,2005, 2006). 

Για την κατασκευή του τριγώνου Sierpinski

Ανοίγουμε ένα νέο αρχείο στο Sketchpad v4. Η κατασκευή θα γίνει αρχικά σε ισόπλευρο τρίγωνο ώστε οι μαθητές να διαπιστώσουν κάποιες κανονικότητες στο σχήμα ενώ προτείνεται να ακολουθήσουν τα παρακάτω βήματα.

1^ο βήμα :

Πως κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο: επιλέγουμε το ευθύγραμμο τμήμα  από την εργαλειοθήκη του λογισμικού και κατασκευάζουμε με αυτό ευθ. τμήμα ΒΓ

• Επιλέγουμε το Β και το τμήμα ΒΓ ταυτόχρονα και από το μενού  construct –circle by center and radius (κατασκευή κύκλου από κέντρο και ακτίνα). Ομοίως για το σημείο Γ .  Για να βρούμε τα σημεία τομής επιλέγουμε τους κύκλους και από το μενού  construct –intersection  (κατασκευή σημείου τομής). Αν  Α το σημείο τομής των δυο κύκλων το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο 
• Επιλέγουμε τους κύκλους και το δεύτερο σημείο τομής. Από το μενού display- hide objects (κρύψε τα αντικείμενα).  

2^ο βήμα :Πως μπορούμε να φτιάξουμε  ένα αρχείο εντολών που θα  κατασκευάζει ένα ισόπλευρο επαναλαμβανόμενες φορές; Επιλέγουμε το ισόπλευρο τρίγωνο που μόλις κατασκευάσαμε και  από το μενού edit –select all (επιλογή όλων). Στην συνέχεια create new tool (δημιουργία νέου εργαλείου) και στο εικονίδιο που εμφανίζεται γράφουμε το όνομα του αρχείου «ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ». Αν δοκιμάσουμε το εργαλείο μας σε δυο διαφορετικά σημεία στην οθόνη διαπιστώνουμε ότι επαναλαμβάνεται το ισόπλευρο τρίγωνο πάντα εξαρτώμενο από το μήκος του αρχικού τμήματος κατασκευής. Για να δούμε τα βήματα του εργαλείου επιλέγουμε   show script view και από το  εικονίδιο  βλέπουμε τα διαδοχικά βήματα του τρόπου με τον οποίο  κατασκευάσαμε το ισόπλευρο.

Στη συνέχεια προτείνονται κάποια διερευνητικά βήματα κατασκευής :

Συνδέστε τα μέσα της κάθε πλευράς από το μενού Construct –midpoint. Πόσα ισόπλευρα τρίγωνα τώρα έχετε; Μπορείτε να  επιβεβαιώσετε το συμπέρασμα σας χρησιμοποιώντας  το αρχείο εντολών του ισοπλεύρου που μόλις κατασκευάσατε ; 

Σχήμα 3

3^ο βήμα :     Κατασκευάστε  τρίγωνο και  αλλάξτε την θέση της κορυφής . Πόσα τρίγωνα με την κορυφή προς τα πάνω  και πόσα τρίγωνα με την κορυφή προς τα κάτω περιέχονται στα αρχικά τρίγωνα.  Γράψτε τις παρατηρήσεις σας.

Από το construct-triangle interior χρωματίστε όλα τα τρίγωνα εκτός του τριγώνου στο κέντρο . Μετρήστε το  εμβαδόν του τριγώνου του σχήματος 4 και το εμβαδόν του καθενός μπλε τριγώνου. Υπολογίστε τους λόγους εμβαδών [π.χ του εμβαδού του αρχικού τριγώνου προς το μπλέ τρίγωνο]. Τι διαπιστώνετε; Αν το αρχικό εμβαδόν είναι 1 μπορείτε να εκφράσετε το  κλασματικό του μέρος του μπλε τριγώνου σε σχέση με το   αρχικό τρίγωνο;

Σχήμα 4

4^ο βήμα : Κατασκευάστε ένα εργαλείο που να επαναλαμβάνει την προηγούμενη κατασκευή (με τους υπολογισμούς εμβαδών) και στην συνέχεια επαναλάβετε την στα μέσα του αρχικού τριγώνου .

Τι παρατηρείτε ; Ποια είναι η σχέση των εμβαδών των τριγώνων που προκύπτουν σε σχέση με το αρχικό;Αν το εμβαδόν του μπλέ τριγώνου είναι ίσο με 1 τετραγ. μονάδα  πόσο είναι το εμβαδόν του λευκού μέρους . Αν το εμβαδόν του  αρχικού τριγώνου είναι 1 να εκφράσετε το  κλασματικό μέρος  του μπλε τριγώνου σε σχέση με το   αρχικό  τρίγωνο .

 Σχήμα 5 

5ο βήμα:

 Στον παρακάτω πίνακα να τοποθετήσετε τον αριθμό των μπλέ τριγώνων που σχηματίζονται σε κάθε βήμα

Πως αυξάνεται ο αριθμός των  μπλέ  τριγώνων κάθε βήματος ;

Ανακαλύψτε έναν κανόνα (pattern) ώστε να  προβλέψετε τον αριθμό των  μπλέ τριγώνων του 4^ου , 5^ου  και ν^ου βήματος ………………………………………………………………………………………………

 6ο βήμα

Στον παρακάτω πίνακα να τοποθετήσετε το εμβαδόν  των μπλέ τριγώνων που σχηματίζονται σε κάθε βήμα

Τι σχέση υπάρχει ανάμεσα στα εμβαδά  των  μπλέ  τρίγωνων κάθε βήματος ;

Πως προκύπτει ο αριθμός του εμβαδού του 2^ου βήματος ;

Μπορείτε να ανακαλύψετε   έναν κανόνα (pattern)  ώστε να  προβλέψετε το εμβαδόν των  μπλέ τριγώνων του 4^ου , 5^ου  και ν^ου βήματος  ;

………………………………………………………………………………………………

Στον παρακάτω πίνακα να τοποθετήσετε την περίμετρο   των μπλέ τριγώνων που σχηματίζονται σε κάθε βήμα

Τι σχέση υπάρχει ανάμεσα στις περιμέτρους των  μπλέ τριγώνων κάθε βήματος ;

Πως προκύπτει ο αριθμός της περιμέτρου του 2^ου βήματος ;

Μπορείτε να ανακαλύψετε  έναν κανόνα (pattern)  ώστε να  προβλέψετε την περίμετρο  των  μπλέ τριγώνων του 4^ου , 5^ου  και ν^ου βήματος  

  Κατασκευή και εφαρμογή του Sierpinski σε πυραμίδα

Κατασκευάζουμε αρχικά ένα τυχαίο τρίγωνο   και στην συνέχεια τα μέσα των πλευρών του Ονομάζουμε τα σημεία των κορυφών του τριγώνου και τα μέσα των πλευρών του. Στην συνέχεια επιλέγουμε τα σημεία Α,Β,C και από το μενού transform-iterate αντιστοιχούμε  τις κορυφές του αρχικού τριγώνου με τις κορυφές του  τρίγωνου DBF. Από  το Structure κατασκευάζουμε και ένα δεύτερο mapping των ίδιων σημείων. Στο σχήμα 10   βλέπουμε μια προ-εικόνα του τριγώνου του Sierpinski όπως έχει ήδη εμφανιστεί στην οθόνη μας .Αν επιλέξουμε το σχήμα και (+) το σχήμα αυξάνει τις υποδιαιρέσεις , ενώ αν επιλέξουμε το( –) τις μειώνει . 

Εφαρμογή της κατασκευής: Κατασκευάζουμε  μια πυραμίδα και εφαρμόζουμε  στις πλευρές της το custom tool που  κατασκευάσαμε με τον τρόπο που μόλις αναφέραμε. Οι μαθητές με την περιστροφή του σχήματος ή την αλλαγή προσανατολισμού του ή την αυξομείωση επιπέδων λόγω της διαδικασίας iteration μπορούν να οδηγηθούν σε παρατηρήσεις στο  τρισδιάστατο σχήμα[π.χ σχετικά με τα μέσα των πλευρών των τριγώνων στις έδρες του σχήματος ]

Βιβλιογραφία

To άρθρο περιέχει αποσπάσματα των εργασιών στη συνέχεια. Η συγγραφή του άρθρου και η επιλογή των πολυμέσων έγινε από τη Δρ. Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου (2005) Τα fractals ως πλαίσιο κατανόησης  ακολουθίας και ορίων μέσω της έννοιας τω εμβαδών σε περιβάλλον βασισμένο στο δυναμικό χειρισμό μαθηματικών αντικειμένων. Διπλωματική εργασία Διαπανεπιστημιακού Μεταπτυχιακού Προγράμματος Πανεπιστημίου Αθηνών και Πανεπιστημίου Κύπρου.

http://www.math.uoa.gr/me

Πατσιομίτου, Σ. (2007)  Το τρίγωνο του Sierpinski, H σπείρα  Baravelle και το Πυθαγόρειο δέντρο. Το Geometer’s Sketchpad v4 στην διαδικασία κατασκευής Fractals με στόχο την κατασκευή εννοιών. Πρακτικά 4ου Πανελλήνιου Συνεδρίου ΤΠΕ με τίτλο: «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη διδακτική  πράξη», σσ.28-37, Σύρος, 4-6 Μαΐου 2007

https://www.academia.edu/3540358/_Sierpinski_H_Baravelle_._Geometers_Sketchpad_v4_Fractals_

http://christianhubert.com/writings/fractals.html

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Η μελέτη των αριθμών και των γεωμετρικών σχημάτων και στερεών ήταν ο καταλληλότερος προπομπός για την τελική απελευθέρωση της ανθρώπινης σκέψης από τα δεσμά του εφήμερου αισθητού κόσμου. 

Η μελέτη των αντικείμενων της μαθηματική δραστηριότητας έδινε και δίνει τη εντύπωση άμεσης ενασχόλησης με έναν κόσμο που το βασικό χαρακτηριστικό του είναι η απευθείας νοητική του σύλληψη, χωρίς τ ο διάμεσο της ασθητηριακής αντίληψης. 

Το περίφημο επίγραμμα «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» που λέγεται ότι υπήρχε στην είσοδο της Ακαδημίας του, εκφράζει απόλυτα την πλατωνική εκτίμηση για την μαθηματική δραστηριότητα.

Συνδεδεμένα με το όνομα του Πλάτωνα είναι τα περίφημα Πλατωνικά στερεά. 

Τα πλατωνικά στερεά είναι στερεά που οριοθετούνται από ίσα κανονικά επίπεδα πολύγωνα. 

Ισα κανονικά επίπεδα που μπορούν να σχηματίσουν κυρτά στερεά είναι μόνον τρία: το ισόπλευρο τρίγωνο, το το τετράγωνο και το κανονικό πεντάγωνο.

Τα δυνατά κυρτα στερεά που μπορούν να σχηματιστούν από αυτά είναι ακριβώς πεντε: το κανονικό τετράεδρο, ο κύβος, το κανονικό οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο [στην εικόνα επάνω απεικονίζονται τα αναπτύγματα των στερεών]. 

O αισθητός κόσμος σε αντιδιαστολή με τον κόσμο των Ιδεών, δημιουργήθηκε πάνω σε κάποια ιδεατά πρότυπα. Ο τρόπος και τα υλικά δημιουργίας του αποτελούν ένα από τα βασικά αντικείμενα του πλατωνικού διαλόγου Τίμαιος .

Εκεί ο Πλάτων παρουσιάζει μια κοσμογονία στηριγμένη πάνω σε καθαρά γεωμετρικά στοιχεία. Πιο συγκεκριμένα ισχυρίζεται πώς οτιδήποτε αισθητό αποτελείται από κάποιον ποικίλλοντα συνδυασμό τεσσάρων βασικών στοιχειωδών υλικών, τα οποία είναι: ΠΥΡ, ΑΗΡ, ΥΔΩΡ, και ΓΗ. 

Με τη σειρά του τα υλικά αυτά δεν είναι απλά αλλά σύνθετα. Συντίθενται από τεσσάρων ειδών στοιχειώση πλατωνικά στερεά. Η γη αποτελείται από στοιχεώδεις κύβους, το ύδωρ από στοιχειώδη κανονικά εικοσάεδρα, ο αήρ από στοιχειώδη κανονικά οκτάεδρα και το πυρ απο στοιχειώση κανονικά τετράεδρα.

Τον Μεσαίωνα προστέθηκε από τους αλχημιστές σαν πέμπτο στοιχείο ο αιθέρας,ο  οποίος αποτελέιται απο κανονικά δωδεκάεδρα,  σχήμα που οριοθετεί όλο το σύμπαν. 

Σημείωση

Το άρθρο είναι απόσπασμα της ενότητας 1.3 «Τα πλατωνικά στερεά» της μονογραφίας «Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών» (Εκδόσεις Νεφέλη)  (Αναπολιτάνος,  1985, σελ. 46-52).

http://www.pbs.org/wgbh/nova/blogs/physics/2011/12/beautiful-losers-platos-geometry-of-elements/

H επιλογή του κειμένου και των πολυμέσων, [και η διαμόρφωσή τους] έγινε από τη Δρ. Σ.Πατσιομίτου

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Αν χρησιμοποιήσουμε αυτό το σχήμα για να επαναλάβουμε τη διαδικασία κατασκευής της οπτικής απόδειξης θα οδηγηθούμε σε μια δομή fractal, όπου η δομή του σχήματος ακολουθιακά και σε σμίκρυνση παραμένει η ίδια όπως συνεχίζει η κατασκευή. Ακόμα στην ακολουθιακή διαδικασία το σχήμα μοιάζει να περιστρέφεται για να δημιουργήσει τους κλάδους του αρχικού ‘δέντρου’. Έτσι δημιουργούνται επαναλήψεις της αρχικής δομής, διακλαδιζόμενες Πυθαγόρειες οπτικές αποδείξεις που όμως συνεχώς οδηγούν σε μικρότερα σχήματα κατασκευαστικά. Συνεπώς και υπολογιστικά τα μεγέθη θα μειώνονται συνεχώς. Ποια θα είναι η τελική τιμή του εμβαδού του τετραγώνου στο άκρο κάθε κλάδου;

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Tο λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Geometer’s Sketchpad περιλαμβάνει το φάκελο ‘Δείγματα’ στον οποίο περιέχεται ο υποφάκελος ‘Γεωμετρία’, μέσα στον οποίο περιέχεται η φράκταλ γκαλερί του λογισμικού. Στην πρώτη σελίδα του πολλαπλών σελίδων αρχείου της φράκταλ γκαλερί εμφανίζεται το Πυθαγόρειο δέντρο της εικόνας επάνω στο οποίο όμως έχει προστεθεί κίνηση. Ποιο σημείο του σχήματος θέτει σε κίνηση τους κλάδους του δέντρου; 

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

(δείτε ακόμα τα πρότυπα στην ιστοσελίδα https://www.dearingdraws.com/downloads/)

Διαβάστε τη συνέχεια του άρθρου και δείτε τις δραστηριότητες των μαθητών στο https://www.academia.edu/3517291/_   (σελ. 63-76

Πατσιομίτου, Σ.(2006): Προεκτάσεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Ευκλείδης A΄. τ.2. (62), 28-29.

Πατσιομίτου, Σ. (2010) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Α . ISBN 978-960-461-308

Πατσιομίτου, Σ. (2010) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Β. ISBN 978-960-461-308

Πατσιομίτου, Σ. (2012) Διδακτικές Προτάσεις: Τα Μαθηματικά στον Πραγματικό Κόσμο . Αυτό έκδοση ISBN 978-960-93-4456

ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΗ ΜΕ ANIMATION-CUSTOM TOOLS

Η κατασκευή ενός προσαρμοσμένου εργαλείου και η χρήση μετασχηματισμών και άλλων αλληλεπιδραστικών τεχνικών των λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας [π.χ του λογισμικού Geometer's Sketchpad) συνιστά έναν ακόμα τρόπο κατασκευής πλακοστρώσεων. Για παράδειγμα αν κατασκευάσουμε ως  εργαλείο στο σχήμα αριστερά που μετασχηματίζει το αρχικό τετράγωνο σε ένα άθροισμα πέντε τετραγώνων και χρησιμοποιήσουμε συνδυασμούς ανάκλασης και κουμπιών μετακίνησης μπορούμε να παράγουμε το σχήμα δεξιά.

Οι πλακοστρώσεις αυτές λόγω των μετασχηματισμών που υφίστανται, μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές στην κατανόηση της έννοιας της διατήρησης της επιφανείας (Κορδάκη, 1999).  

ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΠΕΙΡΟΕΙΔΩΝ ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΕΩΝ

Στη συνέχεια θα κατασκευάσουμε σπείρες Baravelle που έχουμε την δυνατότητα να θέσουμε σε κίνηση. 

Μέσω της διαδικασίας αυτής οι μαθητές μπορούν να εισαχθούν σε έννοιες όπως γεωμετρική πρόοδος, άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου, όριο. Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σπειροειδές ισόπλευρο τρίγωνο με animation, στην συνέχεια ένα εξάγωνο και να επεκτείνουμε την διαδικασία με την κατασκευή της εντυπωσιακής πλακόστρωσης δεξιά, που η κίνηση στο εσωτερικό της δημιουργεί φαντασμαγορικά σχέδια. 

Οι ιδέες που παρουσιάστηκαν για την δημιουργία πλακοστρώσεων με χρήση του μενού Μετασχηματισμός του Geometer’s Sketchpad, μπορούν να αξιοποιηθούν για να κατασκευάσουν οι μαθητές δημιουργικές εργασίες στα πλαίσια του μαθήματος της γεωμετρίας στο Γυμνάσιο ή στο Λύκειο αλλά και να αποτελέσουν σημαντικό διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικού συλλογισμού. Το σημαντικό είναι ότι με τις δραστηριότητες αυτού του είδους θα κάνουμε τέχνη μέσα από την γεωμετρία, θα συνδέσουμε δηλαδή τα μαθηματικά με τον πραγματικό, εξωμαθηματικό κόσμο και θα αντιληφθούμε ότι τα μαθηματικά είναι ένα μέσο για τη ανάπτυξη του πολιτισμού. 

Βιβλιογραφία:

Το κείμενο περιέχει αποσπάσματα των παρακάτω εργασιών.

Η συγγραφή του κειμένου και η επιλογή των πολυμέσων έγινε από τη Δρ. Σταυρούλα Πατσιομίτου

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Οι Πλακοστρώσεις στο Sketchpad v4 ως  διαισθητικό θεμέλιο για την ανάπτυξη παραγωγικών συλλογισμών Πρακτικά 1ου Εκπαιδευτικού Συνεδρίου  ΕΤΠΕ με τίτλο «Ένταξη και χρήση των ΤΠΕ στην Εκπαιδευτική διαδικασία», σσ. 154-160. Βόλος, 24-26 Απριλίου

http://www.etpe.eu/new/custom/pdf/etpe1442.pdf

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Επικαλύψεις επιπέδου μέσω του Geometer’s Sketchpad v4 στο Πρόγραμμα Σπουδών: Tessellations, Πεντόμινος, Αλγεβρικές Δομικές μονάδες, Rep-Tiles, Tangram. Πρακτικά 5ουΠανελλήνιου Συνεδρίου ΤΠΕ, με τίτλο: «Αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη διδακτική  πράξη», σσ. 601-609. Σύρος 8, 9, 10 Μαΐου 2009

Πατσιομίτου, Σ. (2009) Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad v4 Εκδόσεις Κλειδάριθμος . Τόμος Α . ISBN:978-960-461-308-3

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Θέμα της εργασίας είναι ο υπολογισμός του εμβαδού των γεωμετρικών σχημάτων στον χώρο του προαυλίου του σχολείου.

Προκειμένου να γίνει αυτό, χρειάστηκε να γίνει μέτρηση των διαστάσεων του ενός από τα σχήματα.

Αρχικά, παρατηρώντας το σχήμα στο προαύλιο και μετρώντας τις διαστάσεις υπό κλίμακα στην φωτογραφία,  μεταφέρουμε το σχήμα σε χαρτί μιλιμετρέ, υπό κλίμακα 0,5cm:10cm ή 1cm: 20cm

Προκειμένου να υπολογίσουμε το εμβαδόν του εσωτερικού σχήματος πρέπει να εφαρμόσουμε μετασχηματισμό.

Δηλαδή, έχοντας τις διαστάσεις του υπό κλίμακα, το περιστρέφουμε κατά 45 μοίρες προς τα δεξιά, δημιουργώντας έτσι ένα τετράγωνο.

 

                                                                                             Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα, Β1 

Πηγές:

http://1gym-peir-athin.att.sch.gr/index.php/didaskalia-ekpaidefsi/didaktikes-protaseis/mathimatika

Η εικόνα είναι μια προσομοίωση της δραστηριότητας περιστροφής του
τροχού στο δυναμικό περιβάλλον, με στόχο τη μέτρηση της απόστασης
μεταξύ δυο σημείων Α, Β ενός λόφου. Τα χρώματα [πράσινο του λόφου] οι
προσομοιώσεις δέντρων [φράκταλ κατασκευές που κάνουν την εικόνα να
μοιάζει πραγματική] και ο τροχός που μπορεί να περιστραφεί και ο
μαθητής/τρια έχει την δυνατότητα να μετρήσει τις πλήρεις περιστροφές του
στην οθόνη του υπολογιστή βιωματικά συνιστούν κίνητρο για τη μάθηση
των εννοιών. Το πρόβλημα μπορεί να τεθεί στους μαθητές για να
διερευνηθεί η κατανόηση της μαθησιακής διαδικασίας μήκους κύκλου, όταν
γνωρίζουμε την ακτίνα του κύκλου. Μπορεί να λυθεί από τους μαθητές,
όταν αυτοί αναγνωρίσουν το θεματικό πλαίσιο στο οποίο ανήκει και
επομένως εφαρμόσουν διαδικαστικά τη θεωρία για τη λύση του.

Το κείμενο είναι απόσπασμα της εργασίας

Πατσιομίτου, Σ. (2013) Οι μοντελοποιήσεις προβλημάτων πραγματικού πλαισίου σε δυναμικό περιβάλλον μέσο αποκωδικοποίησης της εννοιολογικής γνώσης των μαθητών. Ευκλείδης Γ΄, (79), 107-136.

https://www.academia.edu/5232266/_

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Η έρευνα πραγματοποιήθηκε µε τη βοήθεια ερωτηματολογίου.

Το ερωτηματολόγιο δόθηκε στο τμήμα Β3 (σε σύνολο 26 μαθητών) στα πλαίσια του μαθήματος των Μαθηματικών και ειδικότερα ως πρακτική εφαρμογή των γνώσεων που οι μαθητές απέκτησαν στο κεφάλαιο της Περιγραφικής Στατιστικής.

Οι μαθητές του τμήματος το συμπλήρωσαν και στη συνέχεια το επεξεργάστηκαν µε τη βοήθεια του Εxcel.

Για την διαδικασία παρουσίασης των διαγραμμάτων στο Excel αναφορικά με τα αποτελέσματα της έρευνας συνεργάστηκαν οι μαθητές:

Σκόρδος Παύλος, Σκουρλέτης Νικηφόρος, Τσάκαλος Κωνσταντίνος, Τυρλής Φοίβος και Τυρλή Κορίνα.

(Σχολική χρονιά 2012-13)

Ο Ηρόδοτος (485 - 421/415 π.Χ.) περιγράφει το Ευπαλίνειο όρυγμα: 

τὸ μὲν μῆκος τοῦ ὀρύγματος ἑπτὰ στάδιοι εἰσί, τὸ δὲ ὕψος καὶ εὖρος ὀκτὼ ἑκάτερον πόδες. διὰ παντὸς δὲ αὐτοῦ ἄλλο ὄρυγμα εἰκοσίπηχυ βάθος ὀρώρυκται, τρίπουν δὲ τὸ εὖρος, δι᾽ οὗ τὸ ὕδωρ ὀχετευόμενον διὰ τῶν σωλήνων παραγίνεται ἐς τὴν πόλιν ἀγόμενον ἀπὸ μεγάλης πηγῆς.

Ο Ευπαλίνος θα πρέπει να γνώριζε πώς να υπολογίζει υψομετρικές διαφορές. Η σήραγγά του ήταν ουσιαστικά ευθεία γραμμή. Πώς μπόρεσε να το επιτύχει; 

Σύμφωνα με τον Van der Waerden (February 2, 1903 – January 12, 1996) στο έργο του Science Awakening (Η Αφύπνιση της Επιστήμης) (2003, σελ. 112)

«Η απάντηση βρίσκεται στο σύγγραμμα «Περι διόπτρας» του “Ηρωνος., από την Αλεξάνδρεια (60μ.Χ.). Εκεί ο ΄Ηρων περιγράφει κατ” αρχάς τη διόπτρα, δηλαδή έναν οριζόντιο κανόνα συναρμοσμένο έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται, με δύο στόχαστρα που κάνουν δυνατή λ.χ . την παρατήρηση μιας ορθής γωνίας σε ένα επίπεδο. [...]

Ο Ήρων πραγματεύεται την κατασκευή φρεατίων (πρόβλημα υπ. αρ. 15, 16) καθέτων προς τη σήραγγα, η οποία θεωρείται σε ευθεία γραμμή. Τ’ετοια φρεάτια υπάρχουν πραγματι στη Σάμο.»

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Η συγγραφή του κειμένου και η επιλογή των πολυμέσων έγινε από την Δρ. Σ.Πατσιομίτου 

Βιβλιογραφία:

Van Der Waerden, B.L. (2003). Η αφύπνιση της Επιστήμης: Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά και Ελληνικά Μαθηματικά. Μτφ. Γιάννης Χριστιαννίδης. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης

http://el.wikipedia.org/wiki/Ευπαλίνειο_όρυγμα

Είναι γνωστό πως ο Πλάτων θεωρούσε τη σπουδή των μαθηματικών απαραίτητη προυπόθεση για τη μελέτη ης φιλοσοφίας. 

[There is a video that cannot be displayed in this feed. Visit the blog entry to see the video.]

Η μελέτη των αριθμών και των γεωμετρικών σχημάτων και στερεών ήταν ο καταλληλότερος προπομπός για την τελική απελευθέρωση της ανθρώπινης σκέψης από τα δεσμά του εφήμερου αισθητού κόσμου. 

Η μελέτη των αντικείμενων της μαθηματική δραστηριότητας έδινε και δίνει τη εντύπωση άμεσης ενασχόλησης με έναν κόσμο που το βασικό χαρακτηριστικό του είναι η απευθείας νοητική του σύλληψη, χωρίς τ ο διάμεσο της ασθητηριακής αντίληψης. 

Το περίφημο επίγραμμα «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» που λέγεται ότι υπήρχε στην είσοδο της Ακαδημίας του, εκφράζει απόλυτα την πλατωνική εκτίμηση για την μαθηματική δραστηριότητα.

Συνδεδεμένα με το όνομα του Πλάτωνα είναι τα περίφημα Πλατωνικά στερεά. 

Τα πλατωνικά στερεά είναι στερεά που οριοθετούνται από ίσα κανονικά επίπεδα πολύγωνα. 

Ισα κανονικά επίπεδα που μπορούν να σχηματίσουν κυρτά στερεά είναι μόνον τρία: το ισόπλευρο τρίγωνο, το το τετράγωνο και το κανονικό πεντάγωνο.

Τα δυνατά κυρτα στερεά που μπορούν να σχηματιστούν από αυτά είναι ακριβώς πεντε: το κανονικό τετράεδρο, ο κύβος, το κανονικό οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο. 

O αισθητός κόσμος σε αντιδιαστολή με τον κόσμο των Ιδεών, δημιουργήθηκε πάνω σε κάποια ιδεατά πρότυπα. Ο τρόπος και τα υλικά δημιουργίας του αποτελούν ένα από τα βασικά αντικείμενα του πλατωνικού διαλόγου Τίμαιος .

Εκεί ο Πλάτων παρουσιάζει μια κοσμογονία στηριγμένη πάνω σε καθαρά γεωμετρικά στοιχεία. Πιο συγκεκριμένα ισχυρίζεται πώς οτιδήποτε αισθητό αποτελείται από κάποιον ποικίλλοντα συνδυασμό τεσσάρων βασικών στοιχειωδών υλικών, τα οποία είναι: ΠΥΡ, ΑΗΡ, ΥΔΩΡ, και ΓΗ. 

Με τη σειρά του τα υλικά αυτά δεν είναι απλά αλλά σύνθετα. Συντίθενται από τεσσάρων ειδών στοιχειώση πλατωνικά στερεά. Η γη αποτελείται από στοιχεώδεις κύβους, το ύδωρ από στοιχειώδη κανονικά εικοσάεδρα, ο αήρ από στοιχειώδη κανονικά οκτάεδρα και το πυρ απο στοιχειώση κανονικά τετράεδρα.

Τον Μεσαίωνα προστέθηκε από τους αλχημιστές σαν πέμπτο στοιχείο ο αιθέρας,ο  οποίος αποτελέιται απο κανονικά δωδεκάεδρα,  σχήμα που οριοθετεί όλο το σύμπαν. 

Σημείωση 

Το άρθρο είναι απόσπασμα της ενότητας 1.3 «Τα πλατωνικά στερεά» της μονογραφίας «Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών» (Εκδόσεις Νεφέλη)  (Αναπολιτάνος,  1985, σελ. 46-52).

http://www.pbs.org/wgbh/nova/blogs/physics/2011/12/beautiful-losers-platos-geometry-of-elements/

H επιλογή του κειμένου και των πολυμέσων, [και η διαμόρφωσή τους] έγινε από τη Δρ. Σ.Πατσιομίτου

]]> https://schoolpress.sch.gr/testpat1/?feed=rss2&p=161 0