Ο Ερατοσθένης και η μέτρηση της ακτίνας της γης

Ο άνθρωπος είναι από τη φύση του περίεργος. Πάντα προσπαθούσε να μετρήσει και να γνωρίζει το μήκος και το μέγεθος των πραγμάτων για να μάθει περισσότερα για τον πλανήτη μας. Μια από τις πτυχές που ήταν πάντα ένα μυστήριο για τον άνθρωπο είναι η ακτίνα της Γης.

Στα μέσα του 20^ου αιώνα οι επιστήμονες έστειλαν τους πρώτους δορυφόρους στο διάστημα, οι οποίοι μας βοήθησαν να υπολογίσουμε με ακρίβεια τα χαρακτηριστικά του πλανήτη μας. Όπως γνωρίζουμε σήμερα, η περιφέρεια του μεσημβρινού είναι διάστασης 40.007 χιλιομέτρων.

Κοιτάζοντας έναν πλανήτη από απόσταση όλα είναι αρκετά πιο εύκολα. Τον βλέπεις, τον μετράς, υπολογίζεις την αντιστοιχία στην κλίμακα και έχει ό,τι αποτέλεσμα χρειάζεσαι. Όταν όμως βρίσκεσαι πάνω του και δεν έχεις καν τα βασικά τεχνολογικά μέσα για να σε διευκολύνουν; Εφόσον δεν μπορούμε να διαπεράσουμε τον φλοιό της Γης και να ταξιδέψουμε στον πυρήνα, πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την ακτίνα του πλανήτη;

Δεν χρειάστηκε ωστόσο να φτάσουμε στον 20^ο αιώνα για να μάθουμε τις διαστάσεις της Γης. Για την ακρίβεια, η γνώση αυτή είναι γνωστή εδώ και σχεδόν 2.500 χρόνια και αυτό οφείλεται σε έναν από τους σημαντικότερους Έλληνες επιστήμονες, τον Ερατοσθένη[1].

Το ιστορικό της ανακάλυψης, η επιστημονική παρατήρηση και ο προβληματισμός 

Νέος ο Ερατοσθένης, πήγε στην φημισμένη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, την πρωτεύουσα της πτολεμαϊκής Αιγύπτου, στην οποία σπούδασε και εργάστηκε. Όλα αυτά περί το 230 π.Χ. Σε έναν πάπυρο της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας, ο Ερατοσθένης διάβασε κάτι που τράβηξε την προσοχή του: Στη Συήνη (σημερινό Ασσουάν), το μεσημέρι της μέρας του θερινού ηλιοστασίου (21 Ιουνίου, η πιο μεγάλη μέρα του έτους), το ηλιακό φως έπεφτε στο νερό του πηγαδιού χωρίς να σχηματίζει καμιά σκιά. Ο Ερατοσθένης γνώριζε πολύ καλά ότι τέτοιο αντίστοιχο φαινόμενο δεν συμβαίνει ποτέ στην πόλη του, την Αλεξάνδρεια. Έτσι προσπάθησε να λύσει το γρίφο. Γιατί δηλαδή αυτό να συμβαίνει στη Συήνη μία φορά το χρόνο και να μην συμβαίνει ποτέ στην Αλεξάνδρεια; Το γρίφο τον έλυσε και σαν πόρισμα μπόρεσε ακόμη να μετρήσει την κλίση του άξονα της γης, το γεωγραφικό πλάτος της Αλεξάνδρειας καθώς και την ακτίνα της γης. Ως εργαλεία χρησιμοποίησε μια ράβδο, «βηματιστές»[2] της εποχής για τη μέτρηση αποστάσεων, βασικές αρχές τριγωνομετρίας και καθαρή σκέψη.

Η διατύπωση της υπόθεσης και η επιστημονική μέθοδος

Υποθέσεις 

Ο Ερατοσθένης ξεκίνησε με τις ακόλουθες δύο υποθέσεις:

(α) Η Γη είναι σφαίρα και φωτίζεται ομοιόμορφα από τον Ήλιο.

(β) Ο Ήλιος είναι τόσο μακριά από τη Γη, ώστε οι ακτίνες του φτάνουν σε αυτήν ουσιαστικά παράλληλες.

Στη συνέχεια συνέκρινε, την ίδια χρονική στιγμή, τη διεύθυνση των ηλιακών ακτίνων με τη διεύθυνση της κατακορύφου στις δύο διαφορετικές πόλεις (Συήνη και Αλεξάνδρεια).

Πώς μπόρεσε όμως ο Ερατοσθένης να πραγματοποιήσει δύο μετρήσεις σε δύο διαφορετικά σημεία της Γης την ίδια χρονική στιγμή, εφόσον οι αρχαίοι Έλληνες δεν διέθεταν ρολόγια που θα μπορούσαν να συγχρονίσουν;

Το πρόβλημα το έλυσε κάνοντας τις μετρήσεις του κατά τη μεσημβρία (την ώρα δηλαδή που ο ήλιος βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο του στον ουρανό) σε δύο πόλεις που βρίσκονται πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (νοητή γραμμή που ενώνει τον βόρειο με τον νότιο πόλο της Γης). Όσοι τόποι βρίσκονται πάνω στον ίδιο μεσημβρινό, έχουν μεσημέρι την ίδια χρονική στιγμή. Και πράγματι, η Αλεξάνδρεια και η Συήνη βρίσκονται σχεδόν στον ίδιο μεσημβρινό απέχοντας κατά γεωγραφικό μήκος μόλις 3^o, με βάση σημερινούς υπολογισμούς.

Υπολογίζοντας την περιφέρεια της Γης με ένα μόλις κοντάρι

Την 21η Ιούνιου έχουμε το θερινό ηλιοστάσιο. Κάτι που οι αρχαίοι Ελληνες είχαν παρατηρήσει χρόνια πριν τον Ερατοσθένη. Το γεγονός όμως ότι ο Ηλιος βρισκόταν στο «ζενίθ» της Συήνης, με αποτέλεσμα να μην δημιουργεί σκιές, ήταν μια πολύ ισχυρότερη πληροφορία. Ο Ερατοσθένης παρατήρησε πως την ίδια μέρα, ακριβώς την ίδια ώρα, ο Ηλιος πάνω από την Αλεξάνδρεια δημιουργούσε σκιές.

Υποθέτοντας (σωστά) πως οι ακτίνες του Ηλίου είναι παράλληλες, επιβεβαίωσε το γεγονός ότι η Γη είναι σφαιρική. Διαφορετικά, τα πηγάδια της Αλεξάνδρειας θα είχαν σκιά όπως αυτά της Συήνης. Το επόμενο βήμα θα ήταν να μετρήσει την γωνία που δημιουργεί αυτή τη σκιά.

Εφόσον η Αλεξάνδρεια βρίσκεται βορειότερα της Συήνης και μάλιστα βρίσκεται στον ίδιο περίπου μεσημβρινό με αυτή, ένας πάσσαλος ή ένας οβελίσκος (στο ρόλο του γνώμονα) θα παρουσιάζει στην περιοχή αυτή μήκος σκιάς το μεσημέρι της μέρας του θερινού ηλιοστασίου. Με άλλα λόγια, η διεύθυνση των ακτίνων του Ήλιου θα σχηματίζει κάποια γωνία με την κατακόρυφο, κάτι που επαλήθευσε ο Ερατοσθένης στην Αλεξάνδρεια. Ένας πάσσαλος όμως στη Συήνη δεν θα δημιουργούσε σκιά.

Έτσι, ο Ερατοσθένης κάρφωσε ένα κοντάρι στο έδαφος και παρατήρησε την σκιά που εμφανιζόταν το μεσημέρι της 21ης Ιουνίου. Από το τρίγωνο που δημιουργούσε το κοντάρι, η σκιά και η νοητή ευθεία που τα ένωνε, ο Ερατοσθένης κατέληξε πως η γωνία που έψαχνε (της κατακορύφου με τη διεύθυνση των ακτίνων του Ήλιου) ήταν 7.2 μοίρες. Γνωρίζοντας πως η Γη είναι σφαιρική, άρα ένας γύρος της αντιστοιχεί σε 360 μοίρες, κατέληξε πως η απόσταση Αλεξάνδρειας και Συήνης αντιστοιχεί στο 1/50 του συνολικού μήκους της περιφέρειας του πλανήτη. Όσο δηλαδή κάνει η διαίρεση του 360 με το 7.2!

Επομένως το μόνο που έμενε για να βρει την περιφέρεια του πλανήτη ήταν να υπολογίζει την απόσταση Αλεξάνδρεια και Συήνης. Πώς υπολόγισε ο Ερατοσθένης αυτήν την απόσταση; Κάποιοι μελετητές ισχυρίζονται ότι την υπολόγισε με βάση τη σταθερή ταχύτητα με την οποία ταξίδευαν τα καραβάνια -100 στάδια την ημέρα- επί 50 ημέρες, δηλαδή 5.000 στάδια[3] συνολικά ή περίπου 805 km. Από άλλες πηγές, αυτή η απόσταση προκύπτει από αιγυπτιακούς τοπογραφικούς χάρτες, όπου οι μετρήσεις είχαν γίνει από επαγγελματίες «βηματιστές», οι οποίοι περπατώντας με σταθερούς διασκελισμούς κατέγραφαν αποστάσεις.

Λίγη Γεωμετρία

Ένα σχήμα που αναπαριστά τη Γη, τις ακτίνες του Ήλιου και τις δύο πόλεις, μπορεί να αποκαλύψει το ποιες είναι οι αναγκαίες άμεσες μετρήσεις, ώστε να υπολογιστεί το μήκος της περιφέρειας της Γης. Η ακτίνα της Γης μπορεί να υπολογιστεί αν γνωρίζουμε:

α) το μήκος του τόξου  (απόσταση Συήνης – Αλεξάνδρειας) και

β) τη γωνία της κατακορύφου με τη διεύθυνση των ακτίνων του Ήλιου.

Μετρήσεις και μαθηματικοί υπολογισμοί (παντού πια αυτά τα μαθηματικά;)

Όπως αναφέρεται παραπάνω, ο Ερατοσθένης γνώριζε ότι η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων ήταν περίπου 805 km.

Επίσης, υπολόγισε τη γωνία της κατακορύφου με τη διεύθυνση των ακτίνων του Ήλιου. Η γωνία αυτή μπορεί να μετρηθεί εύκολα με έναν πάσσαλο τοποθετημένο κατακόρυφα. Το νήμα της στάθμης μπορεί να μας εξυπηρετήσει για να το καταφέρουμε. Η γωνία υπολογίζεται αν μετρήσουμε το μήκος της σκιάς του πασσάλου.

Επομένως, με έναν απλό συλλογισμό και απλές μαθηματικές γνώσεις, μπορούμε να πούμε ότι:

Αν στη γωνία θ=7,2^ο αντιστοιχεί μήκος τόξου s=805 km, τότε
στη γωνία 360^ο αντιστοιχεί μήκος τόξου Γ (που είναι όλη η περίμετρος της Γης).

Γ = 360 * s / θ

ή Γ = 360 * 805 / 7,2

οπότε Γ = 40.250 km (η περιφέρεια της Γης)

Από τη σχέση Γ = 2πR υπολογίζουμε R=Γ/2π ή R = 40.250 / 2 * 3,14 οπότε  R = 6.409 km, τιμή που είναι πολύ κοντά στην πραγματική ακτίνα της Γης (πολύ κοντά στην πραγματική τιμή των 6378 χλμ για την ισημερινή ακτίνα της Γης).

Γράφει ο Αλέξανδρος Σημανδράκος Β4

ΠΗΓΕΣ

1)       https://www.iefimerida.gr/news/298650/pos-o-eratosthenis-ypologise-tin-perifereia-tis-gis-hrisimopoiontas-mono-ena-kontari

2)       https://elsito.gr/index.php/science/item/496-radii-earth-eratosthenes

3)       http://magazine.noa.gr/archives/3058

4)       https://www.alfavita.gr/epistimi/194099_i-metrisi-tis-aktinas-tis-gis-apo-ton-eratostheni

---