Πρότυπο Περιοδικό Παραγωγή

Τα μαθηματικά από το ξεκίνημα τους δέχτηκαν επιρροή από την φιλοσοφία. Έτσι στήριξαν τον αποδεικτό συλλογισμό τους στους νόμους της κλασικής αριστοτελικής λογικής. Ακόμη και σήμερα παρ’  όλους τους κλυδωνισμούς αυτό δεν έχει ριζικά διαφοροποιηθεί. Η πρώτη αμφισβήτηση της αριστοτελικής λογικής έγινε από τους ιντουσιονιστές υπό την πίεση να επαναθεμελιώσουν τα μαθηματικά. Εδώ θα δούμε μερικές ακόμη μαθηματικές λογικές που αναπτύχθηκαν τον 20^ο αιώνα.

Η λογική του Αριστοτέλη χαρακτηρίζεται ως δίτιμη λογική. Κάθε εκφορά p παίρνει μια από τις δύο τιμές αληθής ή ψευδής. Ακόμη και ο νόμος αποκλίσεως του τρίτου ενδεχομένου περιλαμβάνει δύο τιμές αλήθειας. Αληθεύει η p ή η όχι p. Δεν υπάρχουν περιθώρια για τρίτη τιμή αλήθειας. Στα 1920 ο Πολωνός λογικολόγος Λουκασέβιτς εισάγει για πρώτη φορά μια τρίτιμη λογική. Στο πλαίσιο αυτό κάθε εκφορά p  μπορεί να είναι αληθής , ψευδής ή ακαθόριστη. Παίρνει τιμή δηλαδή μέσα από ένα σύνολο τριών δυνατοτήτων. Ο Λουκασέβιτς θεωρεί ότι κάθε αναφορά που αφορά το μέλλον είναι  ακαθόριστη. Π.χ η πρόταση «αύριο θα γίνει ένας πόλεμος» δεν είναι ούτε αληθής ούτε ψευδής εφόσον δεν μπορούμε να καθορίσουμε την αλήθεια της.

Στα 1965 ο Ζάντεχ εισάγει για πρώτη φορά μια πλειότιμη , πολυαξιακή λογική την ασαφή λογική. Εισήγαγε αυτή τη λογική γιατί θεώρησε ότι η κλασική λογική δεν μπορεί να ερμηνεύσει γεγονότα που συμβαίνουν στην βιολογία. Έκτοτε αυτή η λογική  βρήκε εφαρμογή σε πολλούς κλάδους της οικονομίας και της βιομηχανίας. Κάθε πρόταση μπορεί να πάρει μία τιμή αλήθειας που αντιστοιχεί σε έναν αριθμό που κυμαίνεται στο διάστημα [0,1]. Η πρόταση «Αγαπώ τον κινηματογράφο» δεν είναι απαραίτητο να έχει δύο τιμές αλήθειας. Αν θεωρήσουμε 0 να αντιστοιχεί στο ψεύδος αυτής της πρότασης , τότε 1 είναι η τιμή στην οποία αληθεύει. Υπάρχουν όμως και ενδιάμεσες τιμές που αντιστοιχούν στους αριθμούς 0,1   0,34  0,54   0,78 κλπ. , οι οποίοι δηλώνουν το ποσοστό συμμετοχής της πρότασης στην αλήθεια. Είναι προφανές ότι χώρος της καθημερινής μας εμπειρίας και των συναισθημάτων μας υπακούουν στην ασαφή λογική. Το ότι δεν αγαπώ τον κινηματογράφο δεν σημαίνει απαραίτητο ότι τον μισώ. Υπάρχουν πολλές ενδιάμεσες καταστάσεις που αντιστοιχούν σε τιμές στο διάστημα [0,1]. Προσεγγιστικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι τιμές αλήθειας από 0 έως 0,5 αντιστοιχούν στο ότι δεν αγαπώ τον κινηματογράφο. Τιμές αλήθειας από 0,5 έως 1 στο ότι αγαπώ τον κινηματογράφο με διαβαθμισμένο ποσοστό συμμετοχής. Στη ασαφή λογική όπως και στην τρίτιμη λογική του Λουκασέβιτς αλλά και στην ιντουσιονιστική λογική δεν ισχύει ο νόμος απόκλισης του τρίτου ενδεχόμενου. Η ζωή μας είναι έτσι διαρρυθμισμένη ώστε όλα δεν είναι άσπρο – μαύρο. Υπάρχουν οι ενδιάμεσες αποχρώσεις. Το όχι άσπρο δεν είναι αναγκαστικά μαύρο. Όταν δεν είμαι λυπημένος δεν είμαι αναγκαστικά χαρούμενος. Ο χώρος που περιγράφει την συναισθηματική  μας κατάσταση θα μπορούσε να περιγραφεί με τιμές στο διάστημα [0,1] όπως ορίζει η ασαφής λογική. Το 0 αντιστοιχεί στο ότι είμαι λυπημένος και το 1 χαρούμενος. Οι ενδιάμεσες τιμές περιγράφουν τις ενδιάμεσες συναισθηματικές καταστάσεις που προσεγγιστικά ανήκουν την μια ή στην άλλη κατηγορία. Ας δούμε τέλος την πρόταση «Ο Γιάννης δεν είναι νέος». Αρχικά υπάρχει μια ασάφεια των ορίων πέρα των οποίων κάποιος δεν θεωρείται νέος.  Ακόμη όμως και αν καθορίσουμε ότι δεν είναι νέος κάποιος που έχει ηλικία μεγαλύτερη των 30 ετών , τίθεται το ακόλουθο ζήτημα. Αν ο Γιάννης είναι 35 ετών ή 75 και στις δύο περιπτώσεις θα χαρακτηριστεί ως μη νέος. Δεν μπορεί όμως και στις δύο περιπτώσεις να αντιστοιχεί η ίδια τιμή αλήθειας. Αν θεωρήσουμε 0 την τιμή να μην είναι νέος και 1 να είναι νέος τότε στην πρώτη περίπτωση ο Γιάννης δεν είναι νέος με τιμή 0,1 κι στην άλλη με τιμή 0,4.

Ένα άλλο είδος λογικής που προτάθηκε είναι η παρασυνεπής η οποία δεν αποδέχεται την αρχή της μη αντίφασης. Μπορεί δύο προτάσεις αντιφατικές να είναι αποδεκτές. Αν μεταφέρουμε πάλι τη λογική αυτή στην καθημερινή μας εμπειρία θα μπορούσαμε να την κατανοήσουμε καλύτερα. Πράγματι μπορούν δύο άτομα να αγαπούν την τέχνη αλλά αν τους ζητούσαμε να εξηγήσουν τους λόγους για τους οποίους την αγαπούν να προέβαλλαν εντελώς αντιφατικούς λόγους. Έχουμε δύο αντιφατικές και αλληλοσυγκρουόμενες αιτιάσεις που όμως οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα την αγάπη γα την τέχνη.  Η αντιφατικότητα οφείλεται στην υποκειμενική αλήθεια αυτού που την εκφράζει. Δύο αντιφατικές πορείες μέσω της υποκειμενικότητας του υποκειμένου οδηγούν στην ίδια αλήθεια.