του Γιώργου Παπαντωνίου
Ο Gauss ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς, φυσικούς και επιστήμονες της σύγχρονης εποχής είχε πεί το εξής: «Τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η Θεωρία Αριθμών η βασίλισσα των μαθηματικών». Ας εξετάσουμε λοιπόν, τι κάνει την Θεωρία Αριθμών τόσο ιδιαίτερη και γιατί θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί ως η βασίλισσα των επιστημών;
Η Θεωρία Αριθμών αποτελεί έναν από τους αρχαιότερους κλάδους των μαθηματικών και μελετά κυρίως τις ιδιότητες και κυρίως την διαιρετότητα των ακεραίων αριθμών, ενώ μέχρι και σήμερα είναι από τους πιο «δραστήριους» κλάδους της μαθηματικής επιστήμης. Η Θεωρία Αριθμών πρώτα μελετήθηκε από τους αρχαίους Έλληνες και συγκεκριμένα το 500 π.Χ. οι Πυθαγόρειοι ερεύνησαν τους πρώτους αριθμούς και την ανάλυση τους σε πρώτους παράγοντες, με άλλα λόγια στα μαθηματικά είναι αυτό που λέμε την κανονική μορφή τους. Έπειτα, ο Ευκλείδης στο έργο του «Στοιχεία» το 300 π.Χ. ερεύνησε τους τέλειους αριθμούς. Από αυτούς έχουμε βρει μόλις 36 μέχρι τώρα και την εύρεση του Μ.Κ.Δ. του μέγιστου κοινού διαιρετή. Τέλος, ο Ερατοσθένης και ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός ανακάλυψαν το κόσκινο του Ερατοσθένη και τις διοφαντικές εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις με δύο μεταβλητές / αγνώστους .
Μπορεί τώρα κάποιος να πει «Μα, γιατί πρέπει να τα μάθω αυτά;». Θα απαντήσουμε στην ερώτηση ευθύς αμέσως με ένα μικρό πρόβλημα. Όλοι μας έχουμε πάει σε κάποιο περίπτερο για να «χαλάσουμε» ένα χαρτονόμισμα, ας πούμε ένα 10εύρω. Με πόσους τρόπους μπορείτε να χαλάσετε το 10ευρώ σας σε κέρματα του ενός και των δύο ευρών; Αυτό το πρόβλημα λύνεται με την χρήση διοφαντικών εξισώσεων, ενός σπουδαίου κεφαλαίου της Θεωρίας Αριθμών που ασχολείται με την λύση εξισώσεων με παραπάνω από μια άγνωστη μεταβλητή.
Αλλά μπορούμε να θέσουμε και ένα πιο απλό πρόβλημα, ας πούμε ότι έχετε 200.000 ευρώ στην τράπεζα (μερικοί μπορεί να πουν μακάρι!), σε πόσες δέσμες των 100 ευρώ θα τα πάρετε, αν θελήσετε να τα εκταμιεύσετε; Πρόκειται περί μιας απλής διαίρεσης, αλλά αυτό εκτός από ένα ερώτημα αριθμητικής είναι ένα πρόβλημα άμεσα συνδεδεμένο με την Θεωρία Αριθμών, επειδή γνωρίζουμε ότι το 200.000 διαιρείται ακριβώς με το 100 , είναι δηλαδή και θέμα διαιρετότητας. Αν, ωστόσο, το ποσό που είχατε ήταν 155.675 ευρώ δεν θα μπορούσατε να το πάρετε όλο σε 100άρικα, αφού το 155.675 δεν διαιρείται ακριβώς με το 100.
Επιπλέον, την Θεωρία Αριθμών την συναντάμε και σε άλλες περιπτώσεις. Για παράδειγμα, έχετε 13 ευρώ και θέλετε να πάρετε σοκολάτες των 2 ευρώ. Πόσες σοκολάτες μπορείτε να πάρετε ως μέγιστο; Αυτή η πράξη όσο και απλή και παιδική και αν φαίνεται είναι ένα θέμα θεωρίας αριθμών. Είναι το κεφάλαιο της Ευκλείδειας διαίρεσης.
Άρα μπορείτε να πάρετε 5 σοκολάτες και θα σας περισσέψει και 1 ευρώ. Πάντως, αν ήμουν εσείς δεν θα ξόδευα τόσα πολλά χρήματα σε σοκολάτες , γιατί μετά μπορεί να είχα λύσει το πρόβλημα της Θεωρίας Αριθμών, αλλά σίγουρα δεν θα είχα λύσει το πρόβλημα με τον οδοντίατρο!
Ας περάσουμε σε πιο εξειδικευμένα θέματα: σήμερα, η Θεωρία Αριθμών έχει τεράστια εφαρμογή στην πληροφορική και στην κρυπτογραφία. Κάποιοι από την Θεωρία Αριθμών κερδίζουν ή μπορούν να κερδίσουν εκατομμύρια δολάρια, πάρτε παράδειγμα το γεγονός πως προσφέρονται εκατομμύριά δολάρια για αυτόν που θα βρει τον επόμενο πρώτο αριθμό -πρώτοι ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με την μονάδα και τον εαυτό τους (π.χ. 31). Ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που έχουμε βρει μέχρι τώρα είναι ένας αριθμός γίγαντας με 895.932 ψηφία και αυτός είναι ο:
Συνοψίζοντας, η Θεωρία Αριθμών είναι ένας τόσο σπουδαίος κλάδος των μαθηματικών που πραγματικά είναι άδικο να λέμε ότι «θα την παρουσιάσουμε σε αυτό το άρθρο πάρα πολύ συνοπτικά». Για να μάθει κάποιος τις θεμελιώδης αρχές της θα χρειαστεί να αφιερώσει πολύ, πάρα πολύ χρόνο. Εν τέλει, τι λέτε είναι η βασίλισσα των επιστημών ;
Βιβλιογραφία
Αδαμόπουλος Λεωνίδας, Β. Β. (1998). Μαθηματικά Β’ΤΑΞΗ Γενικού Λυκείου , Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών. Αθήνα, Ν.Αττικής, Ελλάδα: Διοφαντός. Ανάκτηση 06 09, 2022
Ξένος, Θ. (2018). Στοιχειώδης Θεωρία Αριθμών. Θεσσαλονίκη, Ν. Θεσσαλονίκης , Ελλάδα: Ελληνική Μαθηματική Εταιρία. Ανάκτηση 02 27, 2019
Photo credits: εδώ
