του Γιώργου Παπαντωνίου
O M. Mersenne, ένας σπουδαίος μαθηματικός του 16ου αιώνα είχε πει το εξής: «Οι τέλειοι αριθμοί είναι τόσο σπάνιοι όσο και οι τέλειοι άνθρωποι». Κάποιος ο οποίος δεν έχει τις απαραίτητες γνώσεις μαθηματικών, δεν θα μπορέσει να ερμηνεύσει αυτή τη φράση σε βάθος. Έτσι και εμείς σε αυτό το άρθρο , θα σας προσφέρουμε τις γνώσεις για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε πλήρως το νόημα που κρύβεται πίσω από τα γράμματα του αποφθέγματος.
Ας αρχίσουμε με ένα ιστορικό σημείωμα. Οι πρώτοι οι οποίοι ασχολήθηκαν με τους τέλειους αριθμούς ήταν οι αρχαίοι Έλληνες και πιο ειδικά ο Ευκλείδης στο έργο του «Τα Στοιχεία». Οι αρχαίοι Έλληνες ασχολήθηκαν με αυτό το είδος αριθμών λόγω της εξαιρετικής σπανιότητας τους , στην συνέχεια και μεταγενέστεροι επιστήμονες ακολούθησαν τα χνάρια τους ,για παράδειγμα ο M. Mersenne που αναφέραμε παραπάνω. Λοιπόν, ποιοι είναι οι τέλειοι αριθμοί;
Οι τέλειοι αριθμοί είναι οι αριθμοί οι οποίοι είναι ίσοι με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών τους. Για παράδειγμα ο 28 είναι τέλειος αριθμός , επειδή :
Το 1, 2, 4, 7, 14 είναι γνήσιοι διαιρέτες του 28. Για κάποιους που ενδεχομένως αναρωτιούνται τι είναι οι γνήσιοι διαιρέτες ενός αριθμού, γνήσιοι διαιρέτες ονομάζονται όλοι οι διαιρέτες ενός αριθμού πέρα από τον εαυτό του. Όπως καταλαβαίνετε αυτοί οι αριθμοί είναι εξαιρετικά σπάνιοι. Είναι τόσο σπάνιοι που έχουμε βρει μόλις 36! Ένας τρόπος εύρεσης τέλειων αριθμών είναι ο εξής. Βρίσκουμε έναν πρώτο αριθμό της μορφής , . Σύμφωνα τώρα με τον παππού μας Ευκλείδη , τέλειος θα είναι ο αριθμός της μορφής , . Οι πέντε πρώτοι – κυριολεκτικά πρώτοι, όχι πρώτοι αριθμοί – τέλειοι αριθμοί είναι οι 6 , 28 , 496 , 8128 , 33550336.
Πίσω τώρα στη φράση. Ας ξεκλειδώσουμε το μπαούλο των αριθμών και ας δούμε τί κρύβεται μέσα. Έχοντας τώρα το ανάλογο μαθηματικό υπόβαθρο , ας εμβαθύνουμε!. Ο M. Mersenne θεωρεί ότι οι τέλειοι άνθρωποι είναι τόσο σπάνιοι όσο αυτοί οι αριθμοί. Μερικοί μπορεί να διαφωνήσουν και να πουν ότι άψογος άνθρωπος δεν υπάρχει και ούτε θα υπάρξει ποτέ. Πάρα ταύτα , το βέβαιο είναι ένα.
Ωστόσο , πρέπει να σημειωθεί ότι και το όνομα «Τέλειοι αριθμοί» είναι προφανώς μεταφορικό και δεν δηλώνει σε καμία περίπτωση ότι υπάρχουν τέλειοι και ατελείς αριθμοί με την κυριολεκτική έννοια , αφού όλοι οι αριθμοί χωράν στο σπίτι των μαθηματικών και όλοι έχουν την χρήση τους. Απλά , τους δόθηκε αυτό το όνομα για να δοθεί έμφαση στην σπανιότητα τους. Επίσης , να σημειώσουμε ότι η τελειότητα είναι έννοια σχετική , δηλαδή κάποιος μπορεί να θεωρήσει κάτι ότι είναι τέλειο , ωστόσο ένας άνθρωπος με διαφορετικές αντιλήψεις να έκρινε ότι είναι κάτω του μετρίου.
Όσο πολύτιμοι είναι οι τέλειοι αριθμοί για τα μαθηματικά , τόσο είναι και οι τέλειοι άνθρωποι , εάν υπάρχουν , για την κοινωνία μας. Και ποιος είπε ότι και οι τέλειοι αριθμοί δεν έχουν ελαττώματα; Και αυτοί έχουν το άγχος μην τους διαιρέσει κανείς και γίνουν από τέλειοι αριθμοί , περιττοί. Αυτοί προσπαθούν να μείνουν τέλειοι , ας προσπαθήσουμε και εμείς όσο δύσκολο και αν είναι να τους φτάσουμε!
Βιβλιογραφία
Αδαμόπουλος Λεωνίδας, Β. Β. (1998). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Έκδοση 2022 εκδ.). Αθήνα, Νομός Αττικής , Ελλάδα : Διοφαντός. Ανάκτηση 03 11, 2023
