Πρότυπο Περιοδικό Παραγωγή

Ο ορισμός του Cantor για την έννοια του συνόλου περιλάμβανε το συλλογισμό :
» Σύνολο είναι μια ομάδα ομοειδών  διακεκριμένων αντικειμένων που μπορούν να αποτελούν συγχρόνως μια ενιαία ολότητα». Για αρκετό καιρό αυτός ο ορισμός αν και διαισθητικός ικανοποιούσε την εμπειρική λογική και θεωρούνταν ασφαλής.Το αίτημα όμως της αναζητήσεως  ενός πιο αυστηρού ορισμού με αξιωματική και τυποκρατική συγκρότητση έμενε ανοικτό. Η καντοριανή προσέγγιση παρέμενε ακλόνητη έστω ως αναγκαστική λύση. Τα πράγματα αλλάζουν όταν εμφανίζεται   το πρώτο παράδοξο του Russel που απέδειξε την αντιφατικότητα  του  παραπάνω ορισμού. Αυτή η απρόσμενη εξέλιξη σήμανε την αποδόμηση της καντοριανής συνολοθεωρίας. Έκανε ακόμη πιο απαιτητική την ανάγκη μιας αξιωματικής συνολοθεωρίας σύμφωνης με την σύγχρονη επιστημολογία. Να ήταν μόνο αυτό! Το παράδοξο έφερε την αρχή μιας κρίσης στα θεμέλια των μαθηματικών.  Πως ένας ορισμός που διαισθητικά μας ικανοποιεί αντιβαίνει στην λογική και παράγει αντιφάσεις; Πως σωριάζεται χάμω  μια στέρεη μαθηματική θεωρία ;  Γρήγορα εμφανίζονται πολλά παράδοξα ή καταγράφονται παλαιότερα από την εποχή του Ζήνωνα του Ελεάτη στην αρχαία Ελλάδα έως τον Γαλιλαίο. Ο καταιγισμός  των λογικών παραδόξων αφορούσε κυρίως  τα άπειρα αριθμοσύνολα και τις ιδιότητες τους. Φαινόταν ότι ιδιότητες των πεπερασμένων συνόλων πάνω στις οποίες στηριζόταν η εμπειρία μας δεν βρίσκαν εφαρμογή στο άπειρο. Σωστά οναμάστηκαν :” παράδοξα του απείρου».Πολλά τέτοια  θα βρείτε στην ανάρτηση : ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ αυτού του ιστολογίου. Φάνηκε λοιπόν ότι η γεννεσιουργός αιτία των παραδόξων ήταν η έννοια του απείρου. Το άπειρο φάνταζε λοιπόν απροσπέλαστο στην ανθρώπινη λογική. Γεμάτο με αδιέξοδα και αντινομήσεις. Έσπαγε τα  όρια της πεπερασμένης αλήθειας και περιείχε ιδιότητες απόλυτα αντίθετες με τις κοινά αποδεκτές. Τα μαθηματικά αποδεικνυόταν ανίσχυρα να  δαμάσουν το άπειρο. Φάνηκε η οριοθέτηση των δυνατοτήτων της μαθηματικής λογικής. Η λογική αυτή έχει όρια και δεν εφαρμόζεται στα άπειρα σύνολα. Η θεοποίηση του ορθολογισμού δέχεται πλήγμα . Πόσο πεπεραμένη και οριοθετημένη είναι η λογική μας; Πόσες κατραπακιές δεν παθαίνει στο άπειρο με βάρκα την ελπίδα;Κατά τη γνώμη μου οι θεραπείες που προτάθηκαν από τότε δεν δίνουν πειστικές απαντήσεις σε  αυτούς τους προβληματισμούς. Δεν αναιρούν τα παράδοξα , ούτε θεραπεύουν την αδυναμία της λογικής μας. Απλά μεταθέτουν το πρόβλημα. Φανερώνουν νέες θεωρήσεις ανώδυνες και λογικά τακτοποιημένες , χωρίς  όμως να μελετούν τις παραδοξότητες. Ήταν πράγματι μια σοβαρή κρίση στα θεμέλια των μαθηματικών. Από τότε κάναμε ότι καλύτερο μπορούσαμε . Δημιουργήσαμε μια αξιωματική συνολοθεωρία που να ξεπερνά το σκόλοπα της αντιφατικής καντοριανής θεωρίας. Προσεγγίσαμε τα άπειρα αριθμοσύνολα με διαφορετικές προσεγγίσεις που να μη συγκρούονται με όσα κατανοούμε .Σώσαμε το γόητρό μας με όσο το δυνατό λιγότερες απώλειες. Μπράβο μας!  Κανείς λόγος όμως για την ταμπακέρα. Πάψαμε να κοιτάμε το άπειρο και νομίσαμε ότι τελειώσαμε. Κρύψαμε τα παράδοξά του κάτω από το χαλί και πανηγυρίζουμε για την κάθαρση που πετύχαμε. Το άπειρο όμως  μας κοιτά και χαμογελά πονηρά. Τα παράδοξά του μας υποδεικνύουν την αδυναμία της πεπερασμένης λογικής μας. Και φανταστείτε ότι ζούμε σε μια εποχή θεοποίησης του ορθολογισμού. Και φανταστείτε ότι τα μαθηματικά είναι ο βασιλιάς της λογικής.Το άπειρο συνεχίζει να μειδιά.. Καλά έχουν γράψει :

» Το άπειρο βρίσκεται  πέρα από τη φαντασία «

  » Άπειρο :Τα μαθηματικά της αθανασίας «.