Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε στη Σάμο και είναι από τους πρώτους μεγάλους μαθηματικούς της αρχαιότητας που εμφανίζεται χρονολογικά μετά τον Θαλή τον «πατέρα των μαθηματικών». Ταξίδεψε στην Ελλάδα , στην Αίγυπτο , στην Ασία για να πλουτίσει τις γνώσεις του και εγκαταστάθηκε στα 530 στην Κρότωνα της Ν. Ιταλίας. Στην ελληνική αυτή πόλη ίδρυσε την σχολή του και είχε 300 μαθητές. Δίδασκε μαθηματικά , φιλοσοφία , φυσικές επιστήμες και μουσική. Η σχολή αυτή εξελίχτηκε σε μια φιλοσοφική , θρησκευτική και πολιτική κίνηση, τα μέλη της οποίας προερχόταν από την αριστοκρατική τάξη. Τα μέλη ορκιζόταν με βαριούς όρκους ότι δεν θα μεταδώσουν σε κανέναν τις γνώσεις και ιδέες που μάθαιναν. Η σχολή χαρακτηριζόταν για την μυστικότητα της. Στα 495 π.Χ τα κτίρια της σχολής καταστράφηκαν από πολιτικούς τους αντιπάλους .Ο Πυθαγόρας για να γλιτώσει του διωγμού κατέφυγε στο Μεσοπόντιο της Ιταλίας όπου πέθανε.
Είναι γνωστή η σχέση του Πυθαγόρα με την αριθμοσοφία την αναζήτηση της ιερότητας και του συμβολισμού των αριθμών στην ζωή των ανθρώπων. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι αριθμοί μπορούν να εξηγήσουν τη δομή του σύμπαντος αφού « οι αριθμοί είναι η ουσία των όντων».Το ένα για τους πυθαγόρειους δήλωνε την μία ενιαία αρχή που δημιούργησε το σύμπαν. Το δύο εκφράζει την σχέση και την κοινωνία ατόμων διότι παραλληλίζεται με το ζεύγος άντρα – γυναίκα στο γάμο. Ιερός αριθμός θεωρείται το 7 και γενικά αποδίδονται μαγικές ιδιότητες σε διάφορους αριθμούς.Σημαντική είναι η συμβολή του Πυθαγόρα και στη μουσική. Στη σχολή του δίδασκε το λεγόμενο «τετραόδιο» : Ανάγνωση , γραφή , μαθηματικά και μουσική για μια ολοκληρωμένη παιδεία όπως πίστευε. Ήταν ο πρώτος στην ιστορία της μουσικής και των μαθηματικών που μελέτησε το ρυθμό ενός μουσικού κομματιού χωρίζοντάς το σε ½ και2/3 , ¾ … με τη βοήθεια παλλόμενων χορδών και παράγοντας «αρμονικές συγχορδίες». Πίστευε ότι οι αριθμοί περιέχουν αρμονία και ρυθμό κατάλληλο .
•Το πυθαγόρειο θεώρημα θεωρείται ένα από τα πιο σημαντικά και χρήσιμα θεωρήματα της γεωμετρίας. Πήρε το όνομα του Πυθαγόρα γιατί αποδείχθηκε για πρώτη φορά από αυτόν ή από κάποιον μαθητή της Πυθαγόρειας Σχολής. Η μυστικοπάθεια της σχολής δεν μας αφήνει περιθώρια να το ξεδιαλύνουμε .Λέγεται μάλιστα κατά την παράδοση ότι οι θεοί ανακοίνωσαν την απόδειξη στον Πυθαγόρα κι εκείνος για αν τους ευχαριστήσει έκανε θυσία 100 βοδιών. Γι’ αυτό αναφέρεται και ως «θεώρημα της εκατόμβης».
•Από τότε το θεώρημα μεταφράστηκε σε όλες σχεδόν τις γλώσσες και περιεχόταν και περιέχεται σε όλα τα κλασσικά βιβλία στοιχειωδών μαθηματικών.
•Διαθέτει επίσης το ρεκόρ περισσότερων τρόπων απόδειξης γιατί ενίοτε πολλοί μαθηματικοί από διάφορες χώρες του κόσμου έβρισκαν μια καινούρια απόδειξή του. Το 1940 η Elisha Scott Loomis συγκέντρωσε 365 αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος.
Oι άρρητοι αριθμοί αποτελούν μια ανακάλυψη των Πυθαγορείων. Αποτέλεσε όμως αφορμή για μια σημαντική κρίση στα θεμέλια της πυθαγόρειας φιλοσοφίας και εν γένει της αρχαιοελληνικής θεώρησης της αριθμητικής. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν την ουσία κάθε όντος κι ότι κάθε ον μπορεί να αναχθεί σε φυσικούς αριθμούς. « Καθετί που γνωρίζουμε έχει έναν (φυσικό )αριθμό , αλλιώς θα ήταν αδύνατο να το γνωρίσουμε και να το καταλάβουμε με τη λογική»., έγραφε στα 450 π.Χ ο νεοπυθαγόρειος Φιλόλαος.
oΗ απόδειξη της ύπαρξης άρρητων αριθμών θεωρείται μια από τις σπουδαίες ανακαλύψεις των Πυθαγορείων. (Πυθαγόρας 582 έως 497 π.Χ περίπου). Η ανακάλυψή τους στηρίζεται στην αναζήτηση του μήκους της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους 1 η κάθε μία. Η ιδέα ότι το μήκος της υποτείνουσας αυτής δεν μπορεί να αναχθεί σε φυσικό αριθμό οδήγησε στην έννοια των άρρητων αριθμών και αποτέλεσε μια ανατροπή της πυθαγόρειας φιλοσοφίας για τους φυσικούς αριθμούς. Πως η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές που εκφράζονται με φυσικό αριθμό και μάλιστα το 1 που είναι η αρχή του Παντός δεν εκφράζεται με κανένα φυσικό αριθμό; Θεωρήθηκε μια αληθινή συμφορά για τις θεμελιώδεις φιλοσοφικές αντιλήψεις για τον κόσμο και τη φύση.
Χαρακτηριστικοί είναι οι θρύλοι που συνδέονται με την ανακάλυψη των άρρητων αριθμών. Λέγεται λοιπόν ότι ανακαλύφθηκαν για πρώτη φορά από τον Πυθαγόρειο Ίπασσο , όταν αυτός μαζί με άλλους πυθαγόρειους ταξίδευαν με πλοίο. Η αντίδραση τους ήταν να πνίξουν τον Ίπασσο στα νερά της θάλασσας και να συμφωνήσουν μεταξύ τους να μην διαδώσουν την ανακάλυψη προς τα έξω.
