Η παρακάτω πειραματική δράση πραγματοποιήθηκε στις 12 και 15 Φεβρουαρίου 2018 σε διδακτικές ώρες της γεωμετρίας Α΄ Λυκείου. Αφορούσε στην διδακτική ενότητα της γεωμετρίας : » Άθροισμα των γωνιών τριγώνου». Συγκεκριμένα στόχευε σε μια επέκταση της διδακτικής ενότητας ώστε να μελετηθούν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες και να διαπιστωθεί ότι σε αυτές το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου δεν ισούται με 2 ορθές , όπως στην ευκλείδεια.
Χρόνος υλοποίησης δραστηριότητας : Σε 2 διδακτικές ώρες στις 12 και 15 Φεβρουαρίου 2018.
Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης: Οι μαθητές χωρίστηκαν σε ομάδες των 5 ατόμων.
Στο πρώτο μάθημα συζητήθηκε το ζήτημα των μη ευκλείδειων γεωμετριών , της ελλειπτικής και της υπερβολικής που προέκυψαν από την ανεξαρτησία του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη.Επίσης συζητήσαμε για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου που είναι μεγαλύτερο από δύο ορθές στην ελλειπτική γεωμετρία , μικρότερο από δύο ορθές στην υπερβολική και ίσο στην ευκλείδεια γεωμετρία. Η συγκεκριμένη πειραματική δράση που πραγματοποιήθηκε στην δεύτερη διδακτική ώρα έρχεται να επιβεβαιώσει πειραματικά ότι αυτό το συμπέρασμα των μη ευκλείδειων γεωμετριών δεν είναι απολύτως εξωπραγματικό και αντίθετο από την εποπτική μας διαίσθηση , αν κι έτσι φαίνεται σε πρώτη ανάγνωση. Το πρώτο συμπέρασμα μπορεί να επαληθευτεί στην περίπτωση που το επίπεδο μας θεωρηθεί η κοίλη επιφάνεια μιας σφαίρας και το δεύτερο αν το επίπεδο θεωρηθεί η επιφάνεια ενός υπερβολοειδούς. Σε κάθε ομάδα δόθηκαν τα παρακάτω χειραπτικά υλικά:
1. Μια μπάλα μπάσκετ
2. χαρτί , ψαλίδι , μολύβι
3. ζιλοτέιπ
4. μοιρογνωμόνιο
Αρχικά κόψαμε πάνω σε μια κόλλα Α4 τρεις ισομήκεις λωρίδες χαρτιού οι οποίες προσομοιώνουν στο ευκλείδειο επίπεδο τις ευθείες γραμμές. Πάνω στο «κοίλο» επίπεδο της ελλειπτικής γεωμετρίας (π.χ επιφάνεια μιας σφαίρας) οι ευθείες μετασχηματίζονται σε καμπυλωτές γραμμές. Αυτό φαίνεται αν κολλήσουμε τις λωρίδες πάνω στην κοίλη επιφάνεια μιας μπάλας μπάσκετ (σφαίρας). Στη συνέχεια φροντίζουμε να τις κολλήσουμε με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν τρίγωνο (σφαιρικό τρίγωνο).
Κόψαμε περιμετρικά το περίγραμμα ενός μοιρογνωμονίου από μια φωτοτυπία του. Με τη βοήθεια αυτού του «εύκαμπτου» μοιρογνωμονίου μετρήσαμε τις γωνίες του τριγώνου και τις βρήκαμε ίσες αντίστοιχα με 80 , 70 , 70 μοίρες. Το άθροισμα τους λοιπόν ισούται με 220 μοίρες , είναι δηλαδή μεγαλύτερο από δύο ορθές. Στην ελλειπτική αυτή γεωμετρία του Ρίμαν στηρίχτηκε η γενική θεωρία σχετικότητας του Αϊστάιν καθώς η γη καμπυλώνει το χωροχρόνο και το σύμπαν υπακούει σε αυτήν την γεωμετρία.
Με παρόμοια διαδικασία διαπιστώσαμε ότι στην υπερβολική γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου είναι μικρότερο από δύο ορθές.
Διδακτικά οφέλη : Υπάρχουν απόψεις ότι πρέπει στο ελληνικό σχολείο να διδάσκονται και οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Η συγκεκριμένη πειραματική δράση είναι ευκαιρία να συζητηθεί η επιστημολογική αναγκαιότητα εισαγωγής της ελλειπτικής γεωμετρίας από τον Ρίμαν και της υπερβολικής από τον Γκάους αρχικά και τους Μπολιάι και Λομπατσέφσκι στη συνέχεια. Μελετήθηκαν οι προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη μέχρι την τελική απόδειξη της ανεξαρτησίας του. Είδαμε την αντικατάσταση του αιτήματος αυτού από τα αντίστοιχα στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Συζητήσαμε τις επιστημολογικές μεταμαθηματικές έννοιες της ανεξαρτησίας και μη αντιφατικότητας ενός τυπικού αξιωματικού συστήματος. Κυριότατα όμως ασχοληθήκαμε με την πειραματική επιβεβαίωση του αθροίσματος γωνιών τριγώνου στην ελλειπτική και υπερβολική γεωμετρία. Οι μαθητές αντιλήφθηκαν ότι τα συμπεράσματα τους δεν είναι απολύτως έξω από την εμπειρική πραγματικότητα αλλά βρίσκουν εφαρμογή σε διαφορετικά είδη επιπέδων. Συζητήθηκε επίσης η αξιοποίηση της ελλειπτικής γεωμετρίας στην γήινη σφαίρα και γενικότερα στη θεωρία σχετικότητας στην οποία βρίσκει εφαρμογή.
