Αποσπάσματα από την Ιστορία των Μαθηματικών
Η σελίδα θα περιλάβει θέματα από την εξέλιξη των Μαθηματικών. Θα αναφερθούμε στην αρχαιότητα έως και τον 19ο αιώνα. Ακροθιγώς θα αναφερθούμε στα παρακάτω: τα «Στοιχεία» του Eυκλείδη και η σημασία του “5ου αιτήματος” του Ευκλείδη στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, καθώς και τη μέθοδος εξάντλησης του Αρχιμήδη. Η Υπερβολική και Ελλειπτική Γεωμετρία καιη αξιωματική θεμελίωση των Γεωμετριών από τον Hilbert θα ακολουθήσουν. Ακόμα θα αναφερθούμε στο Πυθαγόρειο θεώρημα, ενδεικτικές πολλαπλές αποδείξεις και τις προεκτάσεις του στις κατασκευές Πυθαγόρειων δένδρων. Ο αριθμός φ, ο αριθμός π, τα χρυσά ορθογώνια, ακολουθία Fibonacci, το τρίγωνο του Pascal θα είναι επίσης καποια από τα θέματα που θα συζητηθούν στη συνέχεια.
http://en.wikipedia.org/wiki/School_of_Athens (Raphael, 1483-1520)
Τι είναι τα Μαθηματικά; Πώς προέκυψαν μέσα στην Ιστορία;
http://thalesandfriends.org/el/2013/11/18/anthropini-skepsi-paideia-kai-mathimatiki-skepsi/
«Αν θέλετε να μπείτε στον κόπο να μου εξηγήσετε ακόμα και τους κανονικούς μετασχηματισμούς θα βρείτε έναν ευγνώμονα και ευσυνείδητο ακροατή. Αν όμως λύσετε και το πρόβλημα των κλειστών γραμμών του χρόνου, θα σταθώ μπροστά σας με σταυρωμένα χέρια. Πίσω από αυτό υπάρχει κρυμμένο κάτι που είναι αντάξιο του ιδρώτα των καλυτέρων.» — Επιστολή του Αϊνστάιν προς τον Καραθεοδωρή, 1916
| ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ |
http://users.ntua.gr/dimour/euclid/common/indexelements.html
Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (Στοιχεῖα) είναι μια μαθηματική και γεωμετρική διατριβή που αποτελείται από 13 βιβλία γραμμένα από τον Ευκλείδη στην Αλεξάνδρειαπερίπου το 300 π.Χ.. Περιλαμβάνει μια συλλογή ορισμών, αξιωμάτων και θεωριών που ορίζουν τη μαθηματική σκέψη από τότε. Τα περιεχόμενα καλύπτουν τηνευκλείδεια γεωμετρία, αλλά και την αρχαιοελληνική θεωρία των αριθμών, όπως και ένα αλγεβρικό σύστημα που έγινε γνωστό ως «γεωμετρική άλγεβρα» και το οποίο είναι αρκετά ισχυρό ώστε να επιλύει πολλά αλγεβρικά προβλήματα, όπως αυτό της εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας.
Το όνομα «Στοιχεία» είναι ο πληθυντικός του «στοιχείον». Σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο όρος «στοιχείον» σημαίνει ένα θεώρημα που υπεισέρχεται σε άλλα προβλήματα του κλάδου του και βοηθά να αποδειχθούν πολλά άλλα θεωρήματα. Επειδή η λέξη «στοιχείον» στην αρχαία ελληνική γλώσσα σημαίνει και «γράμμα», υποδηλώνεται ότι τα θεωρήματα των Στοιχείων θα πρέπει να τα αντιλαμβανόμαστε ως έχοντα την ίδια σχέση με τη γεωμετρία όπως τα γράμματα με τη γλώσσα. Οι μεταγενέστεροι σχολιαστές αποδίνουν μια ελαφρώς διαφορετική σημασία στον όρο, τονίζοντας το πώς οι προτάσεις προχωρούν με μικρά βήματα και «χτίζουν» επάνω σε προηγούμενες προτάσεις με μια καλώς καθορισμένη σειρά.
Το 5ο αίτημα του Ευκλείδη (– «Αξίωμα Παραλληλίας»)
Αξίωμα Playfair
Από δοθέν σημείο εκτός δοθείσης γραμμής (ευθείας), διέρχεται το πολύ μία γραμμή (ευθεία), που δεν τέμνει την δοθείσα.
(Το αξίωμα αυτό, λέγεται και Αξίωμα Playfair, διότι αυτός μελέτησε την ισοδυναμία της πρωτότυπης διατύπωσης, του Ευκλείδη, και της δικής του, η οποία είναι περισσότερο γνωστή στα σημερινά σχολικά εγχειρίδια.)
Κατασκευές με το Sketchpad ελλειπτικών και υπερβολικών τμημάτων
Στον φάκελο ΕΓΓΡΑΦΑ >> ΥΛΙΚΟ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΧΡΟΝΙΑΣ 13-14>> ΑΡΧΕΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ SKETCHPAD-GEOGEBRA έχουν αναρτηθεί τα αρχεία gsp «Minkowski Toolkit» (http://www.dynamicgeometry.com/General_Resources/Advanced_Sketch_Gallery/Beyond_Euclid/Minkowskian_Geometry.html
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ -BIΒΛΙΟΝ Ι -Πρότασις μζ΄ [47]
Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.
http://users.ntua.gr/dimour/euclid/book1/postulate47.html
ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ
ΤΜΗΜΑ Β1-Β3
Στον φάκελο ΕΓΓΡΑΦΑ >>ΥΛΙΚΟ ΣΧΟΛΙΚΗΣ ΧΡΟΝΙΑΣ 2013-14 εχει αναρτηθεί το αρχείο ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ. Να το μελετήσετε σύμφωνα με τον τρόπο που είπαμε στην τάξη.
Κατασκευάστε ένα Πυθαγόρειο δένδρο
http://learningcenter.dynamicgeometry.com/x447.xml
Pascal triangle -Sierpinski triangle
| Πυθαγόρειες Τριάδες
Δευτέρα, 18 Νοεμβρίου 2013
http://en.wikipedia.org/wiki/File:PrimitivePythagoreanTriplesRev08.svg |
Χρυσή αναλογία- Χρυσή τομή -Αριθμός φ -Ακολουθία Fibonacci:
Στα μαθηματικά τέσσερις αριθμοί a, b, c, d ορίζουν μια αναλογία όταν . Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν ότι «οι αριθμοί είναι η ουσία των όντων» και οι αναλογίες διέπουν τη δημιουργία της μορφής του κόσμου. Ως εκ τούτου η αρμονία στη φύση συνδέεται κατά τους Πυθαγόρειους με την αναλογία των αριθμών 1, 2, 3, 4 και οι μελέτες των φαινομένων και οι θεωρίες τους αποκτούν νόημα και δομή μέσα στα πλαίσια της αριθμοθεωρίας των ρητών.
Σύμφωνα με ιστορικές πηγές, ο μαθηματικός και φιλόσοφος Πυθαγόρας ανακάλυψε την έννοια της αρμονίας μελετώντας τις αναλογίες μέσα από τους διαφορετικούς ήχους που εκπέμπουν τα σφυριά και τα αμόνια ενός σιδηρουργού, έννοια που σήμερα μελετάται μέσω της ανάλυσης Fourier. Σύμφωνα με τον Jeans (1968) επισημαίνεται ότι και Κινέζοι φιλόσοφοι της εποχής του Κομφούκιου απέδιδαν στους μικρούς αριθμούς 1, 2, 3, 4 μεταφυσικές ιδιότητες και τους συνέδεαν με την έννοια της τελειότητας.
Το πρόβλημα της διαίρεσης ενός τμήματος σε δύο μέρη έτσι ώστε το μεγαλύτερο τμήμα να είναι μέση ανάλογος ανάμεσα σε ολόκληρο το τμήμα και το μικρότερο τμήμα –γνωστό ως πρόβλημα της χρυσής τομής ή χρυσής αναλογίας– ανάγεται στην σχολή των Πυθαγορείων ή στον Θεαίτητο (386 π.Χ). Αναλυτικότερα, δύο μεγέθη α, β θεωρούνται ότι έχουν τη χρυσή αναλογία, εάν ο λόγος του συνολικού μεγέθους προς το μεγαλύτερο μέγεθος είναι ίσος με το λόγο του μεγαλύτερου μεγέθους προς το μικρότερο. Τo «φ», ο μαθηματικός συμβολισμός της χρυσής αναλογίας, είναι ένας άρρητος αριθμός και έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά επαναλαμβανόμενα. Με ακρίβεια 150 δεκαδικών ψηφιών, ο αριθμός αυτός είναι ίσος με : 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 28621 35448 62270 52604 62818 90244 97072 07204 18939 11374 84754 08807 53868 91752 12663 38622 23536 93179 31800 60766…
Ο Ευκλείδης στην πρόταση 11 του II βιβλίου των Στοιχείων του, αναφέρεται στην χρυσή τομή.
(TLG:Euclides Elementa, Book 2 demonstratio, line1).
Συναντάμε την χρυσή αναλογία στα έργα τέχνης των αρχαίων Ελλήνων αφού πίστευαν πως ένας από τους λόγους ωραιότητας ήταν και η «εύμετρη χάραξη». Για παράδειγμα: ο Φειδίας (500π.Χ.-432π.Χ.), γλύπτης και μαθηματικός, μελέτησε τον αριθμό φ (=1,61803) και τον εφάρμοσε στο σχέδιο για την κατασκευή του Παρθενώνα. Ομοίως ο Πλάτωνας (428πΧ -347πΧ) στον «Τίμαιο» θεωρεί το χρυσό τμήμα σαν το κλειδί για την φυσική του κόσμου.
To 1200 μ.Χ ο Leonardo της Piza (Filius Bonacci) αναπτύσσει την ακολουθία Fibonacci. Ο Leonardo da Vinci (1452-1519μ.Χ) χρησιμοποιεί την χρυσή τομή στα έργα του και σημειώνει στο πίσω μέρος ενός πίνακα «μη μαθηματικός να μην διαβάσει τα στοιχεία του έργου μου, παραφράζοντας την Πλατωνική ρύση «μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» της Ακαδημίας»(Φίλη Χ., 2000).
Οι καλλιτέχνες της αναγέννησης ομοίως χρησιμοποίησαν στα έργα τους τη χρυσή αναλογία.
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
(διαβάστε το υπόλοιπο άρθρο στο PDF αρχείο αναρτημένο στα Πειραματικά Μαθηματικά). http://eclass.sch.gr/courses/G115117/ και στο Portfolio διδακτικών δράσεων αναρτημένο στο https://www.academia.edu/3517291/_ (σελίδα 233-245) Πατσιομίτου, Σ. (2012) Διδακτικές Προτάσεις: Τα Μαθηματικά στον Πραγματικό Κόσμο . Αυτό έκδοση ISBN 978-960-93-4456
