Όμιλος Fractals: Από το 0 στο άπειρο —Μετασχηματισμοί στο επίπεδο και στον χώρο
Σκοπός του ΟΜΙΛΟΥ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (http://eclass.sch.gr/courses/G10110/ ) είναι να δώσει την δυνατότητα στους μαθητές να πειραματιστούν, να διερευνήσουν, να κατανοήσουν και να συνδέσουν έννοιες των Μαθηματικών για τις οποίες έχουν πληροφορηθεί στην τάξη των Μαθηματικών ή μέσω του διαδικτύου, και λόγω της προγραμματισμένης διδασκαλίας από το Πρόγραμμα Σπουδών της τάξης αντιμετωπίζουμε δυσκολία να τις διερευνήσουμε ή να επεκταθούμε σε αυτές. Το γενικότερο πνεύμα είναι να εξεταστεί ένας άλλος τρόπος παρουσίασης εννοιών που είτε είναι δύσκολες, είτε δυσκολεύουν τους μαθητές μας, με κύριο στόχο την ανανέωση και εμπλουτισμό των αναλυτικών προγραμμάτων με ενδιαφέροντα, διασκεδαστικά και προκλητικά θέματα των μαθηματικών σε επίπεδο όλων των τάξεων του Γυμνασίου.
Βασικός στόχος:
• η αλληλεπίδραση με τις ημιπροκατασκευασμένες (ή προκατασκευασμένες) Συνδεόμενες Οπτικές Ενεργές Αναπαραστάσεις (Linking Visual Active Representations) (π.χ., Patsiomitou, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012) του λογισμικού Geometerʼs Sketchpad να επιφέρει την ανάπτυξη δομικής και εννοιολογικής ικανότητας, ώστε να παράγουν συνδεόμενες αναπαραστάσεις νοητικά και διαδικαστικά (π.χ., Patsiomitou, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012), μέσω των οποίων θα αναπτύξουν το επίπεδο γεωμετρικής σκέψης.
Επιμέρους στόχοι
• η επίτευξη της κατανόησης των προς επεξεργασία εννοιών με τρόπο ενεργητικό
• η προσέγγιση εννοιών που αναφέρονται στην άλγεβρα, γεωμετρία και τον απειροστικό λογισμό
• η σύνδεση της άλγεβρας με την γεωμετρία μέσω γεωμετρικών προβλημάτων που έχει ως αποτέλεσμα να συνδέσουν οι μαθητές τους δυο κλάδους των μαθηματικών
• η επίλυση προβλημάτων πραγματικού πλαισίου
• η ανάπτυξη ικανοτήτων μοντελοποίησης, αναπαράστασης, εφαρμογής λύσης προβλημάτων πραγματικού κόσμου
• η δημιουργία γόνιμου εδάφους για αυστηρή θεμελίωση και ανάπτυξη υψηλής αφαιρετικής ικανότητας μέσα από τις δραστηριότητες με γεωμετρία και την χρήση κατάλληλου λογισμικού.
Από την ιστοσελίδα http://eclass.sch.gr/modules/course_description/?course=G10110
παρατίθενται οι παρακάτω πληροφορίες
Διερεύνηση και κατασκευή φράκταλ αντικειμένων σε στατικά και δυναμικά μέσα
Α σκέλοςΕισαγωγή
Ο όμιλος Μαθηματικών του 1ου Πειραματικού Γυμνασίου Αθηνών έχει στόχο να αφυπνίσει τους μαθητές του για την ύπαρξη νέων κλάδων των μαθηματικών που δεν περιέχονται στο Πρόγραμμα Σπουδών.
Είναι γνωστό ότι για να βελτιώσουμε τη μαθηματική εκπαίδευση στα σχολεία μας πρέπει να βρούμε τρόπους στους οποίους οι δραστηριότητες να χρησιμοποιούνται ως εργαλεία για την εξερεύνηση μαθηματικών εννοιών από τους μαθητές .
Ένα νέο πεδίο των μαθηματικών που συγκεντρώνει το ενδιαφέρον πολλών εκπαιδευτικών και ερευνητών στην Ελλάδα και το εξωτερικό, αφορά τα μαθηματικά που παράγονται από τα αντικείμενα της φράκταλ (fractal) γεωμετρίας (π.χ, Πατσιομίτου, 2005; Patsiomitou, 2007). Ευρύτερος στόχος είναι η διερεύνηση και στη συνέχεια η συζήτηση περί της καταλληλότητας ή όχι των νέων μαθηματικών αντικειμένων στην εκπαίδευση ξεκινώντας από το Γυμνάσιο. Επομένως, η συζήτηση για τον εμπλουτισμό του υπάρχοντος Προγράμματος Σπουδών με την εισαγωγή νέων μαθηματικών κλάδων στην εκπαίδευση των μαθηματικών.Σύντομη ιστορική αναδρομή-τι είναι τα φράκταλς
Με τα fractals ασχολείται ο σύγχρονος κλάδος των Μαθηματικών που γνωρίζει μεγάλη ανάπτυξη τα τελευταία 20 χρόνια, υποσχόμενος σημαντική εξέλιξη στις επιστήμες του 21ου αιώνα.
Τα αντικείμενα που καλούνται σήμερα fractals ανακαλύφθηκαν και εξερευνήθηκαν πολύ πριν δημιουργηθεί ο όρος. Πολλοί μαθηματικοί (π.χ Karl Weierstrass, Georg Cantor, Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (Constantin Caratheodory), Felix Hausdorff) ανακάλυψαν φράκταλ αντικείμενα. Το 1975 ο Mandelbrot διαμόρφωσε τη λέξη fractal για να περιγράψει τα αυτοόμοια αντικείμενα που δεν είχαν σαφή διάσταση, από το Λατινικό fractus, που σημαίνει σπασμένος ή ανώμαλος, και όχι από τη λέξη κλασματική (fractional), όπως θεωρείται συνήθως.
Δραστηριότητες με φράκταλ αντικείμενα
Οι δραστηριότητες με φράκταλ αντικείμενα αποσκοπούν στην κατανόηση των μαθητών αναφορικά με
(α) την περιγραφή, προσδιορισμό και μέτρηση των μαθηματικών μοντέλων της φράκταλ γεωμετρίας
(β) το χαρακτηριστικό της αυτοομοιότητας που αφορά τα φράκταλ αντικείμενα.
Το περιβάλλον των φράκταλ στο οποίο ο μαθητής καταφέρνει να λύσει ένα πρόβλημα, και να οικοδομήσει και συνδέσει έννοιες μεταξύ τους που περιέχονται σε διάφορα σημεία του αναλυτικού προγράμματος, χρησιμοποιεί ποικίλες αναπαραστάσεις, και αξιολογεί τεχνικές επίλυσης.
Οι δραστηριότητες με φράκταλ αντικείμενα περιλαμβάνουν τις διαδικασίες διερεύνησης και κατασκευής φράκταλ αντικειμένων
(α) Η διαδικασίας διερεύνησης των φράκταλ θα περιλαμβάνει :
1. Χαρακτηριστικά παραδείγματα φυσικών αντικειμένων που εκδηλώνεται η
αυτοομοιότητα
2. Κατανόηση της έννοιας της κλασματικής διάστασης
3. Διερεύνηση των μαθηματικών φράκταλς (π.χ Τρίγωνο του Sierpinski (ή Sierpinski Sieve), Χαλί του Sierpinski (Sierpinski Carpet), Το Σφουγγάρι του Menger, Χιονονιφάδα του Koch (Koch Snowflake), το Box Fractal (anticross-stitch curve, Dragon Καμπύλη)
Κατασκευές εικόνων fractals (Julia, Mandelbrot sets) με χρήση λογισμικών κατασκευής φράκταλ εικόνων
(β) Η διαδικασία κατασκευής φράκταλ θα διαχωριστεί σε
1. διαδικασία κατασκευής φράκταλ αντικειμένων σε στατικά μέσα
2. διαδικασία κατασκευής φράκταλ σε λογισμικά (π.χ σε γλώσσα Logo ή σε λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας όπως το The Geometerʼs Sketchpad)
Οι μαθηματικές έννοιες που έχουν σχέση με την κατασκευή και την εξερεύνηση ενός fractal διαχωρίζονται σε γεωμετρικές και αλγεβρικές, η οποία καλύπτει σχεδόν όλο το φάσμα των εννοιών που περιέχονται στο πρόγραμμα σπουδών των τάξεων του Γυμνασίου.
Επισημαίνεται ότι η κατασκευή των φράκταλ σε όλη την έκταση των υπαρχόντων αναλυτικών προγραμμάτων συμπεριλαμβανομένου του Γυμνασίου, βοηθά τους μαθητές να αναπτύξουν λογικομαθηματικές ικανότητες ανώτερου επιπέδου Van Hiele από ότι μέσα από τα παραδοσιακά μαθηματικά.
Β σκέλος
Υλοποίηση της διαδικασίας
Οι ενδιαφερόμενοι μαθητές θα διαχωριστούν σε ομάδες, οι οποίες θα επιμερίσουν τους στόχους που θα τεθούν στην αρχή της διαδικασίας κατασκευής και εξερεύνησης των φράκταλ αντικειμένων.
Για την υλοποίηση της διαδικασίας είναι αναγκαία η υποστήριξη της με
• κατάλληλη υλικοτεχνική υποδομή που αφορά τα στατικά μέσα (π.χ χαρτόνια, υλικά χρωματισμού των επιφανειών) καθώς και
• τεχνολογική υποδομή, όπως τα προτεινόμενα λογισμικά (γλώσσα Logo, Geometerʼs Sketchpad), και σύνδεση με διαδίκτυο. Δραστηριότητες στη γεωμετρία των φράκταλ μπορείτε να βρείτε και στην ιστοσελίδα
Δραστηριότητες με φράκταλ αντικείμενα
Από τις ανακοινώσεις του Ομίλου Μαθηματικής σκέψης παρατίθενται οι παρακάτω εικόνες ενδεικτικές των δραστηριοτήτων στην τάξη (http://eclass.sch.gr/modules/announcements/announcements.php?course=G10110)
http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A6%CF%81%CE%AC%CE%BA%CF%84%CE%B1%CE%BB
Τι είναι τα reptiles (επαναλαμβανόμενα πλακίδια) ;
Μια ειδική περίπτωση επίστρωσης με tiles είναι τα rep-tiles (replicating tiles) δηλ.επαναλαμβανόμενα πλακίδια (Πατσιομίτου, 2010, σελ. 245)
Εργασία σε στατικά και δυναμικά μέσα
Ενδεικτικές εργασίες μαθητών σε στατικά μέσα
Στον φάκελο ΕΓΓΡΑΦΑ >> ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ …2013-14 εχουν αναρτηθεί ενδεικτικές εργασίες μαθητών στη διάρκεια της διδασκαλίας.
| ΠΕΝΤΟΜΙΝΟ rep -tile
Τρίτη, 26 Νοεμβρίου 2013
|
Επαναλαμβανόμενα πλακίδια σε στατικά και δυναμικά μέσα
| Κατασκευή rep-tile στο GSP από μαθητή του ΟΜΙΛΟΥ
Τρίτη, 26 Νοεμβρίου 2013
|
Κατασκευή πλακοστρώσεων με συνδυασμούς πολυγώνων
http://www.mathforum.org/pubs/boxer/tess.html
http://www.mathforum.org/sum95/suzanne/whattess.html
| Κατασκευή πλακόστρωσης
Τρίτη, 03 Δεκεμβρίου 2013
|
 |
Πώς ολοκληρώνεται αυτή η πλακόστρωση;
(Περιέχεται στο κεφ. 7 του βιβλίου «Μαθαίνω Μαθηματικά με το Geometer’s Sketchpad»)
Κατασκευές πλακοστρώσεων [επιστρώσεων επιπέδου] σε στατικό μέσο [περιβάλλον χαρτιού-μολυβιού]
Πλακόστρωση με χρήση λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας
Κατασκευή πλακόστρωσης σε δυναμικό μεσο απο μαθητή του ΟΜΙΛΟΥ
Κατασκευές και υπολογισμοί σχημάτων tangram σε περιβάλλον χαρτιού-μολυβιού
Κατασκευές tangram σε applet (puzzles)
http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=25012
| Κατασκευές αναπτυγμάτων
Τρίτη, 21 Ιανουαρίου 2014
|
 |
Συνεργασία μαθητών για την κατασκευή των αναπτυγμάτων των πλατωνικών στερεών
