Διακρίνουσα ονομάζουμε την ποσότητα Δ=β² -4αγ της εξίσωσης του 2ου βαθμού

Το όνομα αυτό δίνεται επειδή η αλγεβρική αυτή ποσότητα μας βοηθά να διακρίνουμε το είδος των ριζών της εξίσωσης. Η διακρίνουσα είναι, ως γνωστόν, μετοχή ενεστώτα του ρήματος διακρίνω (Διακρίνων-Διακρίνουσα-Διακρίνον). Σχεδόν όλοι γνωρίζουν πως η διακρινουσα(Δ) στα Μαθηματικά είναι ένας πράγματος αριθμός στενά συνυφασμένος με τη δευτεροβάθμια πολυωνυμία εξίσωση.

Οι μαθητές διδάσκονται για πρώτη φορά τη δευτεροβάθμια εξίσωση, όταν φοιτούν στην τρίτη Γυμνάσιου και για δεύτερη φορά όταν φοιτούν στην πρώτη Λυκείου. Φτάνοντας μάλιστα στο Λύκειο πολλοί από αυτούς έχουν στο βαλιτσάκι της γνώσης που κουβαλούν μαζί τους: «βόδια στο τετράγωνο πλην τέσσερις αγελάδες».

Οι ρίζες της εξίσωσης αχ² + β χ + γ = 0 δίνονται από τον τύπο

.

Παρατηρούμε ότι στον τύπο αυτό η ποσότητα β² -4αγ βρίσκεται μέσα σε ρίζα.

Αν είναι θετική, μηδέν ή αρνητική, ανάλογα διαφοροποιείται το είδος των ριζών της εξίσωσης, όπως θα δούμε πιο κάτω.

Έχουμε λοιπόν:

Δ = β² -4αγ

Είδος ριζών ανάλογα με τη διακρίνουσα:

1. Δ > 0

Στην περίπτωση αυτή η ποσότητα εντός της ρίζας είναι θετική και άρα η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες.

Παράδειγμα: Να βρεθεί το είδος των ριζών της εξίσωσης x² – 5x +6 =0

α=1, β = -5, γ=6

Δ= β² -4αγ → Δ= (-5)² -(4.1.6)→ Δ= 25 – 24 =1 άρα Χ1,2= -β±√Δ/2α= 5±√1/2*1 => Χ1= 3 ή Χ2= 2

2. Δ = 0

Στην περίπτωση αυτή η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει μια ρίζα ίση με: Δ = –β/2α.

Παράδειγμα: Να βρεθεί το είδος των ριζών της εξίσωσης x² – 10x +25=0

α=1, β = -10, γ=25

Δ= β² -4αγ → Δ= (-10)² -(4*1*25) → Δ= 100 – 100 =0 (Δ=0)

Χ0= -β/2α= 10/2*1= 5

3. Δ < 0

Η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού είναι φανταστικός αριθμός και στην περίπτωση αυτή η εξίσωση μας έχει δύο μιγαδικές ρίζες.

Όλοι γνωρίζουμε τον αριθμό π, όμως ποιός γνωρίζει τον αριθμό φ; Είναι όπως και ο π άρρητος και προκύπτει απο την διαίρεση δύο αριθμών, όταν ισχύει (για α > b):

Τα πρώτα δέκα ψηφία του έχουν ως εξής: 1,618033988…

Θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι ο λόγος μεταξύ δύο τμημάτων ή ποσοτήτων τα οποία έχουν αναλογία χρυσής τομής. Αναφέρεται επίσης ως χρυσός λόγος ή χρυσός κανόνας ή χρυσή μετριότητα ή Θεϊκή αναλογία ή άκρος και μέσος όρος. Χρυσό λέγεται κάθε ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρή θα είναι ίσος με φ.Κάθε ισοσκελές με γωνία κορυφής 36μοίρες είναι χρυσό. Επίσης, φέρνοντας τη διχοτόμο μιας από τις παρά τη βάση γωνίες, αυτή δημιουργεί στην απέναντι πλευρά χρυσή τομή. Χρυσό ορθογώνιο λέγεται κάθε ορθογώνιο το οποίο έχει λόγο πλευρών ίσο με φ.

Όι ιδιότητες της χρυσής τομής συνεπαίρνουν την ανθρωπότητα εδώ και 2.400 χρόνια. Πρώτοι οι Αρχαίοι Έλληνες μελέτησαν σημασία της στην γεωμετρία των πενταγράμμων και ιδιαίτερα ο Πυθαγόρας. Ο προηγούμενος είχε μάλιστα πεί ότι ο λόγος του εμβαδού ενός κανονικού πενταγώνου προς το εμβαδόν του πενταγώνου που σχηματίζεται απο το αστέρι που έχει τις γωνίες του στις γωνίες του αρχικού πενταγώνου ειναι ίσος με τον φ. Αργότερα ο Ευκλείδης έδωσε τον πρώτο ορισμό για την χρυσή τομη: «Μια ευθεία γραμμή λέγεται ότι έχει κοπεί σε άκρο και μέσο λόγο, όταν όλη η ευθεία είναι για το μεγαλύτερο κομμάτι ότι είναι το μεγαλύτερο κομμάτι για το μικρότερο». O αριθμός Φ έχει πάρει το όνομα του – Συμβολισμό από τον Φειδία , ο οποίος ήταν ο πρώτος που τον χρησιμοποίησε .

Ο Φειδίας ήταν Αθηναίος Γλύπτης (5ος αιώνας π.Χ) και στενός συνεργάτης του Περικλή. Τρία αγάλματα της Αθηνάς έστεισε ο Φειδίας στην Ακρόπολη: την Πρόμαχο, τη Λημνία και τη Χρυσελεφάντινη. Από το 490 π.Χ. μέχρι και το 1931 μ.Χ. πολλοί ασχολήθηκαν με τον αριθμό φ. Μεταξύ αυτών είναι ο Πλάτων, ο Φιμπονάτσι, ο Γιοχάνες Κέπλερ, ο Μάρτιν Όμ κ.α. Η αναλογία χρησιμοποιήθηκε και ακόμη χρησιμοποιείται απο καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες γιατί πιστεύουν ότι είναι αισθητικά ευχάριστη. Κάποιοι υποστήριξαν ότι στοιχεία της πρόσοψης του Παρθενώνα εμφανίζουν χρυσές αναλογίες πράγμα που άλλοι διαψεύδουν. Τέσσερα σπάνια παραδείγματα εφαρμογής αναλογιών χρυσής τομής εντοπίσθηκαν σε ένα αρχαίο πύργο της Μεθώνης Μεσσηνίας, στο Μεγάλο Βωμό της Περγάμου, σε μια επιτύμβια στήλη από την Έδεσσα και σε ένα μνημειακό τάφο στην Πέλλα.

Ως και στην μουσική χρησιμοποιήθηκε η χρυσή αναλογία. Από κάποιες εταιρίες εφαρμόζεται στα μουσικά όργανα και ο γάλλος συνθέτης Ερίκ Σατιέ χρησιμοποίησε τη χρυσή αναλογία σε πολλά από τα κομμάτια του. H σημασία της Χρυσής Τομής όμως δεν περιορίζεται στις καλές τέχνες. Ενδιαφέρουσες εφαρμογές ξεκινούν από την κατασκευή, με τη βοήθεια της Χρυσής Τομής, ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα.

H κατασκευή αυτή βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των «χρυσών» ορθογωνίων. Αν «κόψουμε» ένα τετράγωνο από ένα τέτοιο ορθογώνιο, τότε το μικρότερο ορθογώνιο που απομένει είναι πάλι «χρυσό»! Με τον τρόπο αυτόν μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ακολουθία από ολοένα και μικρότερα «χρυσά» ορθογώνια, που βρίσκονται το ένα μέσα στο άλλο. H λογαριθμική σπείρα είναι το σχήμα που σχηματίζεται σε αυτή την ακολουθία των χρυσών ορθογωνίων, αν εγγράψουμε σε κάθε τετράγωνο ένα τεταρτοκύκλιο. Όμως, οι άνθρωποι δεν είναι οι μόνοι που χρησιμοποιούν χρυσές αναλογίες.

Και στην φύση εμφανίζονται πολλές. Ερευνητές έχουν παρατηρήσει ότι η χρυσή αναλογία είναι εκφρασμένη σε όστρακα θαλάσσιων οργανισμών, στη διάταξη των κλαδιών, ανάμεσα στους μίσχους των φυτών και τις φλέβες στα φύλλα καθώς και στους σκελετούς των ζώων και των ανθρώπων, στις διακλαδώσεις των φλεβών και των νεύρων τους, σε αναλογίες χημικών ενώσεων και τη γεωμετρία των κρυστάλλων. Ορισμένοι μάλιστα έχουν προτείνει συνδέσεις μεταξύ της χρυσής αναλογίας και του ανθρώπινου DNA.

Στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια.
Κατασκευή ορθογωνίου με πλευρές φ και 1:
1. Κατασκευάζουμε τετράγωνο πλευράς 1.
2. Φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη μια βάση και χωρίζουμε το τετράγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια (πλευρών 1 και 1/2) και φέρνουμε μία διαγώνιο.
3. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το μέσο της μίας πλευράς του τετραγώνου και ακτίνα τη διαγώνιο του ορθογωνίου.
4. Προεκτείνουμε την πλευρά του τετραγώνου στην οποία έχουμε ορίσει το κέντρο του κύκλου έως το σημείο του κύκλου που τελειώνει η διάμετρος
Το ευθύγραμμο τμήμα που αποτελείται από την πλευρά του τετραγώνου μαζί με την προέκταση έχει μήκος φ.

Κανένας αριθμός δεν αιχμαλώτισε τόσο πολύ την προσοχή και την φαντασία των ανθρώπων ανά τους αιώνες όσο ο λόγος του κύκλου προς την ακτίνα του. Το π είναι άπειρος αριθμός και άπειρο είναι και το ενδιαφέρον που ξυπνάει.

Με μια ιστορική επισκόπηση εξερευνά κάνεις τις πάμπολλες, όψεις του π και τη γοητεία που άσκησε στην ανθρωπότητα από τον καιρό των αρχαίων Αιγύπτιων και του Αρχιμήδη μέχρι τον Λεονάρντο Ντα Βίντσι και τους σύγχρονους αδελφούς Τσουντνόφσκι, που υπολόγισαν οχτώ δισεκατομμύρια ψηφία του π με έναν αυτοσχέδιο υπερυπολιστή.

Ο αριθμός π συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα π και είναι μια σταθερά που ορίζεται ως ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο ενός κύκλου και είναι με ακρίβεια οκτώ διαδοχικών ψηφίων ίσος με 3,14159265 . Ο π είναι ένας άρρητος αριθμός που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως ο λόγος δυο ακέραιων κατά συνέπεια δεκαδική απεικόνιση δεν τελειώνει ποτέ και ποτέ δεν εγκαθίστανται σε μια μόνιμη και επαναλαμβανόμενη παράσταση.

Ο π είναι ένας υπερβατικός αριθμός δηλαδή δεν αποτελεί ρίζα ενός μη μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Για χιλιάδες χρόνια μαθηματικοί προσπάθησαν να επεκτείνουν την κατανόηση τους πάνω στο π. Πριν από τον 15ο αιώνα ο Αρχιμήδης και ο Liu Hui χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασιζόμενες σε πολύγωνα για να υπολογίσουν την αξία του π.   Τον 20ο και 21ο αιώνα μαθηματικοί και πληροφορικοί ανακάλυψαν νέες προσεγγίσεις που επεκτείνουν την δεκαδική απεικόνιση του π πάνω από 10 τρισεκατομμύρια (10^13).

Το π βρίσκεται σε πολλά γεννήματα της Τριγωνομετρίας και της Γεωμετρίας , ειδικά όσον αφορά κύκλους , ελλείψεις ή σφαίρες . Βρίσκεται επίσης και σε αλλά γεννήματα από άλλους κλάδους της επιστήμης όπως η Κοσμολογία , η Θεωρία Αριθμών , η Στατιστική ,η Θερμοδυναμική , η Μηχανική και ο Ηλεκτρομαγνητισμός .
Το π αποτέλεσε θέμα λογοτεχνικών βιβλίων. Ο αριθμός γιορτάζει την π ημέρα• και ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων του π συχνά αναφέρονται σε τίτλους ειδήσεων. Αρκετοί άνθρωποι προσπάθησαν να απομνημονεύσουν την αξία του π με αυξανόμενη ακρίβεια, οδηγώντας σε εγγραφές ρεκόρ απομνημόνευσης υπέρ των 67,000 ψηφίων.

Η ακολουθία 123456789 εμφανίζεται για πρώτη φορά στο 523.551.502o ψηφίο.

Το πρώτο εκατομμύριο δεκαδικών  ψηφίων του π αποτελείται από: 99.959 μηδενικά, 99.758 μονάδες, 100.026 δυάρια, 100.229 τριάρια, 100.230 τεσσάρια, 100.359 πεντάρια, 99.548 εξάρια , 99.800 έπτα , 99.985 οχτάρια και 100.106 εννιάρια.

Το Φεβρουάριο του 1995 ο Χιρογιούσκι Γκότο σημείωσε νέο παγκόσμιο ρεκόρ , απαγγέλλοντας από μνήμες 42.000 ψηφία του π. Του πήρε λίγο περισσότερο από 9 ώρες.

Το ύψος ενός ελέφαντα (από το πόδι ως τον ώμο )= 2 * π * τη διάμετρο του ποδιού του.

Τα πρώτα 144 ψηφία του π  έχουν  άθροισμα 666… Και φυσικά , το 144 ισούται επίσης με (6+6) x (6+6) .

Ο Αϊνστάιν γεννήθηκε στην Ουλμ της Γερμανίας μια μέρα που θυμίζει τον π : τον 3ο μήνα , τη 14η μέρα του 1879. Διατύπωσε τις θεωρίες της ειδικής και γενικής σχετικότητας , τη θεωρία για την ισοδυναμία μάζας και ενεργείας και τη θεωρία του φωτοηλεκτρικού φαινομένου.

π είναι ο λόγος του κύκλου προς το τετράγωνο που η πλευρά του είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου.

Χάος είναι η απρόβλεπτη συμπεριφορά ενός ντετερμινιστικού φαινομένου, αυτού που ερευνά αν υπάρχει τύχη στη φύση ή όχι. Η ονομασία χάος όπως τη χρησιμοποιούμε σήμερα πρώτο-χρησιμοποιήθηκε από τον μαθηματικόJames A. Yorkeτη δεκαετία του 1960.

Η γέννηση της ιδέας του χάους πραγματοποιήθηκε στις αρχές του 20ου αιώνα. Μέχρι τότε κυριαρχούσε ο ντετερμινισμός στις επιστήμες. Με τους νόμους του Νεύτωνα και του Κέπλερ, η επιστημονική κοινότητα πίστευε ότι μπορούσε να εξηγήσει τα πάντα στο σύμπαν. Αυτοί όμως οι νόμοι δεν μπορούσαν να εξηγήσουν την ακανόνιστη τροχιά του πλανήτη Ποσειδώνα. Έτσι,όταν καλέστηκε ο μαθηματικός και αστρονόμος Henri Poincare να εξηγήσει την τροχιά του Ποσειδώνα, έφτασε στο συμπέρασμα ότι δεν υπήρχε λύση με τις κλασσικές εξισώσεις. Πίστευε ότι δεν υπήρχε σταθερότητα στο σύστημα αλλά ότι συμπεριφερόταν χαοτικά.Όμως δεν είχε τα εργαλεία να επεξηγήσει και απεικονίσει αυτές του τις σκέψεις

Μέχρι το 1950 το χάος ήταν μια αόριστη ιδέα στα μυαλά μερικών επιστημόνων. Παρόλ’αυτά,τη δεκαετία του 1950, με την απαρχή της χρήσης των ηλεκτρονικών υπολογιστών, κατέστη δυνατή η ποσοτική απεικόνιση του χάους. Η επιστημονική κοινότητα έδειξε μεγάλο ενδιαφέρον για τις ακανόνιστες συμπεριφορές φαινομένων. Με το ενδιαφέρον που γεννήθηκε, δόθηκε ταυτότητα και δομή στη θεωρία του χάους. Πρωτοπόρος της θεωρία του χάους ήταν ο Edward Lorenz, που συμπτωματικά συνάντησε το φαινόμενο του χάους σε ένα πρόγραμμα προσομοίωσης του καιρού το 1961.Ανακάλυψε ότι οι μικροδιαφορές στις αρχικές συνθήκες ενός συστήματος μπορεί να το κάνουν να εμφανίσει κάποια στιγμή χαοτική συμπεριφορά .Ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων ή εξισώσεων διαφοράς είναι γνωστό σαν δυναμικό σύστημα, επειδή αλλάζει σε σχέση με το χρόνο. Αυτά τα δύο συστήματα είναι ντετερμινιστικά γιατί οι λύσεις τους εξαρτώνται μόνο από τις αρχικές συνθήκες.Έτσι φαίνεται ότι κάθε δυναμικό σύστημα είναι ντετερμινιστικό, που σημαίνει ότι μπορούμε να προβλέψουμε ανά πάσα στιγμή την μελλοντική του κατάσταση.

Η λέξη “χάος” χρησιμοποιείται γιατί τα συστήματα που πολλαπλασιάζουν το αρχικό σφάλμα επιδεικνύουν πολύ ανώμαλα αποτελέσματαΑυτό δεν σημαίνει ότι τα αποτελέσματα δεν ακολουθούν κάποιο σχέδιο.Ένα σύστημα θεωρείται τυχαίο, όταν μία τιμή του σε μια ορισμένη στιγμή δεν εξαρτάται από την τιμή που είχε στις προηγούμενες στιγμές. Αντιθέτως,τα χαοτικά συστήματα παραμένουν ντετερμινιστικά.

ΤΟΜΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΟΠΟΙΟΥΣ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ…

• Φυσική, επιστήμη των υλικών, πολυμερή, gels, γυαλιά
• Μηχανολογία, ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία, ηλεκτρικά κυκλώματα
• Χημεία, συμπεριφορές υγρών και αερίων, χημικές αντιδράσεις
• Γεωλογία, κρύσταλλοι, σταλακτίτες και σταλαγμίτες
• Οικονομία, θεωρία του Μάλθους, χρηματιστήριο
• Αστρονομία, τροχιές πλανητών, μελέτη γαλαξιών
• Μετεωρολογία, πρόβλεψη καιρού, αλληλοσυσχετισμόςφαινομένων
• Ψυχολογία, συμπεριφορές μαζών, ψυχωτικές συμπεριφορές
• Θρησκεία, ΘιβετιανήΜάνταλα και Εβραϊκή Καμπάλα
• Τέχνη, ζωγραφική και μουσική   
• Βιολογία

1. Περιβάλλον, συστατικά τοπίου, φυτά
2. Πληθυσμιακή οικολογία, συμπεριφορές πληθυσμών
3. Φυσιολογία, καρδιογραφήματα, εγκεφαλογραφήματα
4. Ανατομία, αγγεία, νεύρα
5. Κυτταρική Βιολογία, συστήματα μεταφοράς, πλασματικές μεμβράνες

ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ

Η θεωρία του χάους έφερε μεγάλη αναταραχή σε όλες τις επιστήμες. Είναι μια γενική αρχή που επηρεάζει όλους τους τομείς της σύγχρονης επιστήμης. Τώρα όλοι οι επιστήμονες αρχίζουν και επανεξετάζουν τα αποτελέσματά τους και δείχνουν μία δυσπιστία στην ακρίβεια των κλασικών μεθόδων. Όλες οι εφαρμογές που προαναφέραμε βρίσκονται ακόμα σε πρώιμο στάδιο. Ολοένα και περισσότεροι επιστήμονες χρησιμοποιούν την θεωρία του χάους για να εξηγήσουν κάθε πτυχή της fractalπραγματικότητας.

Παραδείγματα

•Στην καρδιακή αρρυθμία

•Στην μελέτη του γονιδιώματος

•Στις οικονομετρικές μεθόδους

Η θεωρία του χάους όπως είπαμε “τάραξε τα νερά” στις επιστήμες , καθώς αμφισβήτησε τις κλασσικές μεθόδους. Ηθεωρία του χάους δημιουργήθηκε πάνω στα κενά που άφηναν οι νόμοι του Νεύτωνα και του Κέπλερ, με αποτέλεσμα να αμφισβητήσει ένα πολύ μεγάλο αριθμό επιστημονικών καθιερωμένων. Επιπλέον, παρατηρήσαμε ότι το σύμπαν δεν είναι κατασκευασμένο με τα μαθηματικά μοντέλα που οι επιστήμονες σαν τον Γαλιλαίο και τον Κέπλερ ονόμασαν νόμους της φύσης.Αντίθετα η φύση αποτελείται κατά κύριο λόγο από fractals.Όλη η μελέτη που είχαν κάνει οι διάφοροι επιστήμονες για αυτά, δεν ήταν τίποτα από μη ακριβή μοντέλα, τα οποία βασίζονταν στην εξιδανίκευση (ιδανικά αέρια) και την απλοποίηση (τύποι πληθυσμιακής οικολογίας), για να μπορέσουν να δώσουν κάποια αποτελέσματα. Τώρα πλέον με τη γνώση μας για τις ιδιότητες των fractalsκαι την εφαρμογή τους σε όλα αυτά τα επίπεδα, μας δίνει το δικαίωμα να ελπίζουμε σε πιο ποιοτικά αποτελέσματα .

Η ζωή είναι ένα χάος..Δεν υπάρχει τάξη, μόνο αταξία και ανυπαρξία…

Τα Αντικύθηρα είναι ένα νησί που βρίσκεται μεταξύ Κυθήρων και Κρήτης. Το έδαφος του νησιού είναι βραχώδες και χωρίς νερό, για αυτό είναι και άγονο! Στην αρχαιότητα ήταν γνωστό με το όνομα Αίγιλα.

Το 1900 στο βυθό της θάλασσας βρέθηκαν πολλά αρχαία αγάλματα. Ανάμεσα σε αυτά ξεχωρίζει ο χάλκινος ΕΦΗΒΟΣ ΤΩΝ ΑΝΤΙΚΥΘΗΡΩΝ. Το πλοίο που βυθίστηκε σε ναυάγιο από σφουγγαράδες(σε βάθος 40-64 μέτρα), χρονολογείται γύρω στο 350-330 π.Χ και είναι χαρακτηριστικό δείγμα αξιολόγησης του στυλ της εποχής του. Έχει ωραία αλλά τυπικά χαρακτηριστικά και ο τόπος καταγωγής του είναι η Πελοπόννησος.

Στο υψωμένο δεξί του χέρι κρατούσε κάτι στρογγυλό, και υπάρχουν διάφορες υποθέσεις με το τι μπορεί να ήταν αυτό(αγγείο, μήλο). Τώρα το άγαλμα, για την ακρίβεια τα κομμάτια που διασώθηκαν, βρίσκεται στο Αρχαιολογικό Μουσείο Αθηνών.

Εκτός από το άγαλμα στο ναυάγιο βρέθηκε και ένας μεταλλικός μηχανισμός που αρχικά είχε αγνοηθεί.

Στις 17 Μαΐου 1902 ο αρχαιολόγος και διευθυντής του μουσείου Βαλέριος Στάης πρόσεξε ότι ένα από τα ευρήματα είχε ένα οδοντωτό τροχό ενσωματωμένο και εμφανείς επιγραφές με αστρονομικούς όρους. Ο μηχανισμός είναι η αρχαιότερη  σωζόμενη διάταξη με γρανάζια. Είναι φτιαγμένος από μπρούτζο σε ένα ξύλινο πλαίσιο και έχει προβληματίσει αλλά και εντυπωσιάσει πολλούς ιστορικούς της επιστήμης. Αυτός ο ξεχασμένος μηχανισμός είναι σχεδιασμένος να υπολογίζει τις κινήσεις των ουράνιων σωμάτων. Ακόμη είναι πιο εντυπωσιακό καθότι δίνει τη δυνατότητα μεταβλητής γωνιακής ταχύτητας στον άξονα που κινεί τη Σελήνη. Επιπλέον έδινε τη θέση του Ηλίου και τις φάσεις της Σελήνης σε σχέση με τα άστρα για κάθε χρονική στιγμή.  Μπορούσε να εμφανίσει τις εκλείψεις Ηλίου και Σελήνης βασιζόμενες στον Βαβυλωνιακό κύκλο του Σάρου. Τα καντράν του απεικόνιζαν τουλάχιστον δύο ημερολόγια: το Ελληνικό, βασισμένο στο Μετωνικό κύκλο  και το αιγυπτιακό, που ήταν και το κοινό επιστημονικό ημερολόγιο της Ελληνιστικής εποχής.

Αυτό ήταν γεμάτο σκουριά με μισοφαγωμένα γρανάζια και Ελληνικές επιγραφές. Ο Ντέρεκ Πράις με τη χρήση ακτινών x, σε συνεργασία με τον πυρηνικό φυσικό Χαράλαμπο Καράκαλο, ο οποίος έκανε ακτινογραφίες και βρήκε πολλά μυστικά.

Υπάρχουν δύο δείκτες σε ελικοειδείς κλίμακες, η μία από αυτές είναι του Σάρου που αναπαράγει τον κύκλο των εκλείψεων. Η κλίμακα είναι διαιρεμένη σε μήνες.

Ο μηχανισμός χρησίμευε για τήρηση ακριβούς ημερολογίου, διάρκειας 76 τουλάχιστον ετών. Έχει κλίμακες του ζωαδικού κύκλου, δηλαδή αναφέρεται στα ζώδια, και αιγυπτιακοί μήνες, φέρει 365 τρύπες και έχει κλίμακα  διάρκειας 54 ετών για την πρόβλεψη των εκλείψεων Ηλίου και Σελήνης. Επιπρόσθετα έχει μηχανικό εγχειρίδιο, που λέει στο χρήστη πώς να στήσει  το μηχάνημα και αστρονομικό, που λέει πώς να προσανατολιστεί το όργανο , τι να παρατηρείς, πότε αρχίζει κάθε εποχή και κάθε μήνας αλλά και πως κινούνται οι πλανήτες.

Το 2002 ο Μάικλ Ράιτ προσπάθησε να  ανακατασκευάσει το μηχανισμό των αντικυθήρων.

Δείτε την ομιλία «Ο μηχανισμός των Αντικυθήρων. Πειράματα με γρανάζια στον υπολογιστή μας» από τον Διομήδη Σπινέλλη.,  το ντοκιμαντέρ του BBC  και μία ανακατασκευή του μηχανισμού με Lego.

M.K.

Αυτά που ξέρετε περί μαθηματικών και πολλαπλασιασμού καλά θα κάνετε να τα ξεχάσετε! Ειδικά όσοι δυσκολεύεστε με την προπαίδεια και μπερδεύεστε με τα κρατούμενα, τώρα υπάρχει η λύση και μάλιστα κινέζικη, που θα σας κάνει μαθηματική διάνοια (το λιγότερο!). Mπορεί ο κινέζικος πολλαπλασιασμός να είναι λίγο βαρετός και χρονοβόρος, όμως έχει μυστήριο , καθώς αναδεικνύει το καλλιτεχνικό πνεύμα του καθενός στο σχέδιο! Για να ικανοποιήσετε την περιέργεια σας δεν έχετε παρά να δείτε το ακόλουθο βίντεο.

Είναι τρομερή η εξυπνάδα των Κινέζων. Αυτό το βίντεο απλώς επιβεβαιώνει αυτόν τον ισχυρισμό. Βέβαια η συγκεκριμένη μέθοδος πολλαπλασιασμού θέλει πιο πολύ χώρο από τη δική μας . Είναι όμως πολύ παραστατική ώστε να γίνεται κατανοητή και από ένα μικρό παιδί. Είναι μία καλή ευκαιρία για ένα μαθητή του γυμνασίου να προσπαθήσει να κατανοήσει σε βάθος τον πολλαπλασιασμό. Αυτός ο τρόπος πολλαπλασιασμού ουσιαστικά καταργεί την προπαίδεια! Έτσι δάσκαλοι και μαθητές έχουν πιο ξεκούραστο έργο με λιγότερη κούραση και φωνές από τους γονείς για να μάθουν τα παιδιά τους την προπαίδεια. Μόνο όποιος έχει προσπαθήσει να βοηθήσει κάποιον να αποστηθίσει την προπαίδεια ξέρει τι λέω! Όλοι έχουμε κουραστεί και έχουμε ακούσει πολλές φωνές. Πολλοί από εμάς έχουμε κατασκευάσει δικούς μας τρόπους .

Επίσης, πολλές μελέτες συγκλίνουν στο ότι τα παιδιά θα πρέπει να ενθαρρύνονται στην επινόηση και χρήση των δικών τους μεθόδων, επειδή με αυτό τον τρόπο προωθείται η κατανόηση των αριθμών Ο Αιγυπτιακός πολλαπλασιασμός αναφέρεται στην τεχνική γύρω από αυτόν τον αλγόριθμο και είναι πολύ απλή για να ακολουθηθεί. Αυτό που δημιουργείται απλά με το να διπλασιάζουμε είναι μια σειρά από πίνακες πολλαπλασιασμού ο ένας κάτω από τον άλλο. Σχηματίζουμε σε χαρτί δύο στήλες, μια στα δεξιά και μια στα αριστερά. Γράφουμε τον αριθμό 1 στην αριστερή στήλη και το μεγαλύτερο από τους αριθμούς που πολλαπλασιάζονται στη δεξιά στήλη. Συνεχίζουμε να διπλασιάζουμε και τις δύο στήλες μέχρι ο αριθμός στην αριστερή στήλη είναι μεγαλύτερος από το μισό του μικρότερου αριθμού που πολλαπλασιάζεται. Στη συνέχεια σχηματίζουμε το μικρότερο αριθμό προσθέτοντας τους αριθμούς της αριστερής στήλης. Διαγράφουμε όποιους αριθμούς δε χρειαζόμαστε από την αριστερή στήλη και τους αντίστοιχους αριθμούς της δεξιάς στήλης. Προσθέτουμε τους αριθμούς που δεν διαγράψαμε στη δεξιά στήλη και παίρνουμε την τελική απάντηση.

Ο πολλαπλασιασμός των Ρώσων χωρικών είναι η στρατηγική που χρησιμοποιούσαν οι Ρώσοι χωρικοί για να πολλαπλασιάσουν δύο αριθμούς, Σε πίνακα γράφουμε στην αριστερή στήλη το μικρότερο αριθμό που πολλαπλασιάζεται και στη δεξιά το μεγαλύτερο αριθμό. Διαιρούμε δια δύο το μικρότερο αριθμό αγνοώντας τα υπόλοιπα στη διαίρεση και διπλασιάζουμε τους αριθμούς στη δεξιά στήλη. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι ο αριθμός στην αριστερή στήλη γίνει 1. Παρατηρούμε τη στήλη με τους μικρούς αριθμούς και διαγράφουμε όσους αριθμούς είναι ζυγοί. Διαγράφουμε τους αντίστοιχους αριθμούς στην δεξιά στήλη. Στη συνέχεια, προσθέτουμε τους αριθμούς που δεν έχουν διαγραφεί στη στήλη με τους μεγάλους αριθμούς και παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα.

Οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν μια διαφορετική στρατηγική στον πολλαπλασιασμό. Αρχικά, σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο και το χωρίζουμε ανάλογα με τα ψηφία των αριθμών που πολλαπλασιάζονται. Γράφουμε τον ένα αριθμό οριζόντια πάνω από το ορθογώνιο και τον άλλο κάθετα στην δεξιά πλευρά του ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα: Κάθε ζευγάρι πολλαπλασιάζεται και το γινόμενο σημειώνεται στο αντίστοιχο κουτάκι, οι μονάδες σημειώνονται στο άνω μισό και οι δεκάδες στο κάτω μισό. Οι αριθμοί αθροίζονται διαγώνια από τα δεξιά προς τα αριστερά και σημειώνονται κάτω από τη στήλη. Διαβάζουμε από κάθετα αριστερά προς οριζόντια κάτω το γινόμενο του πολλαπλασιασμού.

361 x 46=16606

Τέλος ο «ελληνικός πολλαπλασιασμός» μπορεί να εισαχθεί στη στοιχειώδη εκπαίδευση γιατί ταιριάζει με το επίπεδο και τη σκέψη των παιδιών, και μπορεί να δώσει καλές ερμηνείες για τον κλασικό αλγόριθμο. Επιπλέον, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ιστορία στη διδασκαλία των μαθηματικών και να δοθεί μια πολυπολιτισμική διάσταση στη διδασκαλία. Γιατί τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που στηρίζει τις υπόλοιπες

Πηγές:

Οι άτυπες στρατηγηκές που χρησημοποιούν οι μαθητές στον πολλαπλασιασμό: http://mathslife.eled.uowm.gr/sites/default/files/usersfiles/54.pdf

Αν και η ναυαρχίδα της θεωρίας του Πυθαγόρα είναι η « Τετρακτύς» , το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι αυτό που τον καθιέρωσε στο χώρο των μαθηματικών και χάριν αυτού είναι γνωστός στους περισσότερους ανθρώπους σήμερα. Το Πυθαγόρειο θεώρημα ονομάζεται και «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης» γιατί σύμφωνα με την παράδοση ο Πυθαγόρας μόλις το διατύπωσε προσέφερε θυσίες στους θεούς.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο  Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις ».

Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών».

Η παραπάνω πρόταση εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:

Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει και το αντίστροφο, που λέει ότι «Αν σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των μικρότερων πλευρών του τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη μεγαλύτερη πλευρά και ορθή γωνία αυτή απέναντι από την υποτείνουσα.»

Όπως είναι γνωστό για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν βρεθεί περισσότερες αποδείξεις από κάθε άλλο θεώρημα. Υπάρχουν χιλιάδες αποδείξεις. Παρακάτω θα δείτε μία από τις πιο γνωστές αποδείξεις, που δεν είναι άλλη από του Ευκλείδη. [ Ευκλείδης IV πρόταση 31 ]

Απόδειξη:

Όμοια είναι τα τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μια προς μία. Όπως προκύπτει και από το θεώρημα του Θαλή, τα όμοια τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Έστω λοιπόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος πάνω στην υποτείνουσα ΓΔ. Είναι φανερό ότι έχουμε τρία ορθογώνια τρίγωνα το ΑΒΓ το ΔΒΑ και το ΔΓΑ. Εξ’ αυτού συνάγεται ότι:

Β + Γ = 90º    Γ + Α1 = 90º   Β + Α2 = 90º

=> Γ = Α1  και Β = Α2

=> ΑΒΓ ≈ ΔΑΓ ≈ ΔΒΑ

=> ΑΒ/ΔΑ = ΑΓ / ΔΓ = ΒΓ /ΑΓ         (1)

ΑΒ/ΔΒ= ΑΓ / ΔΑ = ΒΓ / ΒΑ           (2)

ΔΑ / ΔΒ = ΔΓ / ΔΑ = ΑΓ / ΑΒ

Από την (1) έχουμε

ΑΓ / ΔΓ = ΒΓ /ΑΓ

=>  ΑΓ² = ΒΓ . ΔΓ            (4)

Από την (2) έχουμε

ΑΒ / ΔΒ = ΒΓ /ΑΒ

=>  ΑΒ² = ΒΓ . ΔΒ           (5)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (4) και (5) έχουμε:

ΑΒ² + ΑΓ² = ΒΓ . ΔΒ + ΒΓ . ΔΓ

=> ΑΒ² + ΑΓ² = ΒΓ (ΔΒ +  ΔΓ )

=> ΑΒ² + ΑΓ² = ΒΓ²

Επίσης μπορείτε να παρακολουθήσετε ένα ασυνήθιστο καθώς και πολύ ενδιαφέρον τρόπο απόδειξης του Πυθαγορείου Θεωρήματος στο παρακάτω σύνδεσμο: