Αν και η ναυαρχίδα της θεωρίας του Πυθαγόρα είναι η « Τετρακτύς» , το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι αυτό που τον καθιέρωσε στο χώρο των μαθηματικών και χάριν αυτού είναι γνωστός στους περισσότερους ανθρώπους σήμερα. Το Πυθαγόρειο θεώρημα ονομάζεται και «Εκατόμβη» ή «Θεώρημα εκατόμβης» γιατί σύμφωνα με την παράδοση ο Πυθαγόρας μόλις το διατύπωσε προσέφερε θυσίες στους θεούς.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις ».
Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών».
Η παραπάνω πρόταση εκφράζεται με τον ακόλουθο τύπο:
Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει και το αντίστροφο, που λέει ότι «Αν σε ένα οποιοδήποτε τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των μικρότερων πλευρών του τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα τη μεγαλύτερη πλευρά και ορθή γωνία αυτή απέναντι από την υποτείνουσα.»
Όπως είναι γνωστό για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν βρεθεί περισσότερες αποδείξεις από κάθε άλλο θεώρημα. Υπάρχουν χιλιάδες αποδείξεις. Παρακάτω θα δείτε μία από τις πιο γνωστές αποδείξεις, που δεν είναι άλλη από του Ευκλείδη. [ Ευκλείδης IV πρόταση 31 ]
Απόδειξη:
Όμοια είναι τα τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μια προς μία. Όπως προκύπτει και από το θεώρημα του Θαλή, τα όμοια τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες. Έστω λοιπόν ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος πάνω στην υποτείνουσα ΓΔ. Είναι φανερό ότι έχουμε τρία ορθογώνια τρίγωνα το ΑΒΓ το ΔΒΑ και το ΔΓΑ. Εξ’ αυτού συνάγεται ότι:
Β + Γ = 90º Γ + Α1 = 90º Β + Α2 = 90º
=> Γ = Α1 και Β = Α2
=> ΑΒΓ ≈ ΔΑΓ ≈ ΔΒΑ
=> ΑΒ/ΔΑ = ΑΓ / ΔΓ = ΒΓ /ΑΓ (1)
ΑΒ/ΔΒ= ΑΓ / ΔΑ = ΒΓ / ΒΑ (2)
ΔΑ / ΔΒ = ΔΓ / ΔΑ = ΑΓ / ΑΒ
Από την (1) έχουμε
ΑΓ / ΔΓ = ΒΓ /ΑΓ
=> ΑΓ² = ΒΓ . ΔΓ (4)
Από την (2) έχουμε
ΑΒ / ΔΒ = ΒΓ /ΑΒ
=> ΑΒ² = ΒΓ . ΔΒ (5)
Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (4) και (5) έχουμε:
ΑΒ² + ΑΓ² = ΒΓ . ΔΒ + ΒΓ . ΔΓ
=> ΑΒ² + ΑΓ² = ΒΓ (ΔΒ + ΔΓ )
=> ΑΒ² + ΑΓ² = ΒΓ²
Επίσης μπορείτε να παρακολουθήσετε ένα ασυνήθιστο καθώς και πολύ ενδιαφέρον τρόπο απόδειξης του Πυθαγορείου Θεωρήματος στο παρακάτω σύνδεσμο:
