“Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line”

“ Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτές δεν είναι κύκλοι, και ο φλοιός του δέντρου δεν είναι ομαλός, ούτε η αστραπή ταξιδεύει σε μια ευθεία γραμμή.. ”
Mandelbrot, Benoît    “The Fractal Geometry of Nature »

Σημεία ή γραμμές ή επιφάνειες ή στερεά κατά τον Ευκλείδη είναι γεωμετρικά αντικείμενα που περιγράφουν τον χώρο που μας περιβάλλει. Η έννοια τού όρου ‘διάσταση’ στην Γεωμετρία προκύπτει σαν άμεση συνέπεια των αξιωμάτων και ορισμών, όπως τα διατύπωσε ο Ευκλείδης.

Κατά τον Ευκλείδη: «Σημείον εστί ού μέρος ουδέν » δηλαδή ένα σημείο δεν διαμερίζεται επομένως τα σημεία έχουν διάσταση μηδέν. Οι γραμμές κατά τον Ευκλείδη έχουν μήκος αλλά όχι πλάτος . Και όταν αναφερόμαστε σε γραμμές εννοούμε τις ευθείες γραμμές, τους κύκλους, τις παραβολές, αλλά και τις γραμμές όπως είναι η κυλινδρική έλικα
που ορίζονται μόνο στον τρισδιάστατο χώρο.

Μία γραμμή ορίζεται σύμφωνα με την απλή Κινηματική από την τροχιά που διαγράφει ένα κινούμενο σημείο. Επομένως η διάσταση της γραμμής είναι 1 δηλαδή μία γραμμή είναι ένα μονοδιάστατο γεωμετρικό αντικείμενο.

Μια επιφάνεια κατασκευάζεται με την μετακίνηση μιας γραμμής Και η μετακίνηση μιας επιφάνειας δημιουργεί ένα κομμάτι χώρου δηλαδή έναν όγκο. Επομένως η διάσταση ενός γεωμετρικού αντικειμένου μπορεί να είναι μόνο ένας από τους ακεραίους 0,1,2 ή 3. Αν όμως σχηματίσουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και συνδέσουμε τα μέσα τω πλευρών του, τότε σχηματίζονται τέσσερα μικρότερα τρίγωνα μέσα στο ABΓ. Αφαιρούμε το εσωτερικό του μεσαίου τριγώνου, κρατώντας μόνο τα σημεία των πλευρών του. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία για καθένα από τα υπόλοιπα τρία τρίγωνα, Στο σχήμα μας θα εμφανιστούν εννέα ακόμα μικρότερα τρίγωνα. Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία άπειρες φορές, τελικά παίρνουμε ένα σύνολο στο επίπεδο, το οποίο περιέχει τις πλευρές όλων των τριγώνων που έχουμε αφαιρέσει. Το σχήμα -σύνολο γνωστό με το όνομα Sierpinski gasket που προκύπτει δεν είναι μια επιφάνεια αφού δεν έχει εμβαδόν . Δεν μπορούμε να το σχεδιάσουμε μετακινώντας ένα σημείο, επομένως δεν είναι γραμμή και φυσικά δεν έχει όγκο.

Το τελικό σχήμα αποτελείται από πλευρές τριγώνων που προέκυψαν από ένα συνδυασμό άπειρων τριγώνων μέσα σε τρίγωνα που κι αυτά είναι μέσα σε άλλα τρίγωνα. Ακριβώς αυτή η απειρία των τριγώνων και των πλευρών τους μας εμποδίζει να εφαρμόσουμε ότι γνωρίζουμε μέχρι τώρα περί διαστάσεων . Το σύνολό μας δεν μπορεί να έχει διάσταση δύο και δεν έχει διάσταση ένα, σαν να ήταν απλά μια μονοδιάστατη γραμμή. Επομένως πρέπει να υπάρχει μια άλλη
μορφή διάστασης διαφορετικής από αυτή που έχει περιγράψει ο Ευκλείδης .Βέβαια κάποιες σκιαγραφήσεις αποδείξεων και περιγραφών δεν είναι δυνατόν να μας κάνουν να ελπίσουμε ότι θα καλύψουμε πλήρως ένα τόσο πολύπλοκο θέμα .

Προτείνεται η ανάγνωση του άρθρου  «Fractals παντού και πάντα!»  

στο link http://www.islab.demokritos.gr/gr/html/parousiaseis/fractals/

Η συγγραφή του κειμένου και η επιλογή των πολυμέσων έγινε από τη Δρ. Σ.Πατσιομίτου